Звено чистого запаздывания

В отличие от других звеньев это звено описывается уравнением о запаздывающим аргументом

х_вых() = х_вх( - ₀),

где ₀ - время запаздывания.

Выходная величина звена точно равна входной величине в момент времени на ₀ ранее.

Передаточная функция эвена (получается с использованием методов операционного исчисления) .

Переходная функция звена чистого запаздывания h(₎ = 1( - ₀), т.е. представляет собой единичное ступенчатое изменение выходной ве­личины с отставанием на ₀ от такого же изменения входной величины (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Переходная функция и пример звена чистого запаздывания

Характерным примером звена чистого запаздывания служит транспор­тёр (например, лента агломерационной машины), на котором после изме­нения входной величины (толщина слоя сыпучего материала) должно прой­ти время ₀ = l/v (l - длина транспортера; v - его скорость ₀ - время чистого транспортного запаздывания), после которого на ту же величину изменится выходная величина – толщина слоя сыпучего материала (рис. 3.11).

Практика 4

Типы соединения звеньев

Существуют три типа соединения звеньев между собой: последовательное, параллельное и встречно-параллельное (с обратной связью). Для математического описания систем из различно соединённых звеньев наиболее удобно пользоваться не дифференциальными уравнения­ми, а передаточными функциями.

1. Последовательное соединение.

Это такое соединение, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной после­дующего звена.

Рис. 4.1. Последовательное соединение звеньев

Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) = W₁(p)W₂(p) …W_n-1 (p) W_n(p). [4.1]

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении на вход всех звеньев поступает одна и та же входная величина х_вх = х_вх1 = х_вх2 = ... =х_{вх n-1}=х_{вх n}, а выходная величина системы равна сумме вы­ходных величин отдельных звеньев.

.

Рис. 4.2. Параллельное соединение звеньев

Передаточная функция системы парал­лельно соединённых звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) = W₁(p)+W₂(p) +…+W_n-1 (p) +W_n(p). [4.2]

3. Соединение с обратной связью.

Таким образом может быть соединено только два звена: звено с передаточной функцией W₁(р) охвачено обрат­ной связью - звеном с передаточной функцией W_о.с.(p). При этом выходная величина всей системы равна выходной величине первого звена и входной величине звена обратной связи

х_вых = х_вых1 = х_{вх о.с.}; а входная величина первого звена х_вх1 = х_вх  х_{вых.о.с.}

Знак «плюс» соответствует положительной обратной связи, знак "ми­нус" - отрицательной обратной связи.

Рис. 4.3. Соединение с обратной связью

Передаточная функция системы при охвате звена обратной связью равна дроби, числитель которой - передаточная функция звена, а знаменатель - единица плюс (минус) произведение передаточной функции звена и передаточной функции звена обратной связи ("плюс" соответствует отрица­тельной обратной связи, знак "минус" - положительной обратной связи).

W(p) = W₁(p)/[1  W₁(p)W_o.c.(p)] . [4.3]

Практика 5

Объекты регулирования с сосредоточенными параметрами

Объект является основным элементом в любой системе автоматического регулирования и управления. Для создания и расчета системы, обеспечивающей нужное качество регулирования, обязательно нужно иметь математическое описание объекта в виде уравнений, передаточных функций и пр.

Практически все металлургические агрегаты представляют собой сложные объекты управления, которые описываются уравнениями высоких порядков и имеют нелинейные зависимости между входными и выходными величинами. Сложность и взаимосвязь физико-химических процессов приводит к тому, что металлургические агрегаты являются многосвязными объектами управления.

Большинство металлургических агрегатов являются нестационарными объектами, что выражается изменением во времени параметров, определя­ющих их статические и динамические характеристики. Указанные парамет­ры изменяются как в агрегатах периодического действия по ходу процес­са, так и в агрегатах непрерывного действия по мере износа и старения агрегатов в процессе эксплуатации. Вместе с тем, при определённых уп­рощениях и исследованиях работы объекта в достаточно узких пределах изменения входных и выходных величин многие объекты можно рассматри­вать как линейные с сосредоточенными параметрами.

Рассмотрим характеристики таких объектов, имеющих одну входную величину - положение регулирующего органа у и одну выходную величину - регулируемую величину х. Объекты, которые могут быть представлены апериодическим звеном первого порядка или цепочкой последовательно соединенных апериодических звеньев, называют статическими объектами. В этих объектах выходная величина после появления возмущающего воздейс­твия сама, без регулирования, через некоторое время приходит к новому положению равновесия.

Статические объекты описываются передаточными функциями:

, [5.1]

где k_об ^- коэффициент передачи объекта, имеющий размерность: едини­ца выходной величины, деленная на единицу входной величины.

Поскольку входной величиной в этом случае будет регулирующее воздействие, то его целесообразно выражать в единицах перемещения регулирующего органа и тогда размерность k_об - единица регулируемой вtличины, делённая на величину хода регулирующего органа в процентах. Уп­равляющее воздействие может быть выражено и в других единицах, связанных с положением регулирующего органа, например, в единицах пода­ваемой мощности, в единицах расхода среды и т.д.

В зависимости от степени р (числа скобок) в знаменателе формулы объекты регулирования называются объектами 1-го, 2-го,..., n-г о порядка.

Примерами металлургических статических объектов регулирования разного порядка могут служить; промежуточный ковш МНЛЗ (первого по­рядка) (см. рис. 2.7,6); плавильные или нагревательные печи как объ­екты регулирования давления 1-го и 2-го порядка; эти же печи как объекты регулирования температуры (2-го, 3-го и более высокого поряд­ка).

Переходные функции статических объектов показаны на рис. 2.14. Простейший статический объект - объект 1-го порядка по динамическим свойствам представляет собой апериодическое звено 1-го порядка. Чем выше порядок объекта, тем он более инерционен, т.е. медленнее возрастает выходная величина в начале переходного процесса (см. кривые 1-3 на рис. и.14,а).

Некоторые металлургические объекты включают в себя элементы с чистым запаздыванием, например транспортёр. Передаточная функция такого объекта является произведением передаточной функции без запаздывания на передаточную функцию звена чистого запаздывания с временем запаздывания _об (как последовательное соединение звеньев):

, [5.2]

В ряде случаев удобно представлять (аппроксимировать) сложные статические объекты (обычно выше 2-го порядка) последовательным сое­динением объекта 1-го порядка и звена чистого запаздывания и тогда передаточная функция будет иметь вид:

[5.3]

Параметры объекта – коэффициент передачи k_об, постоянная времени Т_об, и время запаздывания _об определяются по экспериментально снятым временным характеристикам (кривым разгона), как показано на рис. 2.14,б. Кривыми разгона (несколько устаревшее, но применяемое название) называются переходные процессы в объекте регулирования после подачи на вход ступенчатого воздействия высотой y_в, не равного 1 (при y_в=1 получается переходная функция). Для определения Т_об и _об проводится касательная к кривой в точке наибольшей крутизны (точке перегиба), которая отсекает Т_об и _об на нулевом и установив­шемся значениях х. При этом k_об = х()/y_в- Такая аппроксимация справед­лива для статических объектов 3-го и более высокого порядка.

Объекты управления, включающие астатические (интегрирующие) звенья, называют астатическими объектами. У этих объектов выходная величина после появления ступенчатого возмущающего воздействия не приходит к положению равновесия, а непрерывно изменяется. Астатические объекты можно представить цепочкой из последовательно соединенных идеальных интегрирующих звеньев и апериодических звеньев 1-го порядка. Астатические объекты имеют передаточные функции:

, [5.4]

где k_об1 - коэффициент передачи астатического объекта с размерностью: скорость изменения регулируемой величины, делённая на величину хода регулирующего хода органа, %; m и n - целые вещественные положитель­ные числа, т - характеризует порядок астатизма объекта (объекты о астатизмом 1-го, 2-го и т.д. порядка), а сумма m+n - характеризует по­рядок объекта.

Примерами астатических металлургических объектов могут служить различные ёмкости с жидкостью, если выходной величиной является уро­вень жидкости, а входной - разность между притоком и стоком жидкости (при условии, что уровень жидкости не влияет на её сток), например кристаллизаторы МНЛЗ (см. рис. 2.2,а). Астатическими объектами также являются объекты регулирования уровня сыпучих материалов в бункерах или уровня засыпи в доменной или другой шахтной печи.

Переходные функции астатических объектов о астатизмом 1-го поряд­ка показаны на рис. 2.15,а. Астатический объект 1-го порядка предс­тавляет собой идеальное интегрирующее звено. Так же, как у статичес­ких объектов, чем выше порядок объекта, тем более инерционен объект.

В ряде случаев сложные астатические объекты с астатизмом 1-го по­рядка удобно представлять (аппроксимировать) последовательным соеди­нением астатического объекта 1-го порядка (идеального интегрирующего звена) и звена чистого запаздывания. Передаточная функция при таком представлении объекта имеет вид:

, [5.5]

Параметры объекта - k_об и _об определяются по экспериментально снятой кривой разгона, как показано на рис. 2.15,6. Коэффициент пере­дачи k_об = tg/y_в, где y_в - величина ступенчатого изменения входной величины объекта (положение регулирующего органа).

Практика 6

Автоматические регуляторы

Автоматические регуляторы предназначены для оказания управляющего (регулирующего) воздействия на объект в соответствии с законом регу­лирования (алгоритмом управления). Под законом регулирования подразу­мевается зависимость регулирующего воздействия у (выходная величина регулятора и входная величина объекта) от отклонения регулированной величины от ее заданного значения  (входная величина регулятора).

y = f().

Величина регулирующего воздействия оценивается в процентах хода вала исполнительного механизма (по отношению к полному перемещению) или в процентах хода регулирующего органа (обычно они равны между собой).

Если зависимость y = f() является линейным дифференциальным урав­нением, то закон регулирования также называют линейным. Закон регули­рования считается непрерывным, если непрерывному изменению входной величины  соответствует непрерывное изменение регулирующего воздейс­твия у. В серийно выпускаемой аппаратуре обычно реализуют пять линей­ных непрерывных законов регулирования: пропорциональный (П), интег­ральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ), пропорционально - диф­ференциальный (ПД) и пропорционально – интегрально - дифференциальный (ПИД). Технические устройства, обеспечивающие указанные законы регулирования, называют соответственно П-, И-, ПИ-, ПИД- регуляторами. Такие же законы регулирования применяются также и при непосредс­твенном цифровом управлении (НЦУ) с помощью ЭВМ. В этом случае ЭВМ рассчитывает управляющее воздействие по соответствующему алгоритму, используя данные о фактическом значении отклонения .

Все законы регулирования являются различными комбинациями трех составляющих: пропорциональной (П), интегральной (И) и дифференциальной (Д). Уравнения этих составляющих:

;

;

,

где k_П, k_И, k_Д - коэффициенты передачи пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих.

Передаточные функции составляющих:

;

;

.

В динамическом соотношении указанные составляющие представляют со­бой соответственно пропорциональное, идеальное интегрирующее и иде­ально дифференцирующее звенья.

Пропорциональный регулятор включает только одну пропорциональную составляющую и его уравнение при k_р = k_П:

.

где k_р — коэффициент передачи, имеющий размерность: процент хода вала исполнительного механизма, деленный на единицу регулируемой величины.

Регулирующее воздействие формируется пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения.

Передаточная функция П-регулятора: .

В динамическом отношении П-регулятор представляет собой пропорци­ональное звено, что видно по переходной функции, изображенной на рис. д.. I и, а.

Интегральный регулятор включает только одну интегральную состав­ляющую и поэтому его уравнение:

,

где k_И = k_p/T_и - коэффициент передачи интегрального регулятора;

k_p – коэффициент передачи П- регулятора;

Т_И – постоянная времени интегрирования.

Регулирующее воздействие формируется пропорционально интегралу отклонения регулируемой величины от заданного значения.

Передаточная функция П- регулятора:

.

В динамическом отношении И- регулятор аналогичен интегрирующему звену. Переходная функция регулятора показана на рис.2.16,6.

Пропорционально - интегральный регулятор включает пропорциональную и интегральную составляющие. Уравнение регулятора:

.

Регулирующее воздействие ПИ-регулятора формируется как сумма двух составляющих: пропорциональной и интегральной .

Переходная функция (рис. 8.16, в) является суммой переходных функций пропорционального и интегрирующего звеньев. Постоянная вре­мени интегрирования Т_И характеризует долю участия интегральной сос­тавляющей в формировании регулирующего воздействия. Чем больше Т_И, тем меньше участие интегральной составляющей; при Т_И регулятор превращается в пропорциональный.

Передаточная функция ПИ-регулятора:

.

является суммой передаточных функции пропорциональной и интегральной составляющих. Структурно ПИ-регулятор представляет собой параллельное соединение пропорционального и идеального интегрирующих звеньев.

Пропорционально-дифференциальный регулятор включает пропорциональную и дифференциальную составляющие. Уравнение регулятора:

,

где Т_д - постоянная времени дифференцирования, с.

Регулирующее воздействие ПД-регулятора формируется как сумма двух составляющих: пропорциональной и дифференциальной .

Переходная функция регулятора (рис. 2.16г) является суммой переходных функций пропорционального и идеального дифференцирующего звеньев.

Передаточная функция ПД-регулятора:

.

является суммой передаточных функции пропорциональной и дифференци­альной составляющих. Структурно ПД-регулятор представляет собой па­раллельное соединение пропорционального и идеального дифференцирующе­го звеньев.

Пропорционально – интегрально - дифференциальный регулятор включает все три составляющих и его уравнение:

.

Регулирующее воздействие ПИД-регулятора формируется как сумма трёх составляющих: пропорциональной , интегральной и дифференциальной . Переходная функция (рис. 2.1Ь,д) является суммой переходных функций пропорциональной и идеаль­ных интегрирующего и дифференцирующего звеньев. Передаточная функция ПИД-регулятора:

является суммой передаточных функции всех трёх составляющих.

Структурно ПИД-регулятор представляет собой параллельное соедине­ние пропорционального, идеального интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев.

Все рассмотренные законы регулирования и, соответственно, регуляторы являются идеальными, не учитывающими действительных возможностей реальных устройств.

Так, в реальном П-регуляторе при ступенчатом изменении входной вели­чины положение выходного вала исполнительного механизма (например, элект­родвигателя) не может мгновенно измениться на величину k_р в соответс­твии с переходной функцией идеального регулятора, а выходной вал пе­ремещается с некоторой конечной скоростью и постепенно приходит к по­ложению k_р (рис. 2.16,а). Можно оказать, что реальный регулятор отли­чается от идеального некоторой инерционностью. Структурно реальный регулятор можно представить как последовательное соединение звена c передаточной функцией идеального регулятора и инерционного (апериоди­ческого) звена 1-го порядка с передаточной функцией , характеризуемого постоянной времени инерционного звена T_ин.

Передаточная" функция реального регулятора:

,

где W_p(p) - передаточная функция соответствующего идеального регуля­тора.

Переходные функции реальных регуляторов показаны на рис. Ј.16 (кривые 2) и хорошо характеризуют отличие процессов в реальных уст­ройствах от идеальных.