Лекция 20. Комплексные числа , действия над комплексными числами.

Понятие комплексного числа возникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений . Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Так , например , решение простейшего уравнения x² + 1 =0 не может быть разрешено в действительных числах, так как x =

Тем самым , нужно или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможности их применения , или расширить область действительных чисел , с тем чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением действительных чисел являются комплексные числа.

Алгебраическая форма комплексного числa

Определение. Комплексным числом называется двучлен вида

74

, (1)

где x и y – действительные числа ; – const , такое , что

x = Re z называется действительной частью комплексного числа; y = Im z - мнимая часть комплексного числа.

Определение. Два комплексных числа называются равными , когда равны их действительные и мнимые части.

Если z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ +iy₂ , то при z₁=z₂ x₁ = x₂ ; y₁ = y₂ .

Определение. Комплексное число называется сопряжённым комплексному числу z= x+ iy.

Сумма комплексных чисел есть комплексное число:

z = z₁ z₂ = ( x₁ x₂ ) +i (y₁ y₂ ).

Произведение комплексных чисел есть комплексное число :

z₁ z₂ = ( x₁ +i y₁ ) (x₂ +i y₂ ) = x₁ x₂ + i x₁y₂ + ix₂y₁ – y₁y₂ = (x₁x₂ –y₁y₂ )+ i (x₁y₂ +x₂y₁ ).

Отношение комплексных чисел есть комплексное число : = = .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z = x + i y поставим в соответствие точку с координатами ( x, y ) на плоскости R² . Это соответствие взаимно однозначное и называется геометрической интерпретацией комплексного числа.

y Множество точек z образует комп- л лксную плоскость , которую будем обоз-

z₃ z₂ начать (z). Точки z – это концы векторов,

проведённых из начала координат.

z ₄ z₁ Как и вектор , комплексное число можно

0 x определить с помощью угла и длины век-

тора , и r т. е. , аргумента и модуля ( ра-

диуса). r = , с точностью до

2k , k = 0 ,

Рис.1 Комплексная плоскость

Так как

, (2)

то r =

где главное значение аргумента z , удовлетворяющее условиям -

75

0

Из рис.1 следует , что

Запишем таблицу для определения аргумента комплексного числа z.

Для значения z=0 аргумент не определён.

Используя формулы (2) , запишем: z = x+ iy = r cos +irsin = r (cos

-

- тригонометрическая форма комплексного числа . (3 )

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Даны два комплексных числа

z₁= r₁ ( cos

1. Произведение.

z₁ ) + i( cos [ cos( т.е. при умножении

Arg

Если имеется n одинаковых сомножителей z ……. ,то [r ( cos

( cos , окончательно:

- формула Муавра . (4)

2). Деление .

.

Таким образом при делении : = ; Arg

76

3). Извлечение корня n- й степени из комплексного числа.

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое число , что

. (5)

Обозначим z =

возведём в n-ю степень по формуле Муавра.

Комплексные числа равны , если равны их модули и аргументы , поэтому

= ; ;

(6)

Пример . Вычислить ;

Решение. В формуле (6) z = 1; r = 1. tg n=3.

= 1

k=0 , = 1

k=1 , =1

k = 2, = cos .

Показательная форма комплексного числа

Любое число z можно записать в показательной форме

(7)

Эта форма комплексного числа получается , если применить формулу Эйлера

(8)

В показательной форме удобно производить действия:

Пример. Записать в показательной форме число z = 1 –

Решение. r = 2 ; tg , подставляем в формулу (7) z = 2 .

Лекция 21. Определение производной , её механический , геометрический смысл. Основные правила дифференцирования.

Пусть имеем непрерывную функцию y = f(x).

77

1). Дадим приращение x .

2). Составим .

3).

Определение. Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение

аргумента стремиться к 0 . ( При условии , что этот предел существует).

Записывается так : f’ ( x) = = y’ = .

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке x₀ называется предел справа (слева) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

f’(x₀ .

Операция нахождения производной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Механический смысл производной

. Пусть материальная точка движется по прямой по закону s=f(t) , где t – время , а s- путь за время t.

S₀ =f(t₀ ), S = f(t₀+ ,

V_cp.= средняя скорость не отра-

t₀ t₀ + s жает истинного изменения скорос-

ти , так как в начале отрезка точка может двигаться очень быстро , а потом может и наоборот медленно.Поэтому , чтобы точнее охарактеризовать движение пользуются пределом, то есть тот предел к которому стремиться средняя скорость при .

V = S’(t).

Вывод. Скорость неравномерного движения в данный момент есть предел отношения приращения пути к приращению времени и равна производной от пути по времени.

. Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длины .

Масса стержня есть функция точки

m = f(x) ,

В физике средняя плотность стержня на отрезке от x₀ до x₀+ находится по формуле

Определение. Плотностью стержня в точке x₀ называется предел средней

78

плотности , когда длина отрезка

= m_x’

Вывод. Плотность – это производная массы по длине x.

Геометрический смысл производной

Пусть f(x) – непрерывная функция.

y

секущая

касательная

y₀

0 x

x₀ x₀+

k_кас. = tg ; k_cек. = tg = , при секущая будет стремиться занять положение касательной , то есть . Таким образом

k_кас. = tg = .

Вывод. Производная функции в точке x₀ есть угловой коэффициент касательной, проведённой в точку x₀ к кривой.

– геометрический смысл производной.

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: y-y₀ = tg ) или - уравнение касательной к графику функции y=f(x).

Определение. Нормалью к кривой y=f(x) в данной точке называется прямая перпендикулярная к касательной , проведённой к графику функции y=f(x) в точке М₀ .

- уравнение нормали

Определение. Угол между двумя кривыми , заданными уравнениями y = f₁ (x) и y = f₂ (x) в их общей точке М₀ (x₀ ,y₀) понимается угол между касательными М₀ А и М₀В к этим кривым в точке М₀ .

79

y

f₁

f₂

0 x