2. Рассмотрим варианты, принадлежащие ω. Введем понятие сравнимых вариантов. Варианты 1 и 2 считаются сравнимыми, если

либо

Очевидно, если хотя бы одно неравенство выполняется строго, то худший вариант может быть отброшен, так как другой имеет по крайней мере по одному показателю лучшие значения при равных значениях по остальным. Проведя попарное сравнение вариантов из Ω и отбрасывая заведомо худшие, получаем множество Π попарно несравнимых вариантов или вариантов, оптимальных по Парето. Очевидно, Π Ω. Дальнейшее выделение лучшего варианта из Π сводится к выбору некоторой схемы компромисса, которая явно или неявно учитывает предпочтение одних показателей перед другими. Причем в зависимости от выбранной схемы компромисса лучшим вариантом может быть признан любой из Π. Если схема компромисса основывается на явном предпочтении одних показателей перед другими, то приходим к модели математического программирования (подход 3).

3.Предположим, что выбрана некоторая функция F, зависящая от показателей K, C, T, R, P и определяющая некоторую схему компромисса. Функция F(K, C, T, R, P) имеет смысл обобщенного критерия, учитывающего важность каждого показателя. В этом случае задача выбора лучшего варианта сводится к следующей задача математического программирования:

extr F(K, C, T, R, P) (3-25)

{Π}

Выбор схемы компромисса (выбор функции F) позволяет учесть желания и стремления разработчиков системы. Однако он остается творческим процессом, при котором могут быть допущены ошибки. Неудачный выбор функции F в сочетании с недостаточно точной информацией о показателях вариантов может в значительной степени уменьшить эффективность оптимизации. Этот недостаток может быть устранен путем отказа от полной формализации процесса выбора лучшего варианта. Предполагается следующий подход к решению задачи. Зададим схему компромисса (функцию F), наиболее полно отвечающую стремлению разработчика к назначению будущей системы. Пусть = extr F(K, C, T, R, P). Определим множество близких {Π} вариантов с точки зрения принятой схему компромисса D(F). Вариант принадлежит D(F), если значение обобщенного критерия F варианта лежит в интервале [ -δ, ]. Можно ограничить множество D(F) и по числу входящих в него вариантов. Ясно, что множество D Π. Задача состоит в поиске множества D. Очевидно, что при δ=0 она сводится к экстремальной задаче (3-25), которая является ее частным случаем.

Множество D должно состоять из небольшого числа вариантов, например из 10 вариантов, включая оптимальный (3-25). Окончательный выбор варианта, по которому будет построена система управления, остается за главным конструктором или комиссией экспертов. При этом могут быть учтены дополнительные факторы, неформализуемые в рамках математической модели.

2. Определение системы, структуры

Система - совокупность взаимосвязнных элементов живой и неживой природы, действия которых направлены на достижение целей в соответствии с некоторым критерием оптимальности для множества входных воздействий.

Структура - множество связей и отношений заданное на множестве элементов системы.

Билет 24

1. Основные ограничения при решение задач синтеза

Рассмотрим основные типы ограничений (условий), которые учитываются при решении задач (3-5), (3-6).

Условие 1. Каждая задача i решается лишь в одном варианте из числа возможных:

Аналогично условие 1 записывается для этапов и узлов:

Условие 2. Число задач, выполняемых системой, ограничено сверху (снизу):

Либо число узлов, входящих в систему, должно быть больше (меньше) заданного.

Условие 3. В каждом узле j решается не более чем (не менее, столько же) nij этапов i-й задачи:

(3-7)

Причем, если требуется выполнение равенства в (3-7) и nij=mi, то задача i целеком выполняется в узле j.

Условие 4 (на загрузку узла). В j-м узле решается не более nj этапов различных задач:

Условие 5. При задании отображения типа А требуется, чтобы каждый этап i-й задачи выполнялся лишь в одном узле:

При задании отображения типа Б решение каждого этапа i-й задачи может распределяться между узлами. При этом ximj равно части объема m-го этапа i-й задачи, выполняемой в j-м узле, и необходимо, чтобы

Условие 6 (логические условия типа И и ИЛИ). Для каждого узла j либо задачи i (этап m) задается множеством узлов (задач, этапов) Njp(Njk, Nimj), связанных с j(i,m) следующим условием (типа И) (если Xjp=1, то и =1 для всех j’p’ Njp):

Если требуется, чтобы при Xjp=1 равенство =1 выполнилось лишь для одного j’p’ из заданного множества Mjp, то получаем логические условия типа ИЛИ:

Аналогично могут быть формализованы более сложные условия, например условие, не допускающее решения взаимосвязанных этапов m и m’ в узлах, не связанных каналом связи. Пусть djj’=1, если узлы j и j’ связанны между собой, и 0 в противном случае, тогда требуется чтобы

Ограничения на характеристики в виде системы неравенств (3-6) выражаются следующими типами функций : аддитивными, мультипликативными (в частности, квадратичными), с фиксированными доплатами, смешанного типа.

1. Затраты на разработку системы

где Rimnj – затраты на разработку m-го этапа i-й задачи, решаемого в n-м варианте в j-м узле.

2. Затраты на создание системы. Пусть lirmn – тип набора технических устройств, используемых для решения m-го этапа i-й задачи, решаемой в k-м варианте, и cl – стоимость набора l, тогда затраты на оснащение системы необходимыми техническими средствами составят:

где,

3. Затраты на эксплуатацию системы. Пусть

где - затраты на решение m-го этапа i-й задачи в j-м узле; - средний поток информации, циркулирующий между m-ным этапом i-й задачи и m’-ным этапом i’-й задачи в процессе функционирования системы, а - затраты на передачу единицы информации из узла j в узел j’. Тогда ограничение на затраты имеет вид:

4. Аналогично записываются ограничения на эффективность и оперативность выполнения функций (задач) в узлах системы. Пусть - время выполнения m-го этапа i-й задачи, решаемого n-м способом в j-м узле, - время передачи единицы информации между узлами j и j’, тогда время выполнения задачи (оперативность), которое складывается из времени последовательно выполняемых этапов и времени на передачу информации между этапами, выразится следующим образом:

5. Загрузка узлов системы. Каждый узел системы располагает ограниченным набором ресурсов , необходимым для выполнения заданных функций, здесь γ – тип ресурса, а t – период функционирования системы.

Пусть - количество ресурсов γ-го типа в период t, необходимое для выполнения m-го этапа i-й задачи. Естественно считать, что известно лишь для задач планового типа. Тогда ограничение на загрузку записывается следующим образом:

где - ресурсы, необходимые для выполнения оперативных задач.

Учесть загрузку узлов при наличии задач оперативного типа (определение ) удается лишь в ограниченном числе случаев (в случае простейшего потока и показательного закона обслуживания). В общем случае, когда потоки заявок на решение задач нестационарны и имеют специальное распределение, необходимо использовать итеративные процедуры выбора оптимального варианта структуры с использованием систем моделирования.

В зависимости от специфики синтезируемой системы в качестве оптимизируемого показателя качества могут выступать объединения различных характеристик. Так, для синтеза АСУ отраслевого типа характерны экономические характеристики типа общей эффективности функционирования системы (3-4).