Раздел 3. Основы теории стохастического исчисления.
Пространство случайных величин с действительными и комплексными значениями и конечными вторыми моментами (случайные величины второго порядка). Пространство
и его основные структуры: линейные
операции, скалярное произведение,
норма, расстояние между двумя элементами,
сходимость, полнота.
Пространство
как банахово и гильбертово пространство.Случайные процессы со значениями в пространстве (случайные процесс второго порядка). Основные свойства случайных процессов второго порядка: стохастическая непрерывность в среднеквадратическом, стохастическая дифференцируемость в среднеквадратическом, стохастический интеграл первого рода (определения).
Стохастический интеграл Ито по случайной мере (стохастический интеграл второго рода). Общая идея определения и способ построения.
Простые (ступенчатые) случайные функции. Стохастический интеграл от простой функции (классическая схема Ито).
Формальное определение стохастического интеграла Ито.
Условия существования стохастического интеграла Ито. Предварительные условия. Теорема о достаточных условиях существования стохастического интеграла Ито (без доказательства).
Основные свойства стохастического интеграла Ито.
Раздел 4. Процессы восстановления.
Процесс восстановления (основное определение в форме точечного процесса). Считающий случайный процесс. Эквивалентность стохастических моделей восстановления в формах точечного процесса и считающего процесса.
Функции восстановления. Интегральные уравнения для функций восстановления. Решение интегральных уравнений восстановления в терминах преобразования Лапласса-Стильтьеса. Вероятностный смысл дифференциала функции восстановления.
Элементарная теорема восстановления. Теорема Блекуэлла (без доказательства).
Определение непосредственной интегрируемости по Риману. Смысл условия непосредственной интегрируемости. Связь и отличие понятий интегрируемости и непосредственной интегрируемости. Различные варианты достаточных условий, обеспечивающих непосредственную интегрируемость.
Узловая теорема восстановления (без доказательства) и ее теоретическое значение.
Прямое и обратное время возвращения в процессе восстановления (определения). Общие соотношения для распределений прямого и обратного времени возвращения в произвольный момент времени.
Предельное распределение для прямого времени возвращения в процессе восстановления (доказательство утверждения). Предельное распределение для обратного времени возвращения (явное представление).
Простой процесс восстановления с экспоненциальным распределением интервалов, его связь с пуассоновским процессом. Парадокс времени ожидания и его разрешение.