0 X ; ,m) ; пусть
, тогда
уравнение
прямой, проходящей
через две точки
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
y 0
k=tg
,
=
+
.
=
{
,
}.
=
,
m=
.
0
x
, подставим вместо
и m
, но
=
.
Получим
=
(x-
= y-
или tg
(x
-
= y
-
,
окончательно
уравнение прямой с
угловым коэффициентом, проходящей
через одну точку. Часто это уравнение
называют уравнением пучка
прямых . Раскроем в
последнем
36
уравнении
скобки y
= kx
+ ( -
Выражение
в скобках обозначим через
b, это постоянное число, получим:
это уравнение прямой с угловым
коэффициентом, где b
отрезок , который прямая отсекает от
осей координат.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности , перпен-
дикулярности двух прямых
. Пусть две прямые
и
заданы общими уравнениями.
и
;
{
;
{
Е
сли
║
, то и
→ условие параллельности.
Если
, то
, это значит
→условие перпендикулярности.
.
Пусть две прямые
и
заданы каноническими уравнениями.
=
и
=
,
,
, то
=
Условие
параллельности
.Условие перпендикулярности
.
Прямые
и
заданы уравнениями с угловым коэффициентом.
Y
Y =
и y =
, tg
=tg(
=
0
x
=
, так как tg
,
37
tg
, то
.
Если
, то tg
=0
и tg
когда
или
- условие параллельности прямых .
Если
,
то tg
,
поэтому 1+
или
- →
условие перпендикулярности
прямых.
Пример. Получить все виды уравнения прямой , если прямая задана общим уравнением 3x+4y-5=0.
Решение.
1). Уравнение с угловым коэффициентом:
4y=-3x+5
y=-
, k=-
.
2).Уравнение
прямой в отрезках: 3x+ 4y
=5
+
= 1,
, b=
.
3).Каноническое
уравнение: возьмём 2 произвольные точки
на прямой
(
0,
)
и
вектор
{
,
}
является направляющим вектором прямой,
каноническое уравнение запишем через
точку
=
.
4). Уравнение
прямой через две точки
.
Лекция 10. Расстояние от точки до прямой. Различные виды
уравнения плоскости
Расстояние от точки до прямой
x0
,y0 ) Пусть прямая
задана общим уравнением
Ax + By + C = 0, из рисунка видим
=
= (
+(
,
∙
=
;
или π
(
=
.
В координатах
=
А(
+B(
=
A
, так как точка
, то её координаты удовлетворяют уравнению
прямой поэтому А
или A
, подставим. (
= A
отсюда находим
или
Вывод. Чтобы найти расстояние
от точки до прямой , на-
до в общее уравнение прямой подставить координаты точки , взять по абсо-
38
лютной величине и разделить на модуль нормального вектора.
Пример 1. Треугольник задан своими вершинами А(1,2) ; В(-2,1) ; С(3,2). Найти длину его высоты , опущенной из вершины А.
Решение.
B h = АК. Высоту найдём, как расстояние от точки A
K
до прямой ВС. Уравнение ВС :
=
или x -5y
+ 7 = 0 .
h =
=
. Ответ. h
=
.
Пример 2.
Составить уравнения биссектрис углов
между прямыми
3x-4y-2=0 и
5x +12y – 1= 0
.
Решение.
.M(
,
,
,
приравняем, получим
=
; 14x-112y-21=0
и
64x + 8y – 21=0.
В общем виде уравнения биссектрис углов между прямыми запишутся так:
