Определение.

1. Точкой разрыва 1-го рода функции y=f(x) называется такая точка x₀ в кото-

рой функция имеет левый и правый пределы неравные между собой.

2. Точкой разрыва 2-го рода или бесконечного разрыва называется точка x₀ в которой хотя бы один из пределов не существует или равен .

Пример 1. Установить характер точки разрыва функции y = .

Решение. В точке x=0 функция не существует , то есть ,значит x=0 точка разрыва 2-го рода. Чтобы изобразить график функции в окрестности точ-

71

ки разрыва , найдём пределы слева и справа.

y

; .

0

x

Пример 2. Установить характер точек разрыва для функции y=

Решение. В окрестности точки x=3 функция меняет своё значение , поэтому в этой точке может быть разрыв . Проверим это , найдём все пределы.

; =9; y(3)=9.

О твет. Так как предел слева не равен пределу справа , то x=3 точка разрыва 1-го рода. y

9- - - - - -

7-- - - - -

0 3 x

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке x₀ , то их сумма , произведение, отношение также непрерывны в точке x₀ , при , то есть - непрерывные функции.

Теорема 2. Сложная функция y = f [ , образованная из 2-х непрерывных функций f (x) и есть функция непрерывная.

Пример. Y = sin (x³ + 4x – 2) ; y = .

Свойства непрерывных функций на отрезке

1 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ , b ] , то она достигает на этом отрезке (сегменте) своего наибольшего и наименьшего значения

Y

0 x₁ x₂ b x

72

2. Если функция f(x) непрерывна на [ , b ] , то она ограничена на этом отрезке m , где m – наименьшее , а М наибольшее значения функции на этом отрезке.

3 . Если функция f(x) непрерывна на [ , b ] и на концах принимает значения разных знаков , то внутри этого отрезка найдётся по крайней мере одна точка , в которой функция равна нулю.

y

0 c b x

4. Если функция f(x) непрерывна на [ , b ] и f( )=A ,f(b) = B , то найдётся точкa x=c , что f (c) = C . y

A C B

0 c b x

Последовательности

Определение. Упорядоченное множество чисел , каждое из которых имеет свой номер называется последовательностью.

Обозначается : { x_n } = x₀ , x₁ , x₂ ,…..x_n … , где x_n - общий член последовательности.

Пример. { x_n } = { n + b }. n = . Или b, +b , 2 +b , 3 +b, ……, n +b.

Определение. Дискретной прерывной переменной называется переменная , которая принимает отдельные оторванные друг от друга значения, { x_n }.

x

Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности {x_n } , если найдётся такой номер N , что , начиная с этого номера выполняется условие < при n Обозначается

Раскроем последнее неравенство < - A- , геометрически

A- . .A .x_N .A+ x

n

73

Определение. - окрестностью точки называется интервал (

По другому определение предела :

Определение. Число А называется пределом последовательности { , если начиная с некоторого номера N все элементы последовательности оказываются в окрестности .

Вычисляются пределы дискретной переменной точно так же как и для непрерывной переменной.

П ример 1. Вычислить

П ример 2. Вычислить = .

Определение. Последовательность называется сходящейся , если она имеет предел.

Определение. Последовательность y₁ ,y₂, y₃ ….y_n называется ограниченной , если существует такое число С , что выполняется неравенство .

Теорема. Всякие ограниченные последовательности имеют предел и обратно.

Пример. Дана последовательность 1 , определить сходящаяся она или нет?

Решение. Как видно - это бесконечно убывающая геометрическая последовательность , можно найти её сумму S = = 2, то есть эта последовательность имеет предел , а это значит она ограничена и сходящаяся.