4. R,l,c цепочка в цепи переменного тока.

Если цепь состоит из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности, то полное сопротивление такой цепи будет равно:

Z- называется электрическим импедансом цепи.

В этом случае закон Ома будет иметь вид:

. Рис.51.

При этом ток будет отставать от напряжения на угол , у которого .

Изобразим это с помощью векторной диаграммы..

Пусть ось токов совпадает с осью OX.

напряжение на резисторе совпадает по

током, следовательно, вектор, модуль

которого равен амплитудному значению

напряжения будет направлен по

оси OX.

Напряжение на катушке опережает ток на

, и, следовательно, вектор, модуль

которого равен , направлен по

Рис. 52 оси OY.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на , поэтому, соответствующий вектор, модуль которого равен , направлен вниз по оси OY.

Направление вектора, определяющего модуль результирующего напряжения U, получим путем векторного сложения всех трех векторов, и его численное значение будет равно:

Разность фаз между колебаниями тока и напряжения в R,L,C цепочке равна углу, у которого:

.

Амплитуда силы тока достигает своего максимального значения при наименьшем значении полного сопротивления Z, т.е.

Сдвиг по фазе между колебаниями внешней эдс и силой тока при этом становится тое равным нулю. Активная мощность совпадает с мощностью источника.

Амплитуды напряжения на катушке и конденсаторе в этом случае одинаковы по величине, но противоположны по фазе. Полное падение напряжения в цепочке равно падению напряжения на активном сопротивлении. Это явление называется резонансом напряжений.

Если контур состоит из параллельно соединенных конденсатора и катушки индуктивности

при малых значениях активного сопротивления

параллельных ветвей амплитуда

силы тока во внешне части цепи равна:

.

При и тогда

Рис.53

Резкое уменьшение амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные емкостное и индуктивное сопротивления при условии, что называется резонансом токов.

ЛЕКЦИЯ 10

ВЗАИМНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.

1. Ток смещения.

2. Вихревое электрическое поле.

3. Уравнения Максвелла в интегральной форме.

4. Электромагнитное поле. Уравнения классической физики.

Пусть конденсатор емкостью C включен в сеть переменного тока. В диэлектрике между пластинами А и В заряды не могут перемещаться, в результате линии тока, подходящего к пластинам обрываются, т.е. ток проводимости оказывается разомкнутым.

Пусть в начальный момент обкладка А имеет

Положительный заряд, распределенный по ее

Поверхности с плотностью . Обкладка В

Имеет отрицательный заряд с поверхностной

Плотностью . При разрядке конденсатора

Ток течет от А к В по внешней цепи и

Плотность этого тока будет равна:

. ( )

Рис.54.

Будем считать, что частота переменного тока не велика, что даст нам возможность оперировать мгновенными значениями для вычисления мгновенных значений параметров поля между пластинами.

Численное значение вектора электростатической индукции в пространстве между пластинами, как известно из электростатики, равно: .

Продифференцировав по времени, получим:

или . ( )

В случае неоднородного поля надо перейти к частным производным, что мы в дальнейшем и сделаем.

В конденсаторе направление вектора от пластины А к В, а вектора от В к А, так как поле в конденсаторе при его разрядке убывает. Следовательно Учитывая и получим:

Отсюда вывод: внутри пластины А вектор плотности тока направлен справа налево; между пластинами в этом же направлении идет только вектор .

Т.е., линии тока проводимости замыкаются линиями вектора .

Максвелл предложил назвать вектор плотностью тока смещения и тогда .

Однако не является плотностью тока в прямом смысле. Это не ток – это переменное электрическое поле.

1-ая гипотеза Максвелла.

Ток смещения ( переменное электрическое поле) создает в том же объеме пространства

переменное магнитное поле, такое же, как магнитное поле эквивалентного тока проводимости.

Позднее эта гипотеза была подтверждена экспериментально.

Полный ток, по Максвеллу, есть сумма токов проводимости и смещения и он всегда является замкнутым.

Подставляя полученное выражение в теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля, получим:

Уравнение представляет собой математическую запись первой гипотезы Максвелла и означает, что любое изменение электрического поля приводит к возникновению в той же области пространства изменяющегося магнитного поля.

Теперь вернемся к явлению электромагнитной индукции. Для этого поместим жесткий проводящий контур в магнитное поле. Любое изменение магнитного потока через этот контур приведет к возникновению в нем эдс индукции. По определению эдс – это работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру.

,

где - напряженность поля сторонних сил.

Какова же природа сторонних сил в данном случае? Эти силы не могут иметь механическую или химическую природу; Это не сила Лоренца, так как работа силы Лоренца всегда равна нулю.

2-ая гипотеза Максвелла:

Всякое изменение магнитного поля вызывает возникновение в той же области пространства изменяющегося электрического поля.

Обозначим напряженность поля сторонних сил, вызвавших появление эдс индукции, как

Тогда можем записать, что

.

С другой стороны, согласно закону Фарадея эдс электромагнитной индукции можно записать следующим образом:

.

Поскольку проводящий контур жесткий, то площадь его не меняется, и, следовательно, меняется только магнитный поток, поэтому можно записать:

.

Переход к частной производной обусловлен тем, что в общем случае индукция магнитного поля может зависеть не только от времени, но и от координат.

Приравняв выражения , , получим:

В левой части интегрирование ведется по

контуру , а в правой части – по поверхности ,

которая опирается на контур .

Рис. 55.

