Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22]
.pdf
x6. нефпд вйуелгйй |
94 |
|
x 6.1. бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС k -ЗП РП ЧЕМЙЮЙОЕ УПВУФЧЕООПЗП ЪОБЮЕОЙС НЕФПДПН ВЙУЕЛГЙЙ
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ k -Е РП ЧЕМЙЮЙОЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ A У ФПЮОПУФША " > 0.
1)ъБДБДЙНУС b0 > a0 ФБЛЙНЙ, ЮФП n;(a0) < k , n;(b0) k (ОБРТЙНЕТ, ЧПЪШНЕН a0 = ;kAk1 , b0 = kAk1 , ФПЗДБ Ч УЙМХ МЕННЩ I.1.4 n;(a0) = 0, n;(b0) = n). ч УЙМХ УЛБЪБООПЗП ЧЩЫЕ ОБ ЙОФЕТЧБМЕ (;1 a0) ОБИПДЙФУС НЕОШЫЕ k УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК, ОБ ЙОФЕТЧБМЕ (b0 1) | ВПМШЫЕ k УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, k 2 (a0 b0).
2) äÏ ÔÅÈ ÐÏÒ, ÐÏËÁ bi ; ai > " (i = 0 1 : : :) ВХДЕН ЧЩЮЙУМСФШ ci+1 = |
ai + bi |
. |
2 |
åÓÌÉ n;(ci+1) < k , ФП РПМБЗБЕН ai+1 = ci+1 , bi+1 = bi , ЙОБЮЕ РПМБЗБЕН
ai+1 = ai , bi+1 = ci+1 .
3)рЕТЕИПДЙН Л РХОЛФХ 2.
4)рП ПЛПОЮБОЙЙ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. bi ; ai < ") Ч ЛБЮЕУФЧЕ ПФЧЕФБ ВЕТЕНk = ai + bi (ЛПФПТПЕ СЧМСЕФУС (n;(bi) ; n;(ai))-ЛТБФОЩН УПВУФЧЕООЩН
2 ЪОБЮЕОЙЕН).
оБ ЛБЦДПН ЫБЗЕ i |
= 0 1 : : : ЧЩРПМОЕОП k 2 |
(ai bi), РТЙ ЬФПН ДМЙОБ ЙО- |
||||||||||||||
ФЕТЧБМБ bi |
; |
ai = |
b0 ; a0 , i |
= 0 1 : : :. уМЕДПЧБФЕМШОП, ДМС ДПУФЙЦЕОЙС ФПЮОП- |
||||||||||||
ÓÔÉ " (Ô.Å. |
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
bi ; ai |
< ") ОБДП УДЕМБФШ ЮЙУМП ЫБЗПЧ m, ПРТЕДЕМСЕНПЕ ЙЪ ХУМПЧЙС |
|||||||||||||||
b0 ; a0 |
< ", Ô.Å. (b |
0 ; |
a |
)";1 |
< 2m , m > log |
(b |
0 ; |
a |
)";1 |
= log |
((b |
a |
)";1) = |
|||
2m |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
2 |
0 ; |
0 |
|
||
log2(b0 ; a0) + log2 ";1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 6.2. |
бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ОБ ЪБДБООПН |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ЙОФЕТЧБМЕ НЕФПДПН ВЙУЕЛГЙЙ |
|
|
|
|
||||||
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A ОБ ЙОФЕТЧБМЕ [a b] У ФПЮОПУФША " > 0.
уХЭЕУФЧХЕФ ОЕУЛПМШЛП УРПУПВПЧ ПТЗБОЙЪПЧБФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЧЩЮЙУМЕОЙК.
x 6.2.1. тЕЛХТУЙЧОЩК БМЗПТЙФН
ч ТЕЛХТУЙЧОПК ЖПТНЕ БМЗПТЙФН ЖПТНХМЙТХЕФУС ОБЙВПМЕЕ РТПУФП Й РТЙ РТБ- ЧЙМШОПК ТЕБМЙЪБГЙЙ ТБВПФБЕФ ОБЙВПМЕЕ ВЩУФТП.
бМЗПТЙФН ПРТЕДЕМЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ОБ ПФТЕЪЛЕ [a b] У ФПЮОПУФША ":
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x6. нефпд вйуелгйй |
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
åÓÌÉ b |
; |
a > " É n;(b) |
; |
n;(a) = 0 (Ф.Е. ЮЙУМП УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ОБ |
|||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
[a b] ОЕ ТБЧОП 0), ФП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПРТЕДЕМЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ОБ ПФТЕЪЛЕ [a |
a + b |
] У ФПЮОПУФША |
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||
"S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРТЕДЕМЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ОБ ПФТЕЪЛЕ [a + b |
b] У ФПЮОПУФША |
||||||||||
". |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЙОБЮЕ, ЕУМЙ n;(b) |
; |
n;(a) = 0, ÔÏ |
a + b СЧМСЕФУС (n;(b) |
; |
n;(a))-ЛТБФОЩН |
||||||
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|||
УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙЕН, ПРТЕДЕМЕООЩН У ФПЮОПУФША ". |
|
|
|
|
|||||||
ЙОБЮЕ ОБ ПФТЕЪЛЕ [a b] ОЕФ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК.
пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ ЗМХВЙОБ ТЕЛХТУЙЙ НПЦЕФ ДПУФЙЗБФШ n Й БМЗПТЙФН ПВЩЮОП
РТЙНЕОСЕФУС Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩН НБФТЙГБН, ТБЪНЕТОПУФШ ЛПФПТЩИ НПЦЕФ ВЩФШ ПЮЕОШ ЧЕМЙЛБ (УПФОЙ ФЩУСЮ), ФП ТЕЛХТУЙА Ч ЬФПН БМЗПТЙФНЕ УМЕДХЕФ ПТЗБОЙЪПЧЩЧБФШ РТПЗТБНОЩН РХФЕН.
x 6.2.2. бМЗПТЙФН РПУМЕДПЧБФЕМШОПЗП РПЙУЛБ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК
ч ЬФПК ЖПТНХМЙТПЧЛЕ БМЗПТЙФН ТБВПФБЕФ НЕДМЕООЕЕ, ЮЕН РТЕДЩДХЭЙК, ОП ОЕ ФТЕВХЕФ ТЕЛХТУЙЙ.
рХУФШ n;(a) = k1 , n;(b) = k2 (Ф.Е. ОБ ПФТЕЪЛЕ [a b] ОБИПДЙФУС k2 ; k1 =6 0 УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК k1+1 : : : k2 У ХЮЕФПН ЛТБФОПУФЙ). рПМПЦЙН k1 = a.
äÌÑ ×ÓÅÈ k = k1 + 1 : : : k2 ВХДЕН ОБИПДЙФШ k -Е РП ЧЕМЙЮЙОЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ, ЙУРПМШЪХС БМЗПТЙФН x 6.1, ЛПФПТЩК ОБЮЙОБЕН У a0 = k;1 , b0 = b.
x 6.3. бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НЕФПДПН ВЙУЕЛГЙЙ
рПМПЦЙН a = ;kAk1 , b = kAk1 , ФПЗДБ Ч УЙМХ МЕННЩ I.1.4 n;(a) = 0, n;(b0) = n, Й ОБ ПФТЕЪЛЕ [a b] ОБИПДСФУС ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A.
дМС ЙИ ОБИПЦДЕОЙС РТЙНЕОСЕН БМЗПТЙФН ЙЪ x 6.2.
x 6.4. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ
дМС ТЕБМЙЪБГЙЙ ЬФЙИ БМЗПТЙФНПЧ ОБДП ХНЕФШ ВЩУФТП ЧЩЮЙУМСФШ ЖХОЛГЙА n;( ) = S(A ; I) | ЮЙУМП РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 1 1 2 : : : n ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ НБФТЙГЩ A ; I . ьФБ ЖХОЛГЙС НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩЮЙУМЕОБ ДПУФБФПЮОП ВЩУФТП ФПМШЛП ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ. рПЬФПНХ ЙУИПДОХА УЙННЕФТЙЮОХА НБФТЙГХ A РЕТЕД ОБЮБМПН БМЗПТЙФНБ НЕФПДБ ВЙУЕЛГЙЙ РТЙЧПДСФ Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ ПРЙУБООЩИ ЧЩЫЕ УРПУПВПЧ (УН.x I.14.2 É x I.15.2).
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x6. нефпд вйуелгйй |
96 |
|
дМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ЖХОЛГЙЙ n;( ) ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ УЙННЕФТЙЮОЩИ НБФТЙГ УХЭЕУФЧХАФ ОЕУЛПМШЛП УРПУПВПЧ.
x 6.4.1. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ У РПНПЭША LU -ТБЪМПЦЕОЙС
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ ЮЙУМП РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 1 1 2 : : : n ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ A (Ч БМЗПТЙФНЕ
A := A ; I ).
рПУФТПЙН ДМС НБФТЙГЩ A LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ (УН. x I.5.2, УФТ. 23). ч УЙМХ ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЕНОПЦЕОЙС НБФТЙГ Ak = LkUk , ÇÄÅ Ak Lk Uk | УППФЧЕФУЧЕООП ЗМБЧОЩЕ РПДНБФТЙГЩ НБФТЙГ A L U . уМЕДПЧБФЕМШОП, k = det Ak = ndet Lk det Uk . ÷ ÓÉÌÕ
ЧЙДБ (I.5.2) ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ L É U РПМХЮБЕН det Lk = Q ljj , det Uk = 1. ðÏ-
j=1
ЬФПНХ k = l11 : : : lkk Й ЮЙУМП РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 1 1 2 : : : n ТБЧОП ЮЙУМХ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 1 l11 l22 : : : lnn .
óÁÍÏ LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ A ОЕ УФТПЙФУС, ОБИПДСФУС МЙЫШ ЪОБЛЙ lii . рБНСФШ РПД НБФТЙГЩ L É U ОЕ ЧЩДЕМСЕФУС, ФБЛ ЛБЛ УПЗМБУОП ЖПТНХМБН (I.5.3) ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ПЮЕТЕДОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ lii , li+1 , ui +1 ОХЦОП ЪОБФШ МЙЫШ ЬМЕНЕОФЩ
li;1 ;1 , li ;1 , ui;1 .
уПЗМБУОП ДПЛБЪБООПНХ Ч x I.5.2 ДМС РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС ФТЕВХЕФУС n ; 1 БДДЙФЙЧОЩИ Й 2(n ; 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. рПУЛПМШЛХ ДМС ЧЩ- ЮЙУМЕОЙС ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ ФТЕВХЕФУС ЕЭЕ ОЕ ВПМЕЕ n УМПЦЕОЙК (ДМС УХННЙТПЧБОЙС ЪОБЛПЧ lii ), ФП ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ S(A) ФТЕВХЕФУС 2n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 6.4.2. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ У РПНПЭША ТЕЛЛХТЕОФОЩИ ЖПТНХМ
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ ЮЙУМП РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 1 1 2 : : : n ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК УЙННЕФТЙЮОПК НБФТЙГЩ A (Ч БМЗПТЙФНЕ A := A ; I ):
0
A =
B
@
a1 |
b1 |
|
1 |
b1 |
a2 |
b2 |
|
|
b2 |
a3 ... |
: |
|
|
... ... bn;2 |
|
|
|
A |
|
|
|
bn;2 an;1 bn;1 |
|
|
|
C |
|
|
|
bn;1 an |
йНЕЕН: 1 = a1 , 2 = a1a2 ; b21 . рХУФШ ДМС ОЕЛПФПТПЗП k = 3 : : : n ; 1 k = det Ak , k;1 = det Ak;1 ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ. чЩЮЙУМЙН k+1 = det Ak+1 . тБЪМПЦЙН
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x6. нефпд вйуелгйй |
97 |
|
|
det Ak+1 РП РПУМЕДОЕНХ УФПМВГХ: |
|
0
k+1 = ak+1 k ; bk det
B
@
a1 |
b1 |
|
|
|
b1 |
a2 |
b2 |
|
|
|
b2 |
a3 ... |
|
|
|
|
... |
... bk;2 |
|
|
|
|
bk;2 ak;1 bk;1 |
|
|
|
|
0 |
bk |
1
C
A
= ak+1 k ; b2k k;1:
ьФБ ЖПТНХМБ РПЪЧПМСЕФ ЧЩЮЙУМЙФШ ЧУЕ k , ОП НПЦЕФ РТЙЧПДЙФШ Л РЕТЕРПМОЕОЙА ЙМЙ РПФЕТЕ ФПЮОПУФЙ. рПУЛПМШЛХ ФТЕВХАФУС ОЕ УБНЙ ЮЙУМБ k , Б ФПМШЛП ЙИ ЪОБЛЙ, ФП ЬФЙ ЖПТНХМЩ ДПНОПЦБАФ ОБ УРЕГЙБМШОП РПДПВТБООЩЕ НОПЦЙФЕМЙ ФБЛ, ЮФПВЩ ЧУЕ ЮЙУМБ k ВЩМЙ ВЩ ОЕ УМЙЫЛПН ЧЕМЙЛЙ ЙМЙ НБМЩ.
х НБФТЙГ A É A УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ТБЪМЙЮБАФУС ОБ НОПЦЙФЕМШ Й РПФПНХ РТЙ > 0 ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ УПЧРБДБАФ. чПЪШНЕН
= 4 max |
max |
fj |
ai |
jg |
|
max |
bi |
jg |
|
i=1 |
|
|
i=1 ;1fj |
|
Й ВХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ НБФТЙГХ A := ;1A. х ЬФПК НБФТЙГЩ ЧУЕ ЬМЕНЕОФЩ РП НПДХМА ОЕ РТЕЧЩЫБАФ 1=4. еУМЙ ПЛБЪБМПУШ, ЮФП РТЙ ОЕЛПФПТПН i ЬМЕНЕОФ
jbij < "mash (ÇÄÅ "mash | НБЫЙООБС ФПЮОПУФШ ДМС ДБООПК ьчн), ФП РПМБЗБЕН bi = 0. рТЙ ЬФПН НБФТЙГБ ТБУРБДБЕФУС ОБ ДЧЕ РПДНБФТЙГЩ, ПВЯЕДЙОЕОЙЕ ОБВП-
ТПЧ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ЛПФПТЩИ ДБЕФ ОБВПТ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ЙУИПДОПК
НБФТЙГЩ. рПЬФПНХ НЩ НПЦЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЧУЕ jbij > "mash .
ъБРЙЫЕН ДМС ФБЛ РТЕПВТБЪПЧБООПК НБФТЙГЩ БМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ m Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ.
1)рПМБЗБЕН x = a1 , y = 1. åÓÌÉ sign(xy) < 0, ЮЙУМП РЕТЕНЕО ЪОБЛБ m = 1, ЙОБЮЕ m = 0.
2)äÌÑ ×ÓÅÈ k = 2 3 : : : n ЧЩЮЙУМСЕН:
Á) a = ak , b = bk;1 S
Â) = (1="mash)= maxfjxj jb(by)jgS ×) u = (ax ; b2y), v = xS
Ç) ÅÓÌÉ sign(ux) < 0, ÔÏ m = m + 1S Ä) x = u, y = v .
ч ЬФЙИ ЖПТНХМБИ Ч ОБЮБМЕ k -ÇÏ ÛÁÇÁ x ТБЧЕО k;1 , ХНОПЦЕООПНХ ОБ ОЕЛПФПТПЕ РПМПЦЙФЕМШОПЕ ЮЙУМП k , y ТБЧЕО k;2 , ХНОПЦЕООПНХ ОБ k . нОПЦЙФЕМШ РПДВЙТБЕФУС ДМС ПВЕУРЕЮЕОЙС НБЛУЙНБМШОПК ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ХУФПКЮЙЧПУФЙ.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
98 |
|
|
x 7. |
LR бмзптйфн |
LR БМЗПТЙФН РПЪЧПМСЕФ ОБИПДЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A 2
Mn .
x 7.1. LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ, ЙУРПМШЪХЕНПЕ Ч LR БМЗПТЙФНЕ
фЕПТЕНБ 1. (ï LR-ТБЪМПЦЕОЙЙ) еУМЙ ЧУЕ ЗМБЧОЩЕ ХЗМПЧЩЕ НЙОПТЩ НБФТЙ-
ÃÙ A 2 Mn ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС, ФП НБФТЙГБ A ДПРХУЛБЕФ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ A = LR, ÇÄÅ L 2 LT(n) Ó 1 ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ, R 2 RT(n).
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. дМС НБФТЙГЩ At ЧУЕ ЗМБЧОЩЕ ХЗМПЧЩЕ НЙОПТЩ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС. рП ФЕПТЕНЕ I.4.1 ДМС НБФТЙГЩ At ПУХЭЕУФЧЙНП LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ At = LbUb , ÇÄÅ Lb 2 LT(n), Ub 2 RT(n) У 1 ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. уМЕДПЧБФЕМШОП, A = UbtLbt LR, ÇÄÅ L = Ubt 2 LT(n) У 1 ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ, R = Lbt 2 RT(n). фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ.
x 7.1.1. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ A 2 Mn ПЮЕОШ РПИПЦ ОБ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС (УН. УФТ. 19).
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ ОЙЦОАА ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ L = (lij) У ЕДЙОЙГБНЙ ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ Й ЧЕТИОАА ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ R = (rij) ФБЛХА, ЮФП A = LR, Ô.Å.
