Уравнение пучка прямых
Определение. Совокупность прямых , лежащих в плоскости и проходящих через одну точку называется пучком прямых с центром в этой точке.
Пучок прямых
можно задать уравнением с угловым
коэффициентом: y-
=k(x-
, а можно с помощью двух прямых :
и
.
уравнение
пучка прямых.
Пример. Написать уравнение прямой , проходящей через точку М пересечения прямых 5x – y + 10 = 0 и 8x + 4y + 9 = 0 и параллельно прямой x + 3y = 0.
Решение.
Запишем уравнение пучка 5x
– y+ 10 +
8x
+ 4y + 9) = 0 .
,
. Векторы
параллельны , в координатах
отсюда 15 + 24
- 4
+
1 =0 или 20
=
=
(5
x – (
.
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В
39
Векторное уравнение плоскости
z
.
⊥
→ (
Из рисунка
M
видно
, поэтому
0
y
векторное
урав-
-ние плоскости.
x
z Уравнение плоскости , проходящей через данную точку.
Общее уравнение плоскости
.M
0
. y
; M((x, y,
z) ;
{ A,B,C}
⊥
→
В координатах:
→уравнение плоскости через
точку или уравнение связки плоскостей .
Раскроем
скобки в последнем уравнении Аx+By+Cz
– (A
Выражение в скобках обозначим через D, получим:
общее
уравнение плоскости.
Неполные уравнения плоскости
В общем уравнении полагаем:
1). D = 0 Ax + By + Cz = 0 , плоскость проходит через начало координат .
z
x 0 y
2). A = 0 By + Cz + D = 0 , плоскость параллельна оси ox.
z
o
y
x
A =D =0 By +Cz =0 , плоскость проходит через ось ox.
z
o
y
z
x
3 ). В = 0 Аx +Cz +D = 0 , плоскость параллельна оси оy. o y
40 x
B =D = 0 Ax + Cz = 0 , плоскость проходит через ось оy.
z
o
y
x
4). C = 0 Ax + By + D = 0 , плоскость параллельна оси oz.
z
x o y
C = D =0 Ax + By = 0 , плоскость проходит через ось oz.
z
o y
x
5). А = В =0 Сz + D = 0 , плоскость параллельна координатной плоскости XOY.
z
o y
x
6). A =C = 0 By + D = 0 , плоскость параллельна координатной плоскости XOZ.
z
o y
x
7). B = C = 0 Ax + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости YOZ.
z
o
y
x
8). A =B = D = 0 Cz = 0 или z = 0 , координатная плоскость XOY.
z
o y
x
9). B =C = D = 0 Ax = 0 или x = 0 , координатная плоскость YOZ.
z
o z
x y
1 0). А = С = D = 0 By = 0 или y = 0 , координатная плоскость XOZ. o y
x
41
Пример. Найти уравнение плоскости , проходящей через ось OX и точку М(1,2,3).
Решение.
Уравнение плоскости имеет вид By
+ Cz = 0 ; найдём В и С. Подставим
координаты точки в это уравнение 2В +
3С = 0
В =
С
подставляем в уравнение
, сокращаем на С, окончательно