Преобразование магнитного поля в электрическое происходит независимо от наличия контура, который при данном процессе выполняет роль индикатора.

Возникающее электрическое поле существенно отличается от электростатического. Его силовые линии замкнуты и охватывают силовые линии изменяющегося магнитного поля. Такое электрическое поле называют вихревым.

Рис.56

Итак, мы получили, что существуют две причины возникновения электрического поля – это наличие электрических зарядов и изменение магнитного поля.

,

где -напряженность результирующего электрического поля, напряженность поля, образованного электрическими зарядами, напряженность вихревого электрического поля, возникающего в результате изменения магнитного поля.

Первый интеграл в правой части равен нулю, согласно теореме о циркуляции вектора

напряженности электростатического поля

,

второй интеграл равен

.

Окончательно получим:

.

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что оно показывает, что любое изменение магнитного поля вызывает в окружающем пространстве возникновение изменяющегося электрического поля, которое является вихревым.

Теперь мы можем записать систему основных уравнений, на которых основана классическая электродинамика и которая называется системой уравнений Максвелла.

Первые два уравнения являются математической записью гипотез Максвелла.

1. .

И оно означает, что любое изменение электрического поля приводит к возникновению в той же области пространства изменяющегося магнитного поля.

2. .

Оно показывает, что любое изменение магнитного поля вызывает в окружающем пространстве возникновение изменяющегося электрического поля, которое является вихревым.

Следующие уравнение – это теорема Гаусса для вектора электростатической индукции:

3. ,

где объемная плотность зарядов.

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что источником электростатического поля являются электрические заряды.

И четвертое уравнение – это теорема Гаусса для вектора магнитной индукции:

4.

И оно означает, что магнитных зарядов в природе не существует.

Дополнительными считаются два материальных уравнения и закон Ома в дифференциальной форме:

, где - удельная проводимость.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла имеет вид:

1.

2.

3.

4.

Согласно теории Максвелла переменное магнитное поле всегда неразрывно связано с порождаемым им переменным электрическим полем, которое, в свою очередь, приводит к возникновению переменного магнитного поля и т.д. Следовательно, в природе существует только электромагнитное поле. Согласно уточненному принципу относительности, рассмотрение отдельно электрического поля и отдельно магнитного поля имеет лишь относительный смысл.

Проделаем следующий мысленный эксперимент.

Пусть один наблюдатель с комплектом приборов, способных фиксировать наличие электрического и магнитного полей, находится в неподвижной точке А. Мимо него верхом на заряженной частице с постоянной скоростью двигается второй наблюдатель с таким же набором приборов.

Первый наблюдатель фиксирует наличие только магнитного поля, которое создает движущаяся мимо заряженная частица, второй же наблюдатель фиксирует только электрическое поле, так как относительно него заряд неподвижен.

Если же второго наблюдателя заставить двигаться с ускорением, то его приборы будут продолжать показывать наличие только электрического поля. Приборы же первого наблюдателя обнаружат электромагнитное поле, так как в этом случае движущейся мимо с ускорением заряд будет создавать изменяющиеся электрическое и магнитное поля.

Система уравнений Максвелла позволила создать единую теорию электромагнитного поля и завершить построение классической физики.

Основными уравнениями классической физики можно считать:

1. - закон сохранения импульса.

2. - обобщенная сила Лоренца.

3.

4.

5.

6.

7. - закон всемирного тяготения.

Последнее уравнение не вписывается в теорию Максвелла и описывает гравитационное взаимодействие.

ЛЕКЦИЯ 11

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.

1. Волновое уравнение электромагнитной волны.

2. Экспериментальные исследования свойств электромагнитных волн. (На самостоятельную проработку)

3. Энергия электромагнитной волны.

4. Давление электромагнитных волн на проводящую поверхность.

Анализируя полученные уравнения, Максвелл пришел к выводу, что конечным итогом связи изменяющихся магнитных и электрических полей будет их распространение в пространстве.

Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве называется электромагнитной волной.

Электромагнитная волна является поперечной, так как вектора и взаимно перпендикулярно и связаны с направлением скорости правилом правого винта.

Если вращать винт от к , то поступательное движение винта совпадает с направлением вектора скорости .

Рис.57

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, фронт волны представляет собой плоскость, которая распространяется вдоль оси ОХ в вакууме. Поскольку среда –вакуум, следовательно ток проводимости отсутствует: .

Воспользовавшись уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

,

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, с учетом того, что в этом случае = а , и а , эти уравнения будут иметь вид:

и . (*)

Продифференцировав 1-ое уравнение по x, а второе по t, получим:

Умножим 2-ое уравнение в полученной системе на , тогда

Подставив полученное выражение в первое уравнение, получим:

,

где - скорость распространения электромагнитной волны.

- дифференциальное уравнение плоской электромагнитной волны.

По аналогии можно получить дифференциальное уравнение для магнитной составляющей электромагнитной волны:

Решением этих уравнений являются функции вида:

где частота волны; волновое число; и - начальные фазы колебаний в точке

Подставив в (*)функции, описывающие и получим:

Что бы полученные равенства выполнялись необходимо, что бы и

Перемножив эти два равенства, получим, что .

Можно сделать вывод, что колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей происходят в одинаковой фазе и амплитуды этих векторов связаны соотношением:

Если электромагнитная волна не является плоской, волновое уравнение будет иметь вид:

Решением этих уравнений являются функции вида:

где - радиус-вектор, соединяющий начало системы координат с выбранной точкой на фронте волны, волновой вектор, модуль которого равен:

Возможность обнаружения электромагнитных волн по проскакиванию искры, свечению лампочки и многое другое указывает на то, что волна переносит энергию. Очевидно, что эта энергия складывается из энергий двух полей: электрического и магнитного.

Плотность энергии электромагнитной волны запишем в виде суммы плотностей энергий электрического и магнитного полей:

.

В непроводящей среде , то можно записать, что

.

Поскольку , то или .

Первый множитель – есть величина обратная скорости распространения электромагнитных волн, т.е. .

Введем новую физическую величину S- плотность потока энергии электромагнитной волны, равную , подставив в него , получим, что

.

Учитывая, что E и H взаимно перпендикулярны, т.е. угла между ними равен единице, можем записать

,

или в векторной форме = .

Вектор, характеризующий процесс переноса энергии электромагнитной волной, называется вектором Пойтинга.

Падая на проводящую поверхность, электромагнитная волна должна оказывать на нее давление.

Происхождение этого давления можно понять на следующем примере:

Пусть плоская электромагнитная волна падает на

тело, имеющего плоскую поверхность S.

Электрическое поле этой волны возбуждает в теле

Электрический ток, плотность которого равна:

,

Где - удельная проводимость вещества.

Магнитное поле волны будет действовать на этот

Ток с силой, величина которой на единицу объема

Тела, согласно закону Ампера, равна:

Рис. 58

Направление этой силы определяется правилом левой руки и будет совпадать с направлением распространения электромагнитной волны.

Расчеты показали, что, если тело полностью поглощает энергию падающей волны, то давление будет равно среднему (по времени) значению плотности энергии падающей волны.

Существование давления электромагнитной волны на поверхность тела показывает, что волна должна обладать импульсом. Было получено, что импульс единицы объема электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме равен:

= .

где с- скорость света в вакууме.

Наличие импульса указывало на существование у электромагнитной волны массы.

,

или, учитывая, что , получим .

Полученное соотношение является частным случаем соотношения между массой и энергией, полученным А.Эйнштейном в специальной теории относительности.

ЛЕКЦИЯ 12

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

1. Явление интерференции, когерентность. Опыт Юнга.

2. Методы получения когерентных источников. Оптические схемы методов Френеля и Ллойда. ( на самостоятельную проработку)

3. Интерференция в тонких пленках.

4. Практическое применение интерференции. Принцип действия интерферометров.

( на самостоятельную проработку)

а) Как известно, энергия может переноситься двумя способами: потоком частиц или волной. Свет же не обнаруживает очевидным способом ни корпускулярной, ни волновой природы. До 30-х годов 19 века экспериментальные данные свидетельствовали то в пользу одной теории, то в пользу другой.

Основателем и родоначальником корпускулярной теории света был Ньютон. Его теория, опираясь на экспериментальную базу геометрической оптики, объяснила дисперсию света ( разложение белого света в спектр при прохождении через прозрачное вещество); хотя и с большой натяжкой дифракцию световых волн ( огибание волной микроскопических препятствий). Ньютон считал свет потоком частиц, имеющих разную массу. Наиболее тяжелые частицы, по его мнению соответствовали красным лучам, наиболее легкие- фиолетовым.

Основы волновой теории были разработаны голландским физиком Гюйгенсом. Однако экспериментальных подтверждений этой теории до начала 19-го века практически не было. В 1801 году англичанин Томас Юнг на простом и изящном эксперименте получил первые убедительные доказательства волновой природы света, получив интерференционную картину на световых лучах.

Источником света у Юнга служило солнце, поток лучей которого можно считать параллельным.

Рис.59

Луч света проходил через узкую щель S в непрозрачном экране I, и попадал на экран II с двумя щелями S и , расположенными близко друг к другу. С точки зрения Юнга вопрос о природе световых лучей должен быть на третьем экране.

Если свет поток частиц, то на нем можно ожидать появление двух ярких полос, являющихся изображением щелей S и . Но на третьем экране Юнг наблюдал серию ярких линий, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Это доказывало, что световой луч, пройдя через щели S и , делится на два луча, которые накладываются друг на друга в области третьего экрана.

Рис.60

Явление интерференции механических волн было известно очень давно. Оно заключается в увеличении и уменьшении амплитуды колебаний механических волн с одинаковой частотой в различных точках пространства при их наложении друг на друга. Примером интерференции механических волн служит стоячая волна.

Для получения интерференции света необходимо, чтобы накладываемые волны были когерентными.

Когерентными называются волны, имеющие одинаковую частоту (длину волны) и постоянную во времени разность фаз.

Почему же в одних точках экрана свет усиливается, а в других ослабляется?

Пусть волна, прошедшая через щель ,

приходит в точку A на экране фазой , а

волна, прошедшая щель , подходит к той

же точке фазой , где k-целое число,

то амплитуды волн будут складываться и на

экране возникнет максимум. Если же волны

придут в противофазе, т.е. , то

амплитуды волн будут вычитаться и на экране

будет минимум.

Рис.61

Оптической разностью хода лучей называется разность их оптических длин пути, которые равна произведению геометрических длин пути на коэффициент преломления среды.

Учитывая связь между разностью фаз и оптическими длинами пути, получим, что если

В разности хода укладывается четное число полуволн, то волны придут в точку А в одной фазе и возникнет максимум:

, где k=0,1,2….

Минимум возникает, если в разности хода укладывается нечетное число полуволн:

.

б) опыт Юнга.

Рис. 62

Найдем - расстояние между соседними светлыми интерференционными полосами в опыте Юнга.

Из чертежа на рис 62 следует, что

,

с другой стороны, так как светлая полоса это максимум, то

.

По построению

.

Надо учитывать, что угол должен быть очень малым , который равен:

.

Окончательно получим, что расстояние между соседними полосами равно:

.

Интерференция порождает многочисленные явления, наблюдаемые нами в повседневной жизни. Это радужные переливы мыльных пузырей, масляных пленок на воде или на металлических стружках. В этих и многих других случаях интерференционная картина возникает в результате усиливающей интерференции света, отраженного от двух поверхностей прозрачной тонкой пленки или пластинки.

А) Линии равного наклона.

Рассмотрим интерференцию света, отраженного от поверхностей плоско-параллельной пластинки.

Пусть на плоско-параллельную пластинку

толщиной d под углом i падает параллельный

пучок когерентных лучей. (рис.63).

Луч 1, попав в точку А на верхней грани

пластинки, частично отразится от нее (луч )

и частично, преломившись под углом , уйдет в

тело пластинки (луч ). Достигнув нижней грани

в точке В, он вновь частично отразится и,

вернувшись к верхней грани, выйдет из

пластинки в точке С под тем же углом i.

Рис.63.

Луч 2, будучи параллельным лучу 1, падает на пластинку в точке С, и отразившись (луч ) накладывается на луч . В силу когерентности лучей на экране возникает интерференционная картина ( экраном может служить и сетчатка глаза).

Разность оптических длин пути 1-го и 2-го лучей можно записать:

,

где n- показатель преломления среды, - АВС; .

Из чертежа на рис.60 видно, что

,

.

.

Используя закон преломления света ( закон Снелля) , получим:

.

Основываясь на условиях прохождения электромагнитного поля из одной среды в другую, можно показать, что при вектор напряженности электрического поля не меняет своего направления при отражении от границы раздела двух сред и, следовательно, падающая и отраженная волна будут иметь одинаковую фазу. При в отраженной волне направление вектора изменится на противоположное. Это означает, что фаза волны изменится на , т.е. оптическая разность хода изменится на .

Учитывая, что на границе раздела воздух-пластина луч 2 потеряет полволны, окончательно оптическая разность хода лучей 1 и 2 будет равна:

.

Максимум интенсивности будет наблюдаться в том случае, если в этой разности хода будет укладываться четное число полуволн, т.е. .

максимум в отраженном свете.

Ослабляющая интерференция, т.е. минимум, будет наблюдаться, если в оптической разности хода лучей будет укладываться нечетное число полуволн:

.

Тогда ,

минимум в отраженном свете.

Интерферировать могут и лучи, прошедшие сквозь пластинку. В этом случае условия минимума и максимума поменяются местами и интерференционная картина будет менее яркая, так как часть энергии волны будет поглощена в теле пластины.

максимум в проходящем свете

минимум в проходящем свете.

Если осветить плоско-параллельную пластинку белым светом, то условие максимума будет выполняться только для одной длины волны. Меняя угол наклона падающих лучей можно изменять окраску поверхности пластины.

Б) Линии равной толщины (интерференция от клина).

Если толщина пластинки меняется, то ход лучей будет несколько иной, но условия возникновения интерференции останутся такими же. Теперь будут интерферировать лучи, отраженные от точек поверхностей соответствующих одной и той же толщине. При этом толщина клина должна быть очень малой. Это необходимо для сохранения когерентности интерферирующих лучей. Этот вид интерференции был изучен еще Ньютоном (кольца Ньютона).

Схема установки для получения колец Ньютона

представляет собой плоско-выпуклую

собирающую линзу с большим радиусом

кривизны , которая выпуклой стороной прижата

к плоскопараллельной пластине. Линза должна

иметь большой радиус кривизны R, что бы

воздушный клин между выпуклой

поверхностью линзы и верхней гранью

пластинки имел очень малый угол, до минуты.

Рис.64.

Пусть на плоскую поверхность линзы падает нормально параллельный пучок света (i=0). Луч 1 проходит в тело линзы и часть его отражается от внутренней выпуклой поверхности в точке А (луч ). Оставшаяся часть луча, практически не преломляясь, выходит из линзы и отразившись от плоскопараллельной пластинки в точке В, попадает снова в линзу, из которой выходит под тем же углом i=0 (луч ).

Определим, чему равен радиус светлого кольца под номером k в отраженном свете.

Поскольку . Условия наблюдения максимума можно записать:

.

Из чертежа следует, что .

Так как , получим , т.е. .

Поставим полученное соотношение в условие максимума:

.

Так как , светлое кольцо в отраженном свете.

Соответственно, радиус темного кольца будет равен:

ЛЕКЦИЯ 13

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА.

1. Основной принцип волновой оптики. Метод зон Френеля.

2. Дифракция на одной щели.

3. Дифракционная решетка.

4. Пространственная дифракционная решетка. Дифракция рентгеновских лучей.

Дифракцией света называется совокупность физических явлений, наблюдаемых при распространении световых волн в среде с резкими неоднородностями.

В частности дифракция приводит к огибанию световым лучом препятствий и проникновение его в область геометрической тени.

Если огибание звуковыми волнами препятствий, явление обычное, то для наблюдения дифракции световых волн необходимы специальные условия. Это связано с тем, что масштабы дифракции сильно зависят от соотношения размеров препятствий и длины волны.

А) Основной принцип волновой оптики

Природа и основные закономерности явления дифракции могут быть установлены с помощью двух взаимодополняющих принципов, один из которых был сформулирован современником Ньютона голландцем Христианом Гюйгенсом.

Каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, распространяющихся с характерной для данной среды скоростью.

Однако принцип Гюйгенса не дает ни каких указаний об амплитуде (и следовательно, об интенсивности распространяющихся волн).

Более чем через сто лет француз Огюст Френель дополнил и расширил этот принцип.

Все точки фронта волны колеблются с одинаковой частотой и в одинаковой фазе, т.е. являются когерентными источниками вторичных волн; новое положение фронта волны совпадает с огибающей вторичных волн и соответствует максимуму при их интерференции.

Пусть плоская волна подходит к краю препятствия.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждая

точка фронта является когерентным источником.

Огибающая даст положение нового фронта, все

точки которого источники вторичных волн.

Последовательное построение новых положений

огибающей приводит к тому, что она все больше

и больше заходит в область геометрической тени.

Рис.65

Впервые явление дифракции света с волновой точки зрения в середине 17-го века попытался объяснить монах ордена иезуитов Гримальди. Он заметил, что солнечный свет, проходя через микроскопическое отверстие в ставне, дает на противоположной стене изображение большее, чем это следовало из законов геометрической оптики.

Найдем амплитуду светового колебания, распространяющегося от точечного источника, в точке Р, лежащей перед волновой поверхностью S.

Выделим на волновой поверхности элемент dS. По Френелю каждый элемент поверхности

является источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине dS и убывает с расстоянием от источника по закону .

Рис.66

Следовательно, от каждого dS в точку Р приходит колебание:

,

где фаза колебаний на поверхности S, k- волновое число, r- расстояние от элемента dS до точки Р, -амплитуда светового колебания в dS; - коэффициент пропорциональности, который по Френелю, убывает при увеличении угла между нормалью к dS и , и обращается в ноль при .

Полученное выражение можно считать аналитическим выражением основного принципа волновой оптики (принципа Гюйгенса-Френеля).

Б) Применим принцип Гюйгенса-Френеля для нахождения амплитуды светового колебания, возбуждаемого в точке В сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S.

Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой SB.

Рис. 67

Воспользовавшись этим Френель разбил всю волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой из них до точки В отличалось на .

Каждая зона представляет собой сферический сегмент, площадь которого равна

, где R- радиус волновой поверхности.

По построению R=

Определим площадь зоны Френеля:

Рис.68

Поскольку можно считать, что .

Тогда

Если находим площадь k-ой зоны, то .

Радиус ой зоны можно определить из треугольника А s :

, так как h<< a, b

Расчеты показали, что площади центральных зон ( т.е. при небольших ) практически одинаковы и поэтому содержат одинаковое количество точечных источников вторичных волн и, следовательно, интенсивность колебаний, идущих от них тоже одинакова.

Волны, пришедшие в точку В от разных зон будут интерферировать. Поскольку оптическая длина пути лучей от каждой соседней зоны отличается на , их разность фаз будет отличаться на и, придя в точку В, они погасят друг друга.

Для наблюдаемой точки В амплитуду результирующего колебания можно записать:

Перепишем это выражение в следующем виде:

С увеличением номера зоны ее вклад в результирующую амплитуду в точке В будет уменьшаться. Каждая скобка при этом будет >0 и будет вычитаться из амплитуды центральной зоны. Можно заключить, что основная энергия распространяется через узкий канал центральной зоны, т.е. прямолинейно.

Используя метод зон Френеля, определим условие наблюдения дифракции света.

Рис. 69

Между источником S и точкой В поместим непрозрачный экран, который закроет только центральную зону.

Тогда и амплитуда в точке В будет меньше, чем .

Последовательно увеличивая число закрытых экраном зон можно добиться того, что интенсивность волны в точке В будет равна практически нулю. Для этого нужно закрыть большое количество зон, т.е. размер препятствия станет много больше длины волны.

Дифракция света наблюдается, если размер препятствия соизмерим с длиной световой волны.

Различают два вида световой дифракции:

1. Дифракция Френеля ( дифракция в расходящихся лучах). Ее можно наблюдать без помощи оптических приборов.

2. Дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах).

Рассмотрим второй вид дифракции ( дифракцию Фраунгофера), которую модно наблюдать при помощи следующей оптической схемы:

Рис.70

Пусть свет от точечного монохроматического источника падает на линзу Л1.Источник находится в ее фокусе. Полученный пучок параллельных лучей направлен на экран с узким отверстием (щелью). Прошедшие щель лучи попадают на вторую линзу Л2, в фокальной плоскости которой расположен экран, на котором наблюдается дифракционная картина, представляющая собой чередующиеся светлые и темные полосы. В отличии от интерференционной картины дифракционные полосы не расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Самой светлой является центральная полоса, справа и слева от нее находятся максимумы второго порядка, далее третьего и т.д. Интенсивность максимума с ростом его номера убывает.

Главная задача дифракции заключается в определении интенсивности результирующей световой волны в зависимости от формы и размеров препятствия.

Пусть параллельный пучок монохроматических лучей с длиной волны падает нормально на экран со щелью шириной b. Фронт такой волны является плоскостью, параллельной экрану со щелью.

Волна взаимодействуя с краями щели дифрагирует,

т.е. отклоняется от прямолинейного

распространения на угол и затем линзой

собирается в точке М ( рис.71).

Угол отклонения дифрагированных лучей

называется углом дифракции.

Новый фронт волны также является плоскостью.

На чертеже его новое положение обозначено

пунктиром. Разность хода, которая возникла при

дифракции лучей равна .

Из чертежа видно, что она равна .

Если в этой разности хода укладывается четное

число зон Френеля, то в точке М будет

минимальная освещенность, так как каждая пара

Рис.71 зон погасит друг друга.

Следовательно, условие минимума при дифракции на одной щели будет иметь вид:

, где =0,1,2,3….

Учитывая, что , получим или .

Следовательно, дифракция будет наблюдаться, если размер препятствия в несколько раз больше длины волны.

Если же , то минимумов вообще не будет, интенсивность света монотонно будет убывать от середины изображения щели к его краям.

В центре всегда будет светлая полоса, так как условие максимума интенсивности

,

при будет выполняться для любого значения длины волны.

Наибольший угол дифракции соответствует красным лучам с большой длиной волны м, наименьший фиолетовым лучам с длиной м.

Система периодически повторяющихся оптически прозрачных и непрозрачных параллельных щелей, размер которых сравним с длиной световой волны, называется дифракционной решеткой.

Сумма размеров прозрачного и непрозрачного промежутков называется периодом или постоянной решетки.

Рис.72

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на дифракционную решетку с периодом d. ( Рис.69)

Каждая из параллельных щелей решетки даст на экране в точке В свою дифракционную картину, т.е.

На центральной линии экрана, проходящей через главный фокус линзы, лучи, идущие от всех щелей сходятся без дополнительной разности хода. При этом амплитуды их складываются арифметически, а интенсивность в раз больше, чем от одной щели.

Лучи, идущие от разных щелей под углом , сходятся в точке наблюдения, имея различные фазы колебаний. Лучи, идущие от соответственных точек соседних щелей (точки F и D на рис.52) имеют одну и ту же разность фаз , которые интерферируют.

Если на этой разности хода укладывается четное число полуволн, то колебания складываются, образуя максимум.

- условие максимума.

,

где - амплитуда волны от i-ой щели с углом дифракции , N- полное число щелей на дифракционной решетке.

Если в точку В приходят лучи, для которых выполняется условие минимума на одной щели , то на экране будет минимум освещенности - главный минимум.

Кроме этих главных минимумов между соседними главными максимумами располагаются по N-1 добавочных минимумов, определяемых условием:

,

где

Т.е. - принимает все целые значения, кроме 0,N,2N…

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Их интенсивность много меньше, чем у главных максимумов.

Дифракционная решетка широко используется как спектральный прибор, позволяющий разложить сложный свет в спектр.

Для того, что бы решетка разделяла две близкие по длине волны линии спектре должно выполняться условие, называемое критерием Релея:

Если две монохроматические волны с длинами и должны быть разрешены дифракционной решеткой, то угол между ними, при данном , должен быть не меньше угловой ширины их пиков .

Рис.73

Для характеристики способности дифракционной решетки разлагать свет на составляющие пользуются следующими характеристиками:

Угловая дисперсия – это физическая величина, характеризующая изменение угла дифракции заданного порядка с изменением длины волны.

.

При небольших значения можно считать, что угловая дисперсия равна .

Линейная дисперсия – физическая величина, характеризующая изменение расстояния между соседними линиями на экране с изменением длины волны .

= ,

где фокусное расстояние линзы, собирающей лучи на экране.

Разрешающая способность дифракционной решетки характеризует ее способность разделять две линии с длинами волн отличающихся на .

,

Где - порядок спектра, N – общее число щелей в дифракционной решетке.

ЛЕКЦИЯ 14

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

1. Естественный и поляризованный свет.

2. Двойное лучепреломление.

3. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера.

4. Вращение плоскости поляризации.

Поляризация – физическое явление, заключающееся в выделении преимущественного направления колебаний светового вектора .

Световым вектором называется вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны , поскольку именно электрическое поле ответственно за все оптические свойства электромагнитной волны.

В естественном свете колебания вектора различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга, поэтому его можно представить как наложение двух некогерентных электромагнитных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и имеющих одинаковую интенсивность.

Рассмотрим два взаимно перпендикулярных электрических колебания, происходящих вдоль осей ОХ и ОY и отличающихся по фазе на .

Результирующая напряженность является векторной суммой напряженностей полей

и .

Угол между направлениями и определяется выражением:

-Если волны и не когерентны, то претерпевает хаотические изменения и

угол будет меняться скачкообразно - это естественный свет.

-Если считать и когерентными и при этом или , то

.

В этом случае результирующий вектор совершает колебания в фиксированном направлении - свет будет плоско поляризованным.

Если в световом луче присутствуют колебания светового вектора только одного направления, то луч полностью поляризован, если одно направление колебаний преобладает над другими, то луч считается поляризованным частично.

Если частично поляризованный свет пропустить через поляризатор, то, вращая поляризатор вокруг направления распространения волны можно получить различную интенсивность вышедшего луча от минимума до максимума.

Степень поляризации луча можно равна:

-Если , то и свет поляризован по эллипсу.

-Если при этом, то свет считается поляризованным по кругу.

Плоскость, в которой колеблется световой вектор называется плоскостью колебаний, а перпендикулярная ей плоскость – плоскостью поляризации.

Приборы, с помощью которых получают плоско поляризованный свет, называются поляризаторами.

Идеальный поляризатор пропускает свет, колебания светового вектора которого параллельны главной плоскости колебаний поляризатора, и полностью задерживает колебания перпендикулярные ей.

Пусть плоско поляризованный свет, амплитуда которого , падает на поляризатор так,

что плоскость его колебаний составляет

угол , с главной плоскостью колебаний

поляризатора, то амплитуда вышедшего луча

будет равна , а направление

колебаний будет совпадать с направлением

плоскости колебаний поляризатора.

Поскольку интенсивность пропорциональна

Рис.74

квадрату амплитуды , то - закон Малюса

где интенсивность луча, прошедшего поляризатор, интенсивность поляризованного луча, падающего на поляризатор.

Кристаллы, оптические свойства которых различны по разным направлениям называются оптически анизотропными. Такие кристаллы способны поляризовать свет. Строение их таково, что взаимодействуя с полем электромагнитной волны, они пропускают через себя только колебания светового вектора определенного направления.

Скорость распространения света в среде равна:

.

Прозрачные среды, в основном, являются немагнитными веществами, т.е. для них ,

и константы, следовательно, основное влияние на скорость оказывают именно электрические свойства среды . Анизотропия приводит к тому, что скорость распространения света в разных направлениях будет разная, а следовательно, разным будет и коэффициент преломления:

,

где с –скорость света в вакууме.

В результате, проходя по оптически анизотропному кристаллу свет, будет разделяться на два луча. Один из которых будет распространяться в строгом соответствии с законами геометрической оптики, другой – нет. Первый луч называют обыкновенным лучом, второй – необыкновенным. Это явление называется двойным лучепреломлением.

Направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи не разделяются в пространстве, называется главной оптической осью кристалла.

Любая плоскость, проходящая через главную оптическую ось, называется главной плоскостью кристалла.

Эксперименты показывают, что обыкновенный и необыкновенный лучи поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Явление двойного лучепреломления лежит в основе работы большинства поляризаторов. Наиболее широкое распространение получил прибор, называемый призмой Николя или просто николь. Эта призма изготавливается из исландского шпата или турмалина с определенными углами, распиленная пополам по диагонали и вновь склеенная смолой канадского кедра ( канадский бальзам), показатель которого отвечает условию:

,

Где показатель преломления необыкновенного луча,

показатель преломления обыкновенного луча,

показатель преломления канадского бальзама.

Углы призмы выбирают так, что бы необыкновенный луч проходил через призму не отклоняясь, а обыкновенный луч испытывал полное внутреннее отражение на границе шпат-бальзам.

Рис.75

Интенсивность необыкновенного луча на выходе из поляризатора ( первой призмы) уменьшается вдвое, так как часть энергии волны уносит обыкновенный луч.

-Если плоскости колебаний поляризатора и анализатора (вторая призма Николя) параллельны (угол =0), то необыкновенный луч пройдет через анализатор полностью.

-Если эти плоскости взаимно перпендикулярны (угол =90 ), то анализатор не пропустит необыкновенный луч, так как его плоскость колебаний стала перпендикулярна плоскости колебаний анализатора.

-Если же угол между плоскостями колебаний поляризатора и анализатора , то необыкновенный луч, вышедший из поляризатора, снова разделится на два луча.

Обыкновенный и необыкновенный лучи могут по разному поглощаться кристаллом – это явление называется дихроизм.

Пусть естественный свет падает на диэлектрическую поверхность под некоторым углом . Отраженный и преломленный лучи окажутся поляризованными. Причем в отраженном луче будут преобладать колебания светового вектора плоскости параллельной отражающей поверхности диэлектрика, а в преломленном луче колебания перпендикулярные этой поверхности.

В зависимости от угла падения степень

Поляризации отраженного луча будет различной.

В 1812 году шотландский физик Брюстер

Экспериментально установил, что, если тангенс

Угла падения луча на диэлектрическую

Поверхность будет равен относительному

Показателю преломления двух сред (воздух –

Диэлектрик), то отраженный луч будет

Полностью поляризован.

Рис.76 - закон Брюстера.

Преломленная же волна будет частично поляризована. Степень поляризации этой волны при падании под углом Брюстера будет максимальной, но не равной единице. Плоскости поляризации отраженной и преломленной волн будут взаимно перпендикулярны. Угол между отраженным и преломленным лучами в этом случае будет равен .

При падении луча под углом не равным углу Брюстера интенсивность параллельной и перпендикулярной составляющих в отраженном луче определяется по формулам Френеля:

При прохождении плоско поляризованного света через некоторые вещества наблюдается поворот плоскости колебаний светового вектора, это явление называется поворот плоскости поляризации.

Вещества, обладающие способностью поворачивать плоскость поляризации называются оптически активными.

К таким веществам относятся кварц, скипидар, некоторые растворы ( сахар, виниловая кислота) и другие.

Наиболее сильное вращение наблюдается в кристаллических телах при прохождении света вдоль главной оптической оси.

При этом угол вращения зависит от природы вещества, длины волны падающего света и длины пути светового луча в кристалле.

Где -константа вращения , которая непосредственно зависит от природы вещества и длины волны падающего света, длина пути луча в кристалле.

Для растворов угол поворота будет зависеть еще и от концентрации растворенного вещества С:

.

