Построение поверхностей по их уравнениям методом сечений

1. Такой метод продемонстрируем на эллипсоиде.

Определение. Поверхность , определяемая уравнением

(1)

называется эллипсоидом. Числа называются полуосями эллипсоида.

Определим форму эллипсоида. Так как x , y , z в чётных степенях , то эллипсоид симметричен относительно осей ox , oy , oz. Пересечём его плоскостью z=h.

(2)

0 y Из (2) видно , что с возрастанием h , полу-

оси эллипса и уменьшаются. Можно показать , что при пересечении плоскостя-

x ми x = h и y = h , тоже будут эллипсы. Если

, –cфера.

2. Гиперболоиды.

Каноническое уравнение гиперболоида имеет вид:

(1) - однополостный гиперболоид

Эта поверхность имеет три плоскости симметрии , так как x , y , z в чётных

55

с тепенях . Чтобы построить эту поверхность, надо её пересечь плоскостями параллельными координатным плоскостям. В (1) полагаем y=0 , в плоскости XOY

z получаем гиперболу

0 y В плоскости ZOY тоже гипербола

x В плоскости XOY – эллипс

- двуполостный гиперболоид , минус перед z ука- зывает на ось симметрии.

z

0 y

x

3. Параболоиды

Э ллиптический параболоид 2z = - симметричный относительно оси оz.

z

0 y

x

Гиперболический параболоид (седло) 2z = , p>0 , q>0.

z

0 y

x

Узнать поверхность по каноническому уравнению и изобразить её.

1) 2). 2

3) 2 4).

5). 2 6).

56

Поверхности вращения

Определение. Поверхность , образованная вращением линии около оси , называется поверхностью вращения.

Пусть линия L , лежащая в плоскости оxz , задана уравнением

(1)

Получим уравнение поверхности , образованной вращением этой линии относительно оси оz

z N(0,Y,Z) ; M (x,y,z) - точка поверх-

ности. К – точка пересечения плоскости ,

L ⊥-ой оси вращения, N – точка пе -

K

.N ресечения плоскости ⊥-ой оси оz.

M

x 0 y

KN и KM – радиусы окружности , КN=KM. Длина KN = , KM=OP= и , так как точка N лежит на линии L (1) , то координаты точки N ( O,Y,Z) удовлетворяют второму уравнению из (1) , подставим в него F ( , z )=0 . → Уравнение поверхности вращения вокруг оси oz. Аналогично , вокруг оси ox F ( , x )=0 , вокруг оси oy F ( , y )=0 .

Пример 1. Записать уравнение поверхности вращения линии вокруг оси oz.

Решение. В данном уравнении заменим на получим + это эллипсоид вращения.

Пример 2. Записать уравнение поверхности , полученной от вращения линии вокруг оси ox.

Решение. В данном уравнении заменим на , получим - =1

это двуполостный гиперболоид.

Лекция 15. Преобразование прямоугольной системы координат в . Квадратичные формы.

57

Параллельный перенос осей координат

Определение. Формулы , выражающие координаты точки в одной системе через её координаты в другой системе называют формулами преобразования координат.

y y^, .M ОXY-старая система , О'X'Y' - новая.

O' M (x,y); M (x′, .

O^’ .N x’ Выведем формулы , выражающие ста-

рые координаты точки через новые.

0 A p x О'N = AP , но О'N = , AP= .

Так что, = и обе эти величины имеют одинаковые знаки , то есть x'= x- , отсюда x=x'+ аналогично y=y'+ . → формулы параллельного переноса осей

Пример. Дано точка М(2,-1) а системе оxy. Найти её новые координаты x' и y' при параллельном переносе осей , если новое начало в старой системе координат имеет координаты О'(-1, 3).

Решение. 2=x'-1 → x'=3; -1=y'+3→ y' -4 ; Ответ : М(3,-4).