Лекция 19

Основные выводы.

1. Примеры решения стационарного уравнения Шредингера

1.1. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. (U отвечает требованиям: U = 0 при 0< x <l; U = ∞ при х = 0 и х = l.) Решение существует при (значениях энергии , где n = 1,2,3.... Эти значения Е_п называются собственными значениями энергии, а соответствующие им решения ψ_п — собственными функциями.

1.2. Гармонический осциллятор имеет потенциал . Ему соответствует уравнение Шредингера . Это уравнение имеет решения при дискретных значениях энергии , п = 0, 1, 2 ...

1.3. Прохождение частицы через потенциальный барьер высотой U_о и шириной l при энергии частицы Е меньшей высоты потенциального барьера U_o (туннельный эффект).

В одномерном случае необходимо решить уравнение Шредингера при условиях: U = 0 при х < 0; U = U_o при 0≤ x ≤l; U = 0 при х > l.

Коэффициент прозрачности туннельного аффекта: .

2. Уравнение Шредингера для атома с потенциальной кулоновской энергией U = – Ze²/r в сферической системе координат r, θ, 

имеет решения при собственных значениях энергии , где п = 1,2,3.... Соответствующие собственные функции ψ_n,l,v(r,θ,) содержат три целочисленных параметра n, l, m. При этом n определяет энергию электрона, l — его орбитальный момент и m — магнитное квантовое число определяет проекцию орбитального момента на выбранную ось.

Электрон обладает собственным моментом импульса, который носит название спин. Проекция спина на любую ось может принимать два значения + и – . Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами: главное n (n = 1, 2,3...), орбитальное l (l = 0,1, 2... n–1), магнитное m (m = –l, –l + 1...0... +l), проекция спина S (S =+ , – )

3. Принцип запрета Паули:

В любой квантовой системе, в том числе в атоме, не может находится двух и более электронов с одинаковыми квантовыми числами n, l, m и S.

4. Уравнение Шредингера и принцип запрета Паули позволяют объяснить периодический закон Менделеева — периодическую зависимость химических свойств элементов от атомного номера Z. Атомный номер определяет количество электронов в атоме и заряд атомного ядра. При данном n (на данном энергетическом уровне) может находится не более 2n² электронов. Электроны с одинаковым n образуют оболочку. Обозначаются оболочки буквами К, L, М, N... для n = 1, 2, 3, 4 ... С увеличением Z происходит заполнение оболочек. При этом на К-оболочке не может находится более 2 электронов, на L—оболочке — более 8 электронов и т.д. Электроны, находящиеся на высшей оболочке называются валентными и определяют химические свойства элементов. Число их периодически повторяется, что и объясняет периодическую повторяемость химических свойств элементов.

Лекция 20/21

Основные выводы.

Атомное ядро

1. Атомное ядро характеризуется атомным номером Z и массовым числом А — его массой, округленной до ближайшего целого числа. Ядро изотопа данного химического элемента обозначают как , где X химический символ элемента. Например, для водорода: , для углерода: . Ядро состоит из протонов, имеющих заряд +е и массу т_р = 938,3 МэВ/с² и нейтронов с зарядом 0 и массой m_п = 939,6 МвВ/с². Число протонов в ядре равно Z, а число нейтронов (А – Z). Протоны и нейтроны носят общее название нуклоны. Нуклоны в ядре удерживаются ядерным силами, возникающими в результате сильного взаимодействия. Энергия связи ядра определяется как

E_св = c²([Zm_p + (A – Z)m_n] – m_A),

где т_A — масса ядра . Энергия связи нуклонов в ядре в 10⁶ раз больше, чем энергия связи электронов в атоме.

2. Свойства ядерных сил:

-о Ядерные силы являются короткодействующими. Их радиус действия 10^–13 см.

-о Ядерные силы обладают свойством зарядовой независимости: т.е. величина взаимодействия одинакова для нуклонов любого знака.

-о Ядерные силы не являются центральными.

-о Ядерные силы обладают свойством насыщения, т.е. каждый нуклон в ядре эффективно взаимодействует с ограниченным числом нуклонов.

3. Радиоактивность.

Существуют ядра, способные самопроизвольно испускать элементарные частицы. Такие ядра называются нестабильными или радиоактивными. К числу радиоактивных процессов относятся следующие: -распад, -распад, -излучение, спонтанное деление тяжелых ядер, протонная радиоактивность. Радиоактивность ядер, существующих в природе, называется естественной. Радиоактивность ядер, возникающих в результате ядерных реакций, называется искусственной. При -распаде ядро испускает -частицу, т.е. ядро гелия , при -распаде испускает электрон или позитрон. Например, и , соответственно ( — антинейтрино).

