Поворот осей координат

y xoy - старая система координат.

.M X= XOY – новая система координат.

Y r p Найдём формулы , выражающие старые ко-

ординаты точки М( x,y ) через новые коор-

o x= динаты точки М ( X,Y). Введём полярные

N координаты. Совместим полярную ось с

осью ox, тогда точка в новой системе будет иметькоординаты М( ,r),а в старой М( ). Запишем формулы , связывающие декартовы и полярные координаты :

, косинус и синус суммы двух углов распишем по известным формулам, получим:

Или

→ формулы поворота осей координат

В матричной форме эти формулы примут вид:

→ матричная запись формул поворота .

Можно ещё короче записать эти формулы : (i=1,2) →тензорная форма.

58

Пример. Выразить старые координаты точки x и y через её новые координаты X и Y при повороте осей на угол = .

Решение. Так как = , , то по формулам поворота имеем

x = X - Y x = ( X – Y )

y= X + Y y = ( X + Y ) Ответ:

Упрощение общего уравнения кривой второго порядка

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей получить простейшее уравнение кривой и построить её: .

Решение. Выделим полные квадраты ( - 1 – 2( ; ( x+1 → –

Положим ; x = X-1; y = Y+3 → X= x + 1; Y = y – 3 ; получаем каноническое уравнение гиперболы в новых координатах :

Y y

2

4 O₁ 4 X

2

O x

Пример 2. Поворотом осей координат на 4 упростить уравнение кривой и построить её 5 - 6xy + 5 = 32.

Решение. Запишем формулы поворота осей на 4 .

x = x’

y = x’ , подставим эти значения x и y в уравнение кривой 5 =32 , произведя сокращения коэффициентов и раскрыв скобки , получим

x +4y или , разделив на 16, = 1 , в новых координатах строим эллипс. Y x’

y’

2 4

o 45⁰ x

2

4

59