n |
|
X |
|
lij rjk = aik i k = 1 : : : n: |
(1) |
j=1
рПУЛПМШЛХ lij = 0 ÐÒÉ i < j , ljj = 1, rjk = 0 ÐÒÉ j > k , ФП (1) ЕУФШ УЙУФЕНБ
ÉÚ n2 ХТБЧОЕОЙК ПФОПУЙФЕМШОП n(n |
; |
1)=2 ОЕЙЪЧЕУФОЩИ lij i |
|
j É n(n + 1)=2 |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
ОЕЙЪЧЕУФОЩИ rjk j < k , ЧУЕЗП n(n+1)=2+n(n;1)=2 = n ОЕЙЪЧЕУФОЩИ. рПМХЮЙН |
||||||||
ЖПТНХМЩ ДМС ТЕЫЕОЙС УЙУФЕНЩ (1), ЛПФПТЩЕ Й УПУФБЧМСАФ БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС |
||||||||
LR-ТБЪМПЦЕОЙС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ ÓÉÌÕ lij = 0 ÐÒÉ i < j , rjk = 0 ÐÒÉ j > k УХННБ Ч (1) ЙНЕЕФ ЧЙД |
||||||||
|
|
minfi g |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
lij rjk = aik |
i k = 1 : : : n |
|
|
||
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
ÉÌÉ |
2 j=1i lij rjk = aik |
|
|
|
|
|
||
|
|
k i |
i k = 1 : : : n |
|
|
|||
|
6 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
P |
= aik |
|
k < i |
i k = 1 : : : n: |
|
|
|
|
P lij rjk |
|
|
|
|||
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
|
|
|
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
||||
x7. LR бмзптйфн |
99 |
|
чЩДЕМЙН Ч РЕТЧПК ЙЪ ЬФЙИ УХНН ПФДЕМШОП УМХЮБК i = 1, Б ЧП ЧФПТПК - УМХЮБК k = 1, Й ХЮФЕН, ЮФП lii = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = 1 : : : n,
|
2 |
2 |
r1k = a1k |
|
k = 1 : : : n |
|
|
i;1 |
|
|
|
||
|
6 |
j=1 lij rjk + rik = aik |
k i > 1 i k = 2 : : : n: |
|
||
|
|
4 lPi1r11 = ai1 |
|
i = 2 : : : n |
|
|
|
6 |
2 |
k;1 |
|
|
|
|
6 |
j=1 lij rjk + likrkk = aik |
1 < k < i i k = 2 : : : n |
|
||
|
4 |
4 |
P |
|
|
|
рЕТЕЗТХРРЙТХЕН ЬФЙ ЖПТНХМЩ: |
|
|
||||
2 " |
r1k = a1k |
k = 1 : : : n |
|
|||
li1 = ai1=r11 |
i = 2 : : : n |
|
||||
|
2 |
|
i;1 |
|
|
(2) |
|
rik = aik ; j=1 lij rjk |
k i > 1 i k = 2 : : : n |
||||
|
|
|||||
|
|
|
k;1 |
|
|
|
6 |
6 |
|
P |
|
|
|
lik = (aik ; j=1 lij rjk)=rkk 1 < k < i i k = 2 : : : n: |
|
|||||
4 |
4 |
|
P |
|
|
|
рТПГЕУУ ЧЩЮЙУМЕОЙК РП ЬФЙН ЖПТНХМБН УФТПЙФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: ЧОБЮБМЕ РП РЕТЧПК ЙЪ ЖПТНХМ (2) ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ РЕТЧПК УФТПЛЙ
НБФТЙГЩ R: r1k k = 1 : : : n, ЪБФЕН РП ЧФПТПК ЙЪ ЖПТНХМ (2) ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ РЕТЧПЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ L: li1 i = 2 : : : n, (ОБРПНОЙН, ЬМЕНЕОФ l11 ЙЪЧЕУФЕО, ПО ТБЧЕО 1). дБМЕЕ Ч ЧЩЮЙУМЕОЙСИ ХЮБУФЧХАФ ФПМШЛП ФТЕФШС Й ЮЕФЧЕТФБС ЙЪ ЖПТНХМ (2). рП ФТЕФШЕК ЖПТНХМЕ (2) ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ЧФПТПК УФТПЛЙ НБФТЙГЩ R: r2k k = 2 : : : n (ОБРПНОЙН, r21 = 0, ÔÁË ËÁË R -ЧЕТИОСС ФТЕХЗПМШОБС)
r2k = a2k ; l21 r1k k = 2 : : : n:
рП ЮЕФЧЕТФПК ЖПТНХМЕ (2) ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ЧФПТПЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ L: li2 i = 3 : : : n (ОБРПНОЙН, l12 = 0, ÔÁË ËÁË L -ОЙЦОСС ФТЕХЗПМШОБС, l22 = 1, ÔÁË ËÁË L ЙНЕЕФ ЕДЙОЙЮОХА ЗМБЧОХА ДЙБЗПОБМШ)
li2 = (ai2 ; li1 r12)=r22 i = 3 : : : n:
ъБФЕН РП ФТЕФШЕК ЖПТНХМЕ (2) ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ФТЕФШЕК УФТПЛЙ НБФТЙГЩ R: r3k k = 3 : : : n Й ФБЛ ДБМЕЕ. Б РП ЮЕФЧЕТФПК ЖПТНХМЕ (2) ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ФТЕФШЕЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ L: li3 i = 4 : : : n, Й ФБЛ ДБМЕЕ.
ъБНЕЮБОЙЕ 1. пТЗБОЙЪБГЙС ИТБОЕОЙС НБФТЙГ L É R Ч РБНСФЙ. жПТНХМЩ (2) ФБЛПЧЩ, ЮФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ ЬМЕНЕОФБ lij ÉÌÉ rij ЙУРПМШЪХАФУС ЪОБЮЕОЙС ЬМЕНЕОФБ aij Й ЧЩЮЙУМЕООЩИ ТБОЕЕ ЬМЕНЕОФПЧ lkm , m < j É rkm , k < i. ьФП РПЪЧП- МСЕФ ИТБОЙФШ ОЙЦОАА ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ L (ВЕЪ ЕДЙОЙЮОПК ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ) ОБ НЕУФЕ ОЙЦОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ A: lij aij i > j i j = 1 : : : n, Б ЧЕТОАА ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ R | ОБ НЕУФЕ ЧЕТИОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ
A: rij = 1 : : : n.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1. рТЙ ЖЙЛУЙТПЧБООПН i = 1 : : : n |
|
ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЬМЕНЕОФПЧ rik ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i : : : n РП ФТЕФШЕК ЖПТНХМЕ (2) ФТЕВХЕФ |
|
P |
kn=i(i; |
1) = (n;i+1)(i; |
1) НХМШФЙРМЙ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЧУЕИ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ R ФТЕВХЕФ |
n |
(n |
; |
i+1)(i |
; |
1) = n |
|
n (i |
; |
1) |
;3 |
|
n |
|
(i |
|
1)2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n;1 |
|
P |
n;1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=13 |
|
|
|
i=1 |
|
; 2 |
|
||||||||||||||
n |
P |
j |
|
|
! 1 |
|
|
(n |
|
1)=2 |
(n |
|
|
|
1)n(2n |
|
|
|
1)=6 = n =2 |
|
|
n =3 + O(n ) = |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
j=0 |
|
; 2 |
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
P ; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
P |
|
|
; |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n =6 + O(n |
) (n |
|
|
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. рТЙ ЖЙЛУЙТПЧБООПН |
k |
= 1 : : : n ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЬМЕНЕОФПЧ |
lik |
ÄÌÑ ×ÓÅÈ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i = k + 1 : : : n |
РП ЮЕФЧЕТФПК ЖПТНХМЕ (2) ФТЕВХЕФ |
|
n |
|
k |
= (n |
; |
k)k |
ÍÕÌØ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i=k+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й |
|
|
|
|
(k |
; |
1) = (n |
; |
k)(k |
; |
1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. уМЕ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
P |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ДПЧБФЕМШОП, ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЧУЕИ ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ R ФТЕВХЕФ |
|
|
|
(n |
; |
k)k = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|||||||||
n |
(n + 1)=2 |
; |
n(n + 1)(2n + 1)=6 = n |
=6 + O(n |
! 1 |
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
) (n ! |
|||||||
|
i=1(n;k)(k;1) = n |
|
(n;1)=2;n(n+1)(2n+1)=6+n(n+1)=2 = n |
=6+O(n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
фБЛЙН ПВТБЪПН, БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ФТЕВХЕФ ДМС УЧПЕЗП |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РТПЧЕДЕОЙС ЧЩРПМОЕОЙС n3=3+O(n2) (n |
|
! 13 |
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) (n |
! 1) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ |
||||||||||||||||||
БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, Б Ч УХННЕ | (2=3) n |
+ O(n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРЕТБГЙК. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 7.1.2. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ
тБУУНПФТЙН УМХЮБК, ЛПЗДБ НБФТЙГБ A 2 Mn Ч РТЙЧЕДЕООПН ЧЩЫЕ БМЗПТЙФНЕ РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС. йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП НБФТЙГБ L × LR-ТБЪМПЦЕОЙЙ ВХДЕФ ДЧХИДЙБЗПОБМШОПК:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 l21 |
1 |
1 |
|
|
|
L = |
|
l32 |
|
: |
(3) |
|
|
@ |
|
... ... |
A |
|
|
|
B |
|
ln ;1 |
1 C |
|
|
жПТНХМЩ (2), УМЕДПЧБФЕМШОП, РТЙНХФ ЧЙД
2 |
r1k = a1k k = 1 : : : n |
k i > 1 i k = 2 : : : n |
(4) |
4 |
rik = aik ; li ;1 ri;1 |
|
|
6 " li ;1 = ai ;1=ri;1 ;1 |
i = 2 : : : n: |
|
|
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС РП ЬФЙН ЖПТНХМБН ФТЕВХЕФ ДМС УЧПЕЗП РТПЧЕДЕОЙС ЧЩРПМОЕОЙС n2=2+O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
