Плотность вероятности
Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .
Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) ( ), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:
Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что
,
где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде
то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают
.
Свойства плотности вероятности
Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .
Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.
Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
Замена меры в интеграле Лебега:
,
где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .
Плотность случайной величины
Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .
Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.
Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:
.
Замечания
Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
.
В одномерном случае:
.
Если , то , и
.
В одномерном случае:
.
Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины может быть записано в виде:
,
где — борелевская функция, так что определено и конечно.
Плотность преобразования случайной величины
Пусть — абсолютно непрерывная случайная величина, и — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что , где — якобиан функции в точке . Тогда случайная величина также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:
.
В одномерном случае:
.
Примеры абсолютно непрерывных распределений
Бета распределение;
Распределение Вейбулла;
Гамма распределение;
Распределение Коши;
Логнормальное распределение;
Нормальное распределение;
Непрерывное равномерное распределение
Распределение Парето;
Распределение Стьюдента;
Распределение Фишера;
Распределение хи-квадрат;
Экспоненциальное распределение;
Многомерное нормальное распределение.
Флуктуация (от лат. fluctuatio — колебание) — термин, характеризующий любое колебание или любое периодическое изменение. В квантовой механике — случайные отклонения от среднего значения физических величин, характеризующих систему из большого числа частиц; вызываются тепловым движением частиц или квантовомеханическими эффектами.
Примером термодинамических флуктуаций являются флуктуации плотности вещества в окрестностях критических точек, приводящих, в частности, к сильному рассеянию светавеществом и потере прозрачности.
Флуктуации, вызванные квантовомеханическими эффектами, присутствуют даже при температуре абсолютного нуля. Они принципиально неустранимы. Пример проявления квантовомеханических флуктуаций — эффект Казимира, а также силы Ван-дер-Ваальса. Непосредственно наблюдаемы квантовомеханические флуктуации для заряда, прошедшего через квантовый точечный контакт — квантовый дробовой шум.
Средние значения физических величин
В классической механике каждая динамическая величина имеет определённое значение. В квантовой механике дело обстоит иначе. Например, система находится в состоянии, которое является результатом суперпозиции состояний с собственными значениями .
Если система находится либо в состоянии , либо в состоянии , то соответствующее измерение даст определенное число или соответственно. Какое значение будет получатся, когда система находится в состоянии
Обобщенная схема сетевой архитектуры
Здесь в классической физике получилось бы одно строго определённое число.
В квантовой механике получается не одно определённое число, а одно из двух чисел: или , или и никаких других. То или другое значение получается не с достоверностью, а лишь с определённой вероятностью. В квантовой механике нельзя приписать динамической переменной определённого значения, но всегда можно приписать определённую вероятность.
А если известны вероятности, то можно вычислить среднее значение.
Среднее значение координаты х.
Если волновая функция нормирована к единице, то
Учитывая, что оператор координаты “ ”есть просто умножение на х: