ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ЛЕКЦИЯ 5.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1. Характеристики магнитного поля. Закон Био-Савара- Лапласа.
2. Расчет индукции магнитного поля токов правильной формы.
3. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля.
В
1820 году Эрстед обнаружил, что магнитная
стрелка, расположенная вблизи проводника
с током, отклоняется от своего
первоначального направления. Причём,
угол и направление отклонения зависели
от направления величины силы тока в
проводнике.
Позже Ампер экспериментально установил, что на элемент проводника с током в магнитном поле действует сила равная
-
закон Ампера,
где
-
характеристика магнитного поля,
называемая индукцией.
На элемент проводника
с током I в магнитном
поле действует сила
прямо пропорциональная силе тока в
проводнике и индукции магнитного поля.
Магнитное поле – вид материи, неразрывно связанный с движущимся зарядом, посредством которого передается взаимодействие между токами.
Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми, и вектор
магнитной индукции всегда направлен по касательной к ней.
Направление вектора связано с направлением тока, создавшим
это поле, правилом правого винта.
Рис.21
Для определения физического смысла вектора индукции магнитного поля введем понятие «пробный контур с током». Такой контур представляет собой круговой виток, площадь, которого мала и равна единице площади, и сила тока также равна единице.
Основной характеристикой такого контура
является магнитный момент
,
который равен:
,
где I –сила тока в
контуре; S – его площадь;
-
единичный вектор нормали к поверхности
контура.
За положительное выбрано направление нормали, связанное с направлением силы тока правилом правого винта.
Поместим такой контур в магнитное поле. В любой
точке этого поля контур будет разворачиваться так,
чтобы
его магнитный момент
был направлен
параллельно вектору магнитной индукции .
Т.е., на контур будет действовать вращательный
момент
.
Рис.22
Вектором индукции магнитного поля называют векторную физическую величину, которая показывает какой максимальный вращательный момент действует на пробный единичный контур с током, помещенный в данную точку поля.
( тесла)
Жан Батист Био и Феликс Савар, изучая топографию полей, созданных токами различной формы, установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока в проводнике и зависит от расстояния между током и точкой, в которой определяется индукция магнитного поля.
Лаплас обобщил их экспериментальные результаты и вывел математический закон, определяющий величину магнитной индукции, создаваемой элементарным участком проводника с током.
- Закон Био-Савара- Лапласа,
Или скалярной форме
где
-
магнитная постоянная, равная
Гн/м,
-
угол между векторами
и
.
Рис.23
Используем закон Био-Савара-Лапласа
для расчета индукции магнитного поля,
создаваемых проводниками с током
правильной формы.
А) Поле прямого тока .
Пусть поле создано прямым проводником,
по которому течет ток I.
В точке А любой элемент проводника
создает магнитное поле, вектор магнитной
индукции которого
лежит в плоскости перпендикулярной
чертежу и направлен от нас за чертеж.
Это дает нам право заменить векторное
сложение скалярным, т.е.
.
По закону Био-Савара-Лапласа
.
Из чертежа следует, что
;
Рис.24
Из треугольника, образованного векторами
и
,
можно получить, что
Подставив и в закон Био-Савара-Лапласа, получим
.
Проинтегрировав по углу от
до
,
получим:
Если проводник бесконечен, то
,
а
.
Б) Поле кругового тока.
Определим чему равен вектор магнитной индукции поля, созданного круговым током, в точке, лежащей на оси кольца.
Очевидно, что
,
создаваемый любым элементом
, лежит в плоскости, проходящей через и и
перпендикулярен ей. Всё семейство векторов
образует конический веер. Каждый вектор
можно разложить на две составляющие:
-
проекция вектора
на направление
перпендикулярное оси кольца;
-
проекция
на
ось кольца. Очевидно, что
=0,
так как
каждому элементу найдётся другой элемент,
создающий поле вектор магнитной индукции
которого будет направлен в противоположную
Рис. 25 сторону.
В результате, индукция магнитного поля
в точке А будет определяться только
.
Из Рис.21 следует, что
где
,
так как
90
После интегрирования получим
Если
,
то
В) Поле движущегося заряда
Как известно, ток это направленное движение заряженных частиц. Любой ток создаёт магнитное поле. Следовательно, каждый движущейся заряд должен создавать своё магнитное поле.
Найдём, чему равна индукция магнитного поля, созданного одним движущимся зарядом. Для этого сделаем следующие преобразования в законе Био-Савара-Лапласа:
,
где j – плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника с током, - вектор, соединяющий движущийся электрон с точкой наблюдения.
Такие замены возможны, поскольку
и вектор
параллелен
вектору
.
,
где е – заряд электрона, n
– концентрация носителей заряда
(электронов),
-скорость
направленного движения электронов в
проводнике.
Общее число электронов в элементе
проводника
,
которые создают магнитное поле равно
,
поэтому
,
тогда , индукция магнитного поля,
созданного одним электроном
равна:
.
В случае, если любая частица с зарядом
движется со скоростью
,
то
будет равна:
а) Теорема о циркуляции
Назовем циркуляцией вектора магнитной индукции по замкнутому контуру выражения вида:
,
где
-
проекция вектора
на направление
,
проекция вектора
на
направление
.
Рассмотрим контур, охватывающий прямой проводник с током I. (Рис.6).
Ток направлен от нас за чертёж
.
Вычислим для этого контура циркуляцию
.
В каждой точке контура направлен по
гаправлен по касательной
В каждой точке
контура
которой совпадает с проводником с током.
Выделим на контуре элемент dl. В данном
случае:
,
где R- радиус вписанной окружности,
- угол на который поворачивается
радиальная прямая при перемещении вдоль
Рис.26 отрезка dl.
Учитывая, что поле создаёт прямой
бесконечный проводник, то
.
Тогда
.
При обходе контура угол
меняется от 0 до 2
Пусть теперь выбранный нами контур не охватывает проводник с током.
Теперь при обходе контура радиальная
прямая сначала будет поворачиваться в
в одном направлении от точки 1 до
точки 2 (Рис.23), а затем в обратном
направлении от точки 2 до точки 1.
В результате
Рис.27.
Можно показать, что полученные соотношения справедливы для проводников различной формы.
Если же контур будет охватывать несколько токов, то
Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых данным контуром, умноженной на магнитную постоянную .
Знак токов определяется по правилу правого винта.
Доказанная теорема позволяет утверждать, что магнитное поле не является потенциальным, силы в нем действующие не консервативны. Силовые линии такого поля замкнуты и его называют вихревым.
б) Индукция магнитного поля бесконечного соленоида.
Бесконечным будем называть соленоид, у которого длина намного превышает диаметр.
Пусть по соленоиду течет ток силой I. В любой точке бесконечного соленоида и вне его будем считать, что вектор индукции параллелен его оси.
Выделим контур 1-2-3-4 таким образом, чтобы
участок 1-2 лежал на оси соленоида, Участки
2-3 и 4-1 были бесконечно длинными и
располагались перпендикулярно его оси. Тогда
участок 3-4 будет находиться в бесконечности.
Рис.28
Циркуляцию вектора по контуру 1-2-3-4 представим в виде суммы 4-х слагаемых:
.
2-ой и 4-ый интегралы будут равны нулю, т.к. и взаимно перпендикулярны и, следовательно, проекция вектора индукции на направление будет равна нулю.
Третий интеграл тоже можно считать равным нулю, поскольку этот участок лежит в бесконечности, где поля нет.
На основании теоремы о циркуляции вектора получим, что
=
где I- сила тока в
соленоиде,
=
-
число витков на участке 1-2, n
– число витков на единице длины и
-
длина участка 1-2.
Вектор
и
на участке 1-2 совпадают по направлению,
поэтому
.