101 |
|
x 7.1.3. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
тБУУНПФТЙН УМХЮБК, ЛПЗДБ НБФТЙГБ A 2 Mn Ч РТЙЧЕДЕООПН ЧЩЫЕ БМЗПТЙФНЕ ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП НБФТЙГЩ L É R × LR-ТБЪМПЦЕОЙЙ ВХДХФ ДЧХИДЙБЗПОБМШОЩНЙ:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
r11 r12 |
|
|
|
0 l21 |
1 |
|
|
1 |
|
R = 0 |
|
1 : (5) |
||
|
|
|
|
r22 |
r23 |
||||||
L = |
|
|
l32 |
1 |
|
|
|
|
1 ... |
||
|
B |
|
|
... ... |
C |
|
B |
|
... rn;1 |
C |
|
|
|
|
|
ln ;1 1 |
|
|
rnn |
||||
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
A |
жПТНХМЩ (4), УМЕДПЧБФЕМШОП, РТЙНХФ ЧЙД |
|
|
|
||||||||
|
2 |
r1k = a1k |
k = 1 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
rik = aik |
li ;1 ri;1 |
k = i i + 1 |
i = 2 : : : n |
(6) |
|||||
|
6 " |
li ;1 = ai;;1=ri;1 ;1 |
|
i = 2 : : : n: |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС РП ЬФЙН ЖПТНХМБН ФТЕВХЕФ ДМС УЧПЕЗП РТПЧЕДЕОЙС ЧЩРПМОЕОЙС 3n+O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n+O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 7.2. LR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК
вХДЕН УФТПЙФШ ДМС НБФТЙГЩ A 2 Mn РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ fAkg НБФТЙГ Ak 2 Mn РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН:
1)A1 = AS
2)ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak+1 РПМХЮБЕФУС ЙЪ НБФТЙГЩ Ak УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Б) УФТПЙН LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak : Ak = LkRk ,
В) ЧЩЮЙУМСЕН НБФТЙГХ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ Rk É Lk : Ak+1 =
RkLk .
ъДЕУШ НЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП ДМС ЛБЦДПЗП k = 1 2 : : : LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak УХЭЕУФЧХЕФ, Ф.Е. ДМС ОЕЕ ЧЩРПМОЕОЩ ХУМПЧЙС ФЕПТЕНЩ 1. еУМЙ ЬФП ОЕ ФБЛ, ФП БМЗПТЙФН ОЕ РТЙНЕОЙН.
мЕННБ 1. äÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak РПДПВОБ A.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. йНЕЕН: Ak+1 = RkLk = (L;k 1Lk)RkLk = L;k 1(LkRk)Lk = L;k 1AkLk . уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ Ak+1 РПДПВОБ Ak . рПУЛПМШЛХ A1 = A, ÔÏ ÐÏ
ЙОДХЛГЙЙ РПМХЮБЕН, ЮФП Ak РПДПВОБ A ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : :, РТЙЮЕН Ak+1 =
L;1 1 : : : L;k 1A1Lk : : : L1 = (Lk : : : L1);1A(Lk : : : L1).
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
102 |
|
уМЕДУФЧЙЕ 1. нБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : ЙНЕАФ ФЕ ЦЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС, ЮФП Й НБФТЙГБ A.
(вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.) рХУФШ НБФТЙГБ A 2 Mn ФБЛПЧБ, ЮФП ОБ ЛБЦДПН ЫБЗЕ k = 1 2 : : : LR -БМЗПТЙФНБ ПУХЭЕУФЧЙНП LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ ДМС НБФТЙГЩ Ak , Й УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС f ig НБФТЙГЩ A ФБЛПЧЩ, ЮФП
j 1j > j 2j > : : : > j nj:
фПЗДБ Lk ! I ÐÒÉ k ! 1, Rk ! Ak ÐÒÉ k ! 1 (РП ОПТНЕ Ч РТПУФТБОУФЧЕ
НБФТЙГ). фЕН УБНЩН ДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ Ak = (a(ijk)) УИПДСФУС Л УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙСН НБФТЙГЩ A, РТЙЮЕН Ч РТБЧЙМШОПН РПТСДЛЕ:
a(iik) ! i ÐÒÉ |
|
k ! 1 |
i = 1 2 : : : n: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
уЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ НБФТЙГЩ Ak |
Л ФТЕХЗПМШОПК ДБЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН |
|
||||||||||||||||||
(k) |
= O |
0 |
i |
k |
1 |
ÐÒÉ k |
|
|
|
i > j: |
|
|
|
|
|
|||||
aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
@ j |
A |
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рТЙНЕОЕОЙЕ БМЗПТЙФНБ Л НБФТЙГЕ A |
2 |
Mn РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ ФТЕВХЕФ УМЙЫ- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
|
2 |
) (n |
|
) ÎÁ |
|
ЛПН ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК: (2=3) n |
|
O(n |
! 1 |
|||||||||||||||||
РПУФТПЕОЙЕ LR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak |
Й ОЕ ВПМЕЕ |
n |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
+ O(n |
) (n ! 1) ÎÁ ×Ù- |
||||||||||||||||||
ЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙС ДЧХИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ. рПЬФПНХ |
||||||||||||||||||||
LR-БМЗПТЙФН ОЙЛПЗДБ |
ОЕ РТЙНЕОСЕФУС Л НБФТЙГБН РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ. |
|
||||||||||||||||||
x 7.2.1. LR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ
еУМЙ НБФТЙГБ A | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС, ФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : Ч LR-БМЗПТЙФНЕ | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОЩЕ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. нБФТЙГБ A1 = A | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП НБФТЙГБ Ak | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС. фПЗДБ Ч LR-ТБЪМПЦЕОЙЙ Ak = НБФТЙГБ Lk ЙНЕЕФ ЧЙД (3) (Ф.Е. СЧМСЕФУС ДЧХИДЙБЗПОБМШОПК), Rk 2 RT(n). йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП НБФТЙГБ Ak+1 = RkLk СЧМСЕФУС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЕК. мЕННБ ДПЛБЪБОБ.
ьФБ МЕННБ РПЪЧПМСЕФ ЪОБЮЙФЕМШОП ХУЛПТЙФШ ТБВПФХ LR-БМЗПТЙФНБ. рЕТЕД ЕЗП РТЙНЕОЕОЙЕН ЙУИПДОБС НБФТЙГБ A РТЙЧПДЙФУС Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ A0 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15. ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A0 РТЙНЕОСЕФУС LR-БМЗПТЙФН.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
103 |
|
бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ R É L
рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ A = RL, ÇÄÅ R 2 RT(n), L ЙНЕЕФ ЧЙД (3), НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩЮЙУМЕОП ЪОБЮЙФЕМШОП ВЩУФТЕЕ, ЮЕН РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ РТПЙЪЧПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ. рП ПРТЕДЕМЕОЙА РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ
2 |
aik = rik + ri +1lk+1 |
k = i i + 1 : : : n |
; |
1 |
i = 1 2 : : : n |
ain = rin |
i = 1 2 : : : n |
|
(7) |
||
4 |
|
|
|
|
|
6 ai ;1 = riili ;1 |
i = 2 3 : : : n |
|
|
|
|
чЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС A = RL РП ЬФЙН ЖПТНХМБН ФТЕВХЕФ n2=2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ LR-БМЗПТЙФНБ ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ
1)рПУФТПЕОЙЕ LR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak = LkRK РП ЖПТНХМБН (4) ФТЕВХЕФ n2=2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
2)чЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС Ak+1 = RkLk РП ЖПТНХМБН (7) ФТЕВХЕФ n2=2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ n2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 7.2.2. LR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ДМСФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
мЕННБ 3. еУМЙ НБФТЙГБ A | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС, ФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : Ч LR-БМЗПТЙФНЕ | ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩЕ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. нБФТЙГБ A1 = A | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП НБФТЙГБ Ak | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. фПЗДБ Ч LR-ТБЪМПЦЕОЙЙ Ak = LkRk НБФТЙГЩ Lk É Rk ЙНЕАФ ЧЙД (5) (Ф.Е. СЧМСАФУС ДЧХИДЙБЗПОБМШОЩНЙ). йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП НБФТЙГБ Ak+1 = RkLk СЧМСЕФУС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЕК. мЕННБ ДПЛБЪБОБ.
ьФБ МЕННБ РПЪЧПМСЕФ ЪОБЮЙФЕМШОП ХУЛПТЙФШ ТБВПФХ LR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ. рЕТЕД ЕЗП РТЙНЕОЕОЙЕН ЙУИПДОБС НБФТЙГБ A РТЙЧПДЙФУС Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ A0 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15. ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A0 РТЙНЕОСЕФУС LR-БМЗПТЙФН.
ъБНЕЮБОЙЕ 2. LR-БМЗПТЙФН УПИТБОСЕФ ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩК ЧЙД НБФТЙГЩ, ОП ОЕ ЕЕ УБНПУПРТСЦЕООПУФШ. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, ЕУМЙ НБФТЙГБ Ak ВЩМБ УБНПУПРТСЦЕООПК, ФП РПУМЕ ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ НБФТЙГБ Ak+1 НПЦЕФ ОЕ ВЩФШ УБНПУПРТСЦЕООПК.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |