Вопрос №4

Статистическая физика

Статисти́ческая фи́зика — это раздел теоретической физики, посвященный изучению систем с произвольным (часто — бесконечным или несчетным) числом степеней свободы. Изучаемые системы могут быть как классическими, так и квантовыми.

Предсказания статистической физики и термодинамики носят вероятностный характер. В этом проявляется специфика статистических закономерностей, присущих именно макроскопическим телам. Вероятностный характер предсказаний позволяет сблизить классическое рассмотрение с квантовым, в котором вероятность лежит в природе вещей. В результате многие выводы и утверждения классической и квантовых статистик легко переводятся простыми правилами соответствия с классического языка на квантовый и наоборот. В этом смысле они оказываются едиными для обеих статистик. То есть уже классическая статистическая физика по своему аппарату эквивалентна квантовой теории.

Обычно при исследовании таких систем нас не интересует почти случайное поведение каждой конкретной частицы. Исключение составляют, например, методы классической молекулярной динамики. Статистическая физика описывает, как из движений частиц системы складывается усреднённая эволюция системы в целом.

Статистическую физику подразделяют на равновесную и неравновесную. Равновесная статистическая физика и термодинамика изучают свойства систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Неравновесная статистическая механика и физическая кинетика изучают, как именно система приходит в состояние локального равновесия.

Методы статистической физики могут применяться не только к атомам и молекулам, но и ко многим иным системам. Соответствующий подраздел статистической физики можно назвать физикой сложных систем.

Основные понятия

• Статистическая сумма

• Микроканонический ансамбль

• Канонический ансамбль

• Большой канонический ансамбль

• Функция распределения (в математике её называют плотностью вероятности).

• Энтропия.

• Статистика Максвелла-Больцмана.

• Статистика Бозе-Эйнштена.

• Статистика Ферми-Дирака.

Статистическая физика и термодинамика

Статистическая физика даёт вывод термодинамики многих реальных систем: идеальных газов, реальных газов, квантовых газов, простых конденсированных сред (например,идеальных кристаллов, спиновых цепочек). В частности, она даёт явные соотношения для используемых в термодинамике энтропии, термодинамической работы, внутренней энергии и объясняет закон неубывания энтропии.

Математические методы в статистической физике

Математические методы, которые применяются в статистической физике, очень разнообразны. Это методы квантовой механики и квантовой теории поля, теория нелинейных уравнений, теория стохастических дифференциальных уравнений, а также различные методы математической физики. Важную роль в статистической физики играют численные методы, требующие очень мощных вычислительных машин. К ним относятся метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики, которые позволяют моделировать реальные процессы и явления и получать информацию, недоступную другим методам.

Термодинамика — раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехо­да между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, кото­рые лежат в основе этих превращений. Этимтермодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных за­конах, установленных в результате обобщения опытных данных.

Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако, с другой стороны, термодинами­ческий метод несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопи­ческом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термо­динамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различ­ными методами исследования.

про динамический метод не нашёл…

Вопрос№11

Физические случайные величины.

Оставляя в стороне строгое математическое определение случайных величин и ограничиваясь физическими случайными величинами можно сказать, что случайными величинами являются величины, значение которых не может быть точно определено. Причем под определенным значением здесь надо понимать значение, полученное в результате прямых или косвенных измерений. Прямое измерение -- это непосредственное измерение интересующей нас величины, а косвенное -- это определение значения искомой величины по измеренным значениям других величин с помощью функциональной связи (эмпирической или теоретической) между этими величинами.

Физические случайные величины можно условно разделить на 3 разных класса. К первому классу относятся величины, которые имеют в природе строго определенное значение. Это значение мы можем измерить, но из-за неидеальности измерительных приборов измеренное значение будет отличаться от точного. Мы можем много раз повторять наши измерения и каждый раз получать различные значения. При этом случайной величиной будет именно измеренное значение исходно совершенно нормальной величины. К первому классу можно отнести практически все классические физические величины. Ко второму классу можно отнести физические величины статистической физики, истиные значения которых сами по себе являются случайными величинами, флуктуирующими вокруг своих средних значений. К третьему классу относятся квантовые величины. Квантовая величина может не иметь определенного значения (например если квантовая система находится в смешанном состоянии), однако в процессе измерений мы с определенной вероятностью фиксируем некоторое ее значение. Кроме того, согласно принципу неопределенности, одновременно не могут быть точно определены значения величин, описывающихся некоммутирующими операторами. Несовпадение результатов различных измерений для величин из 2 и 3 классов обусловлено не только погрешностью наших измерительных приборов, но и самой природой измеряемых величин.

При интерпретации результатов эксперимента надо учитывать возможное влияние измерений на состояние физической системы, при котором результаты измерений зависят от порядка их проведения. При измерениях классических физических величин таким влиянием часто можно пренебрегать, хотя и не всегда. При измерениях квантовых величин таким влиянием почти всегда пренебрегать нельзя. Исключением может являться случай больших систем, когда каждое отдельное измерение, изменяющее состояние малой части системы, практически не меняет состояние системы в целом.

Какой бы ни была наша наблюдаемая величина, перед нами встает вопрос о повторяемости результатов измерений и их ошибках. Мы можем по-разному организовать наши наблюдения. А именно, мы можем на одной экспериментальной установке измерять одну и туже величину в одной и той же физической системе в разные последовательные моменты времени. Или же мы можем создать несколько одинаковых физических систем вместе с идентичными экспериментальными установками (в статистике такое множество систем обычно называется ансамблем) и измерять интересующую нас физическую величину одновременно во всех системах. Конечно можно и комбинировать эти два метода.

Проводя серию измерений первым способом, повторяющихся результатов можно ожидать только если характерное время изменения измеряемой величины существенно превышает время одиночного измерения и процесс измерения не влияет на состояние системы. В этом случае результат измерений не зависит от очередности их проведения, хотя и содержит случайную составляющую, связанную с ошибками измерений. Второй же метод проведения измерений даст повторяющиеся результаты, если мы сможем создать ансамбль идентичных невзаимодействующих физических систем. Таким образом, если измерения не влияют на систему и состояние системы не зависит от времени, то серии измерений, проведенных первым и вторым способом, эквивалентны и с точностью до ошибок измерения дают повторяющиеся результаты.

Вещественные случайные величины могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения как в ограниченных, так и в неограниченных областях вещественной оси. Можно ввести понятие вероятности дискретной случайной величины

,

определенное если этот предел существует. Здесь N_k - число измерений, в которых величина x=x_k, а N - полное число измерений. Эта вероятность определяет, сколько раз случайная величина x принимала значение x_k относительно полного числа измерений в пределе больших N. Для непрерывных величин аналогично вводится плотность вероятности p(x), так что

определяет сколько раз величина x принимала значения на отрезке [x,x+dx] относительно полного числа измерений в пределе больших N. Не представляет труда обобщение на случай комплексных и векторных случайных величин.

Для вероятности выполняются очевидные из определений соотношения нормировки:

Если существует предел

,

то величина <x> называется математическим ожиданием дискретной случайной величины x. Для непрерывной случайной величины определение математического ожидания обобщается как

.

Эти пределы имеют смысл не для всех случайных величин, но нас интересуют случайные величины, для которых пределы существуют и определения корректны.

Из определений вероятности (плотности вероятности) и математического ожидания очевидно следуют следующие свойства: 1.  Если x - случайная величина с распределением P_x(x), а y=const - постоянная, то случайная величина z=(x+y) подчиняется распределению P_z(z)=P_x(z-y) и <z>=<x>+y; 2.  Если x - случайная величина с распределением P_x(x), а y=const - постоянная, то случайная величина z=x*y подчиняется распределению P_z(z)=P_x(z/y) и <z>=<x>*y.

Случайная величина A называется независимой от величины B, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины A не зависит от значения величины B. Если A не зависит от B и B не зависит от A, то эти случайные величины называются независимыми. Очевидно, что при этом вероятность получить пару (AB) равна произведению вероятностей получить A и B, то есть P(AB)=P(A)P(B). Это определение легко обобщается на произвольное число случайных величин, а именно случайные величины A₁,A₂,...,A_N называются независимыми, если вероятность получить любое множество вида (A_iA_j...A_k) равна произведению вероятностей получить отдельные значения этих величин: P(A_iA_j...A_k)=P(A_i)P(A_j)...P(A_k).

Коррелятором двух случайных величин x,y называется величина Cor(x,y)=<xy>-<x><y>. Справедливо утверждение, что если случайные величины x,y независимы то Cor(x,y)=0, которое непосредственно следует из определения вероятностей, математического ожидания и равенства 

для независимых случайных величин (приведена формула для дискретных случайных величин). Обратное утверждение в общем случае неверно. Но для случайных величин, распределенных по нормальному закону равенство Cor(x,y)=0 является не только необходимым, но и достаточным условием независимости величин x,y. Доказательство может быть найдено практически в любом учебнике по теории вероятностей, например, в Ивченко и Медведев 1984.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве  . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.