Окончательно получим:
Можно показать, что если соленоид имеет конечную длину, то индукция магнитного поля на его оси равна:
,
Рис.29
ЛЕКЦИЯ 6.
ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ.
1. Движение электрического заряда в магнитном поле. Эффект Холла.
2. Рамка с током в магнитном поле.
3. Магнитный поток. Механическая работа в магнитном поле.
а) Сила Лоренца.
На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера
,
где
длина элемента проводника в магнитном
поле,
индукция
магнитного поля,
I – сила тока в проводнике.
По определению сила тока равна
.
За время
через
поперечное сечение проводника приходит
n частиц
.
Тогда на одну частицу будет действовать сила равная:
.
В случае движения любой частицы с зарядом q в магнитном поле на неё будет действовать сила
- сила Лоренца.
В скалярной форме
,
где
-
угол между векторами
и
.
Направление силы Лоренца
,
скорости движения частицы
и индукции магнитного поля
связаны между собой правилом левой
руки.
б) Эффект Холла.
Если проводник с током жестко закреплён в магнитном поле, то он не сможет перемещаться в пространстве под действием силы Ампера. Однако, каждый электрон будет испытывать действие силы Лоренца.
Пусть в магнитном поле находится жёстко
закрепленный проводник прямоугольной
формы толщиной
(пластина),
по которому течёт ток I.
Магнитное поле, направленное
перпендикулярно плоскости чертежа
(Рис.9), будет создавать силу, прижимающую
электроны к нижней грани пластины.
В результате у верхней грани пластины возникает
некомпенсированный положительный заряд. Это
приведёт к возникновению между верхней и нижней
гранями разности потенциалов.
Рис.30. Этот эффект был открыт в 1879 году Холлом,
который установил, что возникающая разность потенциалов зависит от плотности тока в пластине j , индукции внешнего магнитного поля B, ширины проводника .
.
R- коэффициент пропорциональности, зависящий от природы проводника и называемый константой Холла.
Открытый Холлом эффект используется в приборах для измерения индукции магнитного поля и позволяет определить концентрацию и подвижность носителей тока в проводнике.
1. Рамка с током в однородном магнитном поле.
а) Прямоугольная рамка
Поместим прямоугольную рамку с током I в однородное магнитное поле с индукцией B, так чтобы его силовые линии были параллельны площади рамки (Рис.27).
По закону Ампера на каждый элемент рамки
должна будет действовать сила, равная:
.
Для всех элементов, находящихся на сторонах
и
,
эта сила равна нулю, так как угол между
и равен нулю или .
Рис.31.
На стороны
и
действует
результирующая сила
,
так как угол между
и
равен
либо
,
либо
.
Следовательно, на сторону действует сила, направленная от нас за чертёж, а на сторону
- от чертежа к нам.
Эта пара сил будет создавать вращательный
момент равный
,
где
кратчайшее
расстояние между линиями действия сил
и
.
Тогда
Учитывая, что магнитный момент рамки
направлен по нормали к поверхности
рамки, т.е. в начальный момент
,
можно записать
б) рамка произвольной формы.
Пусть теперь в однородном магнитном поле находится контур произвольно расположенный относительно силовых линий поля (Рис.28).
На каждый элемент будет действовать сила .
Поскольку направлен относительно поверхности
контура под некоторым углом , разложим его на
составляющие, одна из которых
параллельна
плоскости контура, другая
перпендикулярна ей.
Составляющая создаст силу, стремящуюся сжать
или растянуть контур в зависимости от направления
тока в контуре. Составляющая обеспечивает
появление пары сил, действующих на элементы
контура
и
,
которые и создадут вращательный
Рис.32. момент.
в) потенциальная энергия контура в магнитном поле
Определим работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур в магнитном поле на угол .
Считая, что С=0, так как работа при нулевом угле поворота равна нулю, получим
Эта работа идёт на увеличение потенциальной энергии в магнитном поле
.