13.Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P₀ . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Рис. 2.2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

PdS - P₀ dS - ρghdS = 0

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем

P = P₀ + ρgh = P₀ + hγ

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P₀ на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P₀. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

14 Сила давления жидкости на плоскую стенку.

Чтобы найти полную силу давления жидкости па плоскую стенку, накло­ненную углом В надо использовать основное уравнение гидростатики. Вычис­лим силу давления F , действующую со стороны жидкости на участок стенки площадью S.

Ось Ох направим по линии пересечения плоскости стенки с жидкостью, а ось Оу — перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Выразим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

где ро — давление на свободной поверхности; h — глубина расположения пло­щадки dS.

Для определения всей силы F проинтегрируем по всей площади S:

где у — координата площадки dS.

Последний интеграл это статический момент площади S относительно оси Ох равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С),т.е

Значит F=p_oS +

(здесь h₀ — глубина расположе­ния центра тяжести площади S), или F=

т. е. полная сила давления жидко­сти на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление рс в центре тяжести этой площади. Когда давление р₀ является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила избыточного дав­ления жидкости на плоскую стенку равна силе F_ж давления от веса жидкости, т. е.

Обычно давление р₀ существенно отличается от атмо­сферного, поэтому полная сила F давления жидкости на стенку состоит из двух сил: F₀ от внешнего давления Р₀ и силы F_ж от веса жидкости, т. е.

Так как внешнее давление р₀ передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F₀ будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы дав­ления F_ж от веса жидкости (точка D) применим теорему механики: момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

F_жy_d = где y_d точка приложения силы F_ж

Выразив F_ж и через у и у_с и определив y_d получим

то

таким образом точка прило­жения силы F_ж расположена ни­же центра тяжести площади стенки;

р асстояние между ними

Если давление р₀ равно атмос­ферному, то точка D и будет цент­ром давления. При р_о выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействую­щей двух сил: F_о и F_ж

чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, центр давления ближе к центру тяжести площади S.