Раздел 2. Марковские процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний.
Общее понятие марковского случайного процесса с непрерывным временем и произвольным множеством состояний. Системы событий, связанных со значениями процесса (σ-алгебры, порожденные траекториями). Определение марковского процесса, основанное на условной независимости систем событий, связанных с траекториями. Переходные вероятности марковского процесса, их особенности.
Переходные вероятности марковского процесса с произвольным (непрерывным) множеством состояний
,
их теоретическое значение и отличия
от переходных вероятностей других
видов марковских процессов. Свойства
вероятностей перехода. Уравнение
Колмогорова – Чепмена. Общий характер
свойств вероятностей перехода для всех
видов марковских процессов.
Теорема существования марковского процесса с непрерывным временем и множеством состояний X=R (без доказательства). Комментарии к формулировке теоремы.
Плотность вероятностей перехода марковского процесса, связь с переходной вероятностью. Свойства плотности вероятностей перехода. Уравнение Маркова – Смолуховского. Совместная плотность распределения значений марковского процесса ξ(t) в различные моменты времени и ее представление через плотности вероятностей перехода. Совместное распределение значений процесса (конечномерное распределение) и его общее выражение через совместную плотность.
Однородные марковские процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний и их вероятностные характеристики. Основные соотношения для вероятностных характеристик однородных марковских процессов (вероятностей перехода и плотностей вероятности перехода, конечномерных распределений и плотностей совместных конечномерных распределений).
Диффузионный процесс. Основное (классическое) определение. Коэффициенты сноса и диффузии. Идея диффузионной стохастической модели: представление приращения процесса за малое время Δ в виде двух составляющих или два основных фактора, характеризующих поведение процесса.
Второе определение диффузионного процесса (разложение моментов приращения процесса). Свойства траекторий процесса.
Обратное дифференциальное уравнение Колмогорова для диффузионных процессов. Различные формы обратного уравнения Колмогорова: уравнение для вероятностей перехода и уравнение для плотности вероятностей перехода. Теорема о достаточных условиях выполнения обратного уравнения.
Прямое дифференциальное уравнение Колмогорова (уравнение Фоккера – Планка). Теорема о достаточных условиях справедливости прямого уравнения. Уравнение для предельного (стационарного) распределения диффузионного процесса.
Краткая история создания теории диффузионных процессов. Применение стохастических диффузионных моделей в физике и экономике.
Процессы с независимыми приращениями. Однородность приращений. Пуассоновский и винеровский процессы как процессы с независимыми приращениями. Сравнительная характеристика процессов.
Винеровский процесс (броуновское движение). Различные определения винеровского процесса (винеровский процесс как процесс с независимыми приращениями и винровский процесс как диффузионный процесс). Стандартный винеровский процесс w(t). Связь общего и стандартного винеровских процессов.
Вероятностные характеристики винеровского процесса. Плотность вероятностей перехода и переходная вероятность; распределение вероятностей состояний; совместная плотность распределения значений винеровского процесса в различные моменты времени и задание конечномерных распределений винеровского процесса.
Теорема о непрерывности траекторий винеровского процесса (теорема существования непрерывной модификации). Доказательство: проверка условий теоремы Колмогорова о существовании непрерывной модификации случайного процесса (доказательство можно не приводить).
Теорема о недифференцируемости траекторий винеровского процесса (теорема существования модификации с соответствующими свойствами траекторий) (без доказательства). Два различных понятия нидифференцируемости случайного процесса и соотношение между ними.
Общая схема построения формальной теории случайного процесса. Построение теории пуассоновского и винеровского процессов на основе общей схемы (формулировка основных утверждений и их связей).
Краткая история создания теории броуновского движения (винеровского процесса). Применение модели броуновского движения в физике и экономике (общие замечания).