С точки зрения Френеля любой плоско поляризованный свет можно представить, как совокупность двух лучей, поляризованных по кругу. У одного из которых вектор вращается слева направо, а у другого наоборот. Тогда, если скорости распространения этих лучей в кристалле будут одинаковы, то результирующий световой вектор колеблется в одной плоскости.

.

Рис. 77

Если скорости право- и лево- вращающихся векторов не равны друг другу, то результирующий вектор будет отклонятся от первоначального направления на угол .

Внешние электрическое и магнитное поля могут вызывать и усиливать эффект вращения плоскости поляризации в веществе.

ЛЕКЦИЯ 15.

ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.

1. Дисперсия света .

2. Электронная теория дисперсии.

3. Поглощение света веществом. Закон Бугера-Ламберта.

Из теории Максвелла следовало, что скорость распространения электромагнитных волн в среде зависит от электрических и магнитных свойств среды.

.

Учитывая, что абсолютный показатель среды можно записать:

Большинство прозрачных для света веществ относятся к диа- или парамагнетикам, для которых .

Следовательно: .

Это соотношение идеально выполняется для таких веществ, как азот, водород, бензол и некоторых других жидкостей и газов. Но для воды табличное значение =81; в то время как показатель преломления .

Это обусловлено тем, что табличное значение диэлектрической проницаемости измерено в статических или квазистатических полях .Световая же волна представляет собой высокочастотное электромагнитное поле, а следовательно, вещество будет реагировать на это поле иначе.

Распространяясь в веществе электромагнитная волна взаимодействует с электронной оболочкой атомов и, передавая ей свою энергию, переводит атомы в возбужденное состояние. При возвращении атомов в стационарное состояние они излучают вторичную волну. Падающая и вторичная волна накладываются друг на друга и по образовавшейся интерференционной картине можно судить о характере взаимодействия света с веществом.

Впервые разложение белого света в спектр при прохождении его через стеклянную призму было обнаружено Ньютоном в 1672 году.

Рис. 78.

Дисперсионный спектр представляет собой последовательность цветных полос плавно меняющих свою окраску от красного до фиолетового. Коротковолновая часть спектра (фиолетовые лучи) растянута значительно сильнее, чем длинноволновая часть (красные лучи).Таким образом:

Дисперсия это физическое явление, обусловленное зависимостью показателя преломления от длины волны (частоты) падающего света. В результате, волны с разной длиной отклоняются на различные углы; причем наибольшее отклонение испытывают лучи с меньшей длиной волны (фиолетовые лучи).

Основной задачей при изучении дисперсии является построение дисперсионной характеристики, т.е. зависимостей или .

Дисперсией вещества называется физическая величина, определяющая как быстро меняется показатель преломления среды с изменением длины волны (частоты).

Если двум длинам волн и соответствуют показатели преломления и , то средняя дисперсия вещества на участке от до определится соотношением:

.

Значение дисперсии вещества вблизи данной длины волны определяется выражением:

.

Наиболее часто встречается дисперсия, при которой с уменьшением длины волны показатель преломления среды увеличивается.

Рис.79

В этом случае дисперсия называется нормальной.

Однако существуют области частот (длин волн), где зависимость или имеет противоположный характер, т.е. или .

Такие области называются областями аномальной дисперсии.

Общий вид зависимости представлен на рис. 77.

Рис.80

Экспериментально установлено, что главную роль в оптической жизни атома играют внешние (валентные) электроны, которые называются оптическими.

Определим зависимость диэлектрической проницаемости от длины волны на некоторой идеализированной модели.

Будем считать, что:

1. единице объема вещества содержится N идентичных атомов;

2. электроны в атоме находятся в равновесных состояниях;

3. под действием электромагнитной волны оптический электрон смещается из положения равновесия на расстояние , что делает атом электрическим диполем с электрическим моментом .

Вектор поляризации такого вещества можно записать:

В электростатике мы получили, что вектор электростатической индукции связан с вектором поляризации следующим соотношением:

,

где - вектор напряженности электрического поля волны, падающей на вещество.

Получим:

Что бы получить функцию, описывающую изменение вектора , рассмотрим какие силы действуют на оптический электрон при прохождении электромагнитной волны.

1. Квазиупругая сила F – удерживает электрон на орбите около ядра, и равная:

, где коэффициент пропорциональности.

2.Сила сопротивления, которая характеризует уменьшение энергии электрона со временем за счет взаимодействия и излучения:

, где коэффициент пропорциональности.

3. Вынуждающая сила, действующая со стороны электромагнитного поля световой волны:

Окончательно уравнение движения оптического электрона, согласно 2-ому закону Ньютона будет иметь вид:

Пренебрегая силой сопротивления, получим:

- частота собственных колебаний электрона в атоме.

Получили уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора, которое имеет решение вида:

,

где .

Подставим это решение в уравнение, отмеченное звездочкой и определим

.

Или, учитывая, что , получим:

.

Или

Полученное выражение показывает, что показатель преломления среды действительно зависит от частоты падающего света.

1. Пусть в этом случае и возрастает с ростом частоты . Это область нормальной дисперсии.

2. При , но с ростом частоты показатель преломления увеличивается от до 1, следовательно, это тоже область нормальной дисперсии.

3. При зависимость терпит разрыв.

При этом , если чуть больше, чем .

И , если чуть меньше, чем .

Этот результат мы поучили, так как пренебрегали силой сопротивления. При учете затухания показатель преломления будет иметь вполне конкретные и разумные значения, соответствующие области аномальной дисперсии.

70