Число ядер dN, распадающихся в промежуток времени от t до t + dt, пропорционален dt и числу ядер N, не распавшихся к моменту времени t

dN = –λNdt,

где А — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной распада. Отсюда, число ядер не распавшихся к моменту времени t равно

,

где N_o — число ядер в начальный момент времени t = 0.

Величина  = 1/λ называется средним временем жизни ядра. Время, за которое количество ядер уменьшится в 2 раза, называется периодом полураспада Т.

.

Активность радиоактивного вещества определяется как число распадов, происходящих в веществе за единицу времени, т.е. произведением Nλ. В системе СИ единицей активности является беккерелъ (Бк)

Бк = 1 распад/с

Внесистемная единица активности — кюри (Ки)

1 Ки = 3,7∙10¹⁰ распадов/с = 3,7∙10¹⁰ Бк.

Воздействие ионизирующего излучения на вещество характеризуется дозой ионизирующего излучения.

Поглощенная доза излучения D — это энергия излучения, поглощенная в единице массы облучаемого вещества. Единица поглощенной доза в СИ — грей (Гр)

1 Гр=1 Дж/кг

Внесистемная единица поглощенной дозы рад

1 рад = 100 эрг/г = 0,01 Гр

Экспозиционная доза облучения (используется при рентгеновском облучении) — это отношение суммы электрических зарядов ионов одного знака, образовавшихся в воздухе за время облучения, к массе воздуха. Единица экспозиционной дозы в СИ — кулон на килограмм (Кл/кг).

Внесистемная единица экспозиционной дозы — рентген (Р).

1P = 2,58.10^–4 Кл/кг.

Биологическая доза — величина, определяющая воздействие излучения на организм.

Относительна биологическая эффективность (ОБЭ) — отношение поглощенной дозы D_o образцового излучения, вызывающего определенный биологический эффект, к поглощенной дозе излучения, вызывающей такой же биологический эффект. В качестве образцового используется рентгеновское излучение с Е_гр. = 200 КэВ.

Коэффициент качества ионизирующего излучения Q для равных видов излучения: рентген, -лучи, электроны и позитроны — Q = 1; протоны и нейтроны с Т < 10 МэВ — Q = 10; -частицы с Т < 10 МэВ и тяжелые ядра отдачи — Q = 20. Эквивалентная доза Н — произведение поглощенной дозы и коэффициента качества: Н = DQ. Единица измерения Н в СИ — зиверт (Зв)

1 Зв = 1 Гр.Q

Внесистемная единица измерения Н — бэр (биологический эквивалент рада).

1 бэр = 0,01 зиверт.

При работе с радиоактивным источниками введена предельно допустимая доза (ПДД). Для профессионалов она составляет 5 бэр/год.

Считается, что минимальная абсолютно летальная доза (МАЛД) для человека составляет примерно 600 рад.

4. При захвате нейтронов некоторыми тяжелыми ядрами (например, , , ) происходит реакция деления ядра на два примерно равных осколка деления. При этом вылетает несколько (2-3) нейтрона. Это дает возможность осуществления цепной ядерной реакции. При этом выделяется энергия около 0,8 МэВ/нуклон. Цепная реакция характеризуется коэффициентом размножения k, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к числу нейтронов в предыдущем поколении. Развитие цепной реакции определяется соотношением

,

где N_o — число нейтронов в начальный момент времени, N — их число в момент времени t и Т — среднее время жизни поколения.

При k < 1 цепная реакция затухает, при k = 1 идет самоподдерживающаяся реакция и при k > 1 — развивающаяся. Величина k зависит от многих факторов, в том числе от размеров объема, занимаемого делящимся веществом. Минимальные размеры, при которых возможно осуществление цепной реакции называются критическими размерами, а минимальная масса делящегося вещества, находящегося в критических размерах называется критической массой. Неуправляемая цепная реакция приводит к взрыву. Управляемая цепная реакция осуществляется в ядерных реакторах, позволяющих получать энергию, например в АЭС.

5. При синтезе легких ядер в более тяжелые также происходит выделение энергии. Например в реакции выделяется энергия 3,5 МэВ/нуклон. Однако, чтобы сблизится на расстояние действия ядерных сил ядра должны обладать достаточной энергией для преодоления кулоновского барьера. Это возможно при температуре порядка 10⁸—10⁹ К. Близкая к этой температура достигается в недрах Солнца и звезд, где и протекают термоядерные реакции. В земных условиях осуществлена только неуправляемая термоядерная реакция (взрыв). Ведутся интенсивные работы по осуществлению управляемой термоядерной реакции.