Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22]
.pdf
x9. QR бмзптйфн |
114 |
|
|
x 9. |
QR бмзптйфн |
QR БМЗПТЙФН РПЪЧПМСЕФ ОБИПДЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A 2
Mn .
x 9.1. QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ, ЙУРПМШЪХЕНПЕ Ч QR БМЗПТЙФНЕ
÷ QR-БМЗПТЙФНЕ ЙУРПМШЪХЕФУС ФП ЦЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ, ЮФП УФТПЙМПУШ Ч НЕФПДЕ ЧТБЭЕОЙК (УН. x I.12, ФЕПТЕНБ I.12.1) Й Ч НЕФПДЕ ПФТБЦЕОЙК ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН (УН. x I.13, ФЕПТЕНБ I.13.1).
x 9.1.1. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ ВЩМ ПРЙУБО ТБОЕЕ, УН. x I.12.4, \рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК", У. 50, ЙМЙ x I.13.4, \рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК", У. 59. фБН ЦЕ РПДУЮЙФБОБ ЧЩЮЙУМЙФЕМШОБС УМПЦОПУФШ ЬФЙИ БМЗПТЙФНПЧ.
x 9.1.2. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ
тБУУНПФТЙН УМХЮБК, ЛПЗДБ НБФТЙГБ A 2 Mn Ч БМЗПТЙФНЕ РПУФТПЕОЙС QR- ТБЪМПЦЕОЙС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС:
0
A =
B
@
a11 |
a12 |
: : : |
a1 |
: : : |
a1 |
;2 |
a1 |
|
;1 |
a1n |
|
a21 |
a22 |
: : : |
a2 |
: : : |
a2 |
;2 |
a2 |
|
;1 |
a2n |
|
|
a32 ... |
. |
: : : |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
|
... |
ai |
: : : |
ai ;2 |
ai ;1 |
ai |
||||
|
|
|
ai+1 ... |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
... |
an;2 |
;2 an;2 |
;1 an;2 |
||||
|
|
|
|
|
an;1 |
;2 an;1 |
;1 an;1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
;1 |
ann |
1
C
A
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК
пВПЪОБЮЙН a1 = (a11 a21 0 : : : 0)t 2 Rn { РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A. уПЗМБУОП МЕННЕ I.12.3 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ T12 = T12('12), ФБЛБС, ЮФП T12a1 = ka1k e1
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
115 |
|
(РТЙЮЕН ЪОБЮЕОЙЕ ХЗМБ '12 ПРТЕДЕМСЕФУС МЕННБНЙ I.12.2, I.12.3). хНОПЦЙН НБФТЙГХ A ÎÁ T12 УМЕЧБ, РПМХЮЙН НБФТЙГХ A(1) = T12A,
|
0 k |
a1 |
k |
r12 |
: : : r1 ;1 r1n |
1 |
|
|
|||
|
|
a(1) |
: : : a(1) |
;1 |
a(1) |
|
|
||||
|
|
|
|
22 |
|
2 |
2n |
|
|
|
|
A(1) = |
|
|
|
a32(1) |
: : : a3(1) |
;1 |
a3(1)n |
|
: |
(1) |
|
|
B |
|
|
|
... |
. |
|
. |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
@ |
|
|
|
|
a(1)n ;1 a(1)nn |
A |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дБМЕЕ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ (a(1)ij )i |
=2 . |
|
|
|
|||||||
рХУФШ УДЕМБОЩ k ; 1 k = 1 : : : n ; 1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. НБФТЙГБ |
|||||||||||||||||||
РТЕПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(k;1) = |
Y |
Ti |
+1A |
|
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=k;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k |
a1 |
k |
|
r12 |
|
r13 |
: : : |
r1 ;1 |
|
|
r1k |
|
: : : |
r1 ;1 |
r1n |
1 |
|
|
|
k |
a(1) |
|
r23 |
: : : |
r2 ;1 |
|
|
r2k |
|
: : : |
r2 ;1 |
r2n |
|
|||||
|
|
|
1 k |
|
(2) |
: : : |
r3 ;1 |
|
|
r3k |
|
: : : |
r3 ;1 |
r3n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
k ... |
. |
|
|
|
. |
|
... |
. |
. |
|
|
A(k;1) = |
|
|
|
|
|
|
|
k |
a1(k;2) |
k |
rk;1 |
: : : |
rk;1 ;1 |
rk;1 |
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k;1) |
: : : |
(k;1) |
(k;1) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
akk |
|
akn ;1 |
akn |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k;1) |
|
(k;1) |
(k;1) |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak+1 |
: : : ak+1 ;1 |
ak+1 |
C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
. |
. |
|
||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k;1) |
ann(k;1) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an ;1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УПНОПЦЙФЕМЙ ВЕТХФУС Ч РПТСДЛЕ k ; 1 : : : 1). |
|
|
||||||||||||||||
(ЪДЕУШ i=k;1 |
|
|
|||||||||||||||||
пВПЪОБЮЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a1(k;1) = (akk(k;1) ak(k+1;1) 0 : : : 0)t |
2 |
Rn;k+1 |
|
|
(4) |
|||||||||
{ РЕТЧЩК УФПМВЕГ РПДНБФТЙГЩ (aij(k;1))i |
=k |
|
|
. уПЗМБУОП МЕННЕ I.12.3 УХЭЕУФЧХЕФ |
|||||||||||||||
НБФТЙГБ Tkk +1 = Tkk +1('kk +1), ФБЛБС, ЮФП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Tkk +1a1(k;1) = ka1(k;1)k e1(n;k+1) |
|
|
|
(5) |
|||||||||
(ЪОБЮЕОЙС ХЗМБ |
'kk +1 |
ПРТЕДЕМСАФУС |
МЕННБНЙ I.12.2, |
I.12.3), ЪДЕУШ e1(m) |
= |
||||||||||||||
(1 0 : : : 0)t 2 Rm . хНОПЦЙН НБФТЙГХ (3) ОБ Tkk +1 УМЕЧБ, РПМХЮЙН |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(k) = Tkk +1A(k;1) = |
Y |
Ti +1A |
|
|
|
(6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i=k
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ÇÄÅ A(k) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 k |
a1 |
k |
|
r12 |
|
|
r13 |
: : : |
r1 ;1 |
|
|
r1k |
|
r1 +1 |
: : : |
r1 ;1 |
r1n |
1 |
|||
|
k |
a1(1) |
k |
|
r23 |
: : : |
r2 |
;1 |
|
|
r2k |
|
r2 |
+1 |
: : : |
r2 |
;1 |
r2n |
|||
|
|
|
|
|
a1(2) |
: : : |
r3 |
;1 |
|
|
r3k |
|
r3 |
+1 |
: : : |
r3 |
;1 |
r3n |
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
k ... |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
... |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
a1(k;2) |
k |
|
rk;1 |
|
rk;1 +1 |
: : : rk;1 ;1 rk;1 |
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
a1(k;1) |
k |
rkk +1 |
: : : rkn ;1 |
rkn |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak(k+1) |
+1 : : : ak(k+1) |
;1 ak(k+1) |
|
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak(k+2) |
+1 : : : ak(k+2) |
;1 |
ak(k+2) |
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
. |
|
. |
||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(nk) ;1 |
a(nnk) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пФНЕФЙН, ЮФП Ч (6) НБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС Tkk +1 ХНОПЦБЕФУС ФПМШЛП
ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i |
=k::: |
НБФТЙГЩ |
A(k;1) ТБЪНЕТБ n |
; |
k + 1 |
(ПУФБМШОБС |
|||||||||||||||||||
ЮБУФШ A(k;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (6) ОЕ ХЮБУФЧХЕФ). уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ A(k) |
|||||||||||||||||||||||||
РПМХЮБЕФУС ЙЪ A(k;1) |
ЙЪНЕОЕОЙЕН ДЧХИ УФТПЛ (k -ÏÊ É (k +1)-ПК) ДМЙОЩ n;k +1. |
||||||||||||||||||||||||
рПУМЕ n;1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ (3) Л (7)), НБФТЙГБ |
|||||||||||||||||||||||||
РТЙНЕФ ЧЙД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = A(n;1) = |
Y |
Ti +1A |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=n;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ÇÄÅ |
0 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a1 |
k |
|
r12 |
|
|
r13 |
|
: : : |
|
r1 ;2 |
|
|
r1 ;1 |
|
|
r1n |
|
|||||||
|
|
k |
a1(1) |
k |
|
r23 |
|
: : : |
|
r2 |
;2 |
|
|
r2 |
;1 |
|
|
r2n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a1(2) |
|
: : : |
|
r3 |
;2 |
|
|
r3 |
;1 |
|
|
r3n |
|
|
|||||
R = |
|
|
|
|
|
k |
|
|
k ... |
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
(9) |
||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1(n;3) |
|
rn;2 ;1 |
rn;2 |
|
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k a1(n;2) |
|
rn;1 |
|
||||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
a(nnn;1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(ОБРПНОЙН, ПРТЕДЕМЕОЙС ЧЕЛФПТПЧ a1(k;1) |
k = 1 : : : n |
; |
1 ДБАФУС Ч (4), ЗДЕ УЮЙ- |
||||||||||||||||||||||
ÔÁÅÍ, ÞÔÏ a(0) |
= a ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
фБЛ ЛБЛ НБФТЙГЩ ЧТБЭЕОЙС ПТФПЗПОБМШОЩЕ, ФП T |
|
= T t |
+1 |
É ÉÚ (8) ÐÏÌÕ- |
|||||||||||||||||||||
ÞÁÅÍ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i +1 |
|
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
Y |
Tit +1R QR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| ЙУЛПНПЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ.
иТБОЕОЙЕ НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ. нБФТЙГБ R ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ ЧЕТИОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ A Й РПМХЮБЕФУС ЙЪ ОЕЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОЩН РТЙНЕОЕОЙЕН
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
117 |
|
|
ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЧТБЭЕОЙК (ЛБЛ ПРЙУБОП ЧЩЫЕ). дМС ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ×ÙÄÅ- |
|
МСАФУС ДЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОЩ n;1. ч РЕТЧПН ЧЕЛФПТЕ ИТБОСФУС ЪОБЮЕОЙС cos 'i +1 , |
|
i = 1 2 : : : n ; 1, ЧП ЧФПТПН ЧЕЛФПТЕ | ЪОБЮЕОЙС sin 'i +1 , i = 1 2 : : : n ; 1.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК
пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n ; 1.
1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ Tkk +1 , ХЮБУФЧХАЭЕК Ч (6), УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.2 ФТЕВХЕФУС 4 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩЕ, ПДОБ БДДЙФЙЧОБС Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
2. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЛПНРПОЕОФ k : : : n k -ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩИ ЛПНРПОЕОФБН ЧЕЛФПТБ ka(1k;1)k e(1n;k+1) ФТЕВХЕФУС (ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ДМЙОЩ ЧЕЛФПТБ (4)) ДЧЕ ПРЕТБГЙЙ ХНОПЦЕОЙС, ПДОБ ПРЕТБГЙС УМПЦЕОЙС Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС. уФПМВЕГ k ЧЩЮЙУМСЕФУС ЙНЕООП ЬФЙН УРПУПВПН (Б ОЕ РП ПВЭЙН ЖПТНХМБН (6)) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
3. рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (6) НБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС ХНОПЦБЕФУС ОБ
РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=k |
j =k+1 |
НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ (n |
; |
k + 1) |
|
(n |
; |
k) |
(k -К УФПМВЕГ НБФТЙГЩ |
|
|
|
|
|
|||
A(k) ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕО Ч РХОЛФЕ 2), ФП УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.5 |
||||||||
ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 4(n ; k) ХНОПЦЕОЙК Й 2(n ; k) УМПЦЕОЙК.
éÔÁË, ÎÁ k -ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ 4 + 2 + 4(n ; k) = 4(n ; k) + 6 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 1 + 1 + 2(n ; k) = 2(n ; k) + 2 БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й ДЧЕ ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ
n;1
X(4(n ; k) + 6) = 4n(n ; 1)=2 + 6(n ; 1) = 2n2 + O(n) (n ! 1)
k=1
НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, Pnk=1;1(2(n;k)+2) = n2 +O(n) (n ! 1) БДДЙФЙЧ- ОЩИ ПРЕТБГЙК Й Pnk=1;1 2 = O(n) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК
пВПЪОБЮЙН a1 = (a11 a21 0 : : : 0)t |
Rn { РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A. óÏ- |
||||||||||
ЗМБУОП МЕННЕ I.13.9 УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕЛФПТ2x(1) 2 Cn , ТБЧОЩК |
|||||||||||
|
|
|
|
x(1) = |
|
a1 ; ka1ke1 |
|
|
(11) |
||
|
|
|
|
ka1 ; ka1ke1k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ФБЛПК, ЮФП U(x(1))a1 = |
k |
a1 |
k |
e1 , ÇÄÅ e1 |
= (1 0 : : : 0) |
2 |
Cn , U1 = U(x(1)) { ÍÁ- |
||||
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|||
ФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС. пФНЕФЙН, ЮФП Х ЧЕЛФПТБ x |
|
ФПМШЛП РЕТЧЩЕ ДЧЕ ЛПНРПОЕОФЩ |
|||||||||
ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС. уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ U(x(1)) ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН 2 2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. хНОПЦЙН НБФТЙГХ
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
118 |
|
A ÎÁ U(x(1)) УМЕЧБ, РПМХЮЙН НБФТЙГХ A(1) = U(x(1))A ЧЙДБ (1). дБМЕЕ РТПГЕУУ
РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ (aij(1))i |
=2 . |
|
|
|
рХУФШ УДЕМБОЩ k ; 1 k = 1 : : : n |
ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. НБФТЙГБ РТЕ- |
|||
ПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ |
|
|
|
|
A(k;1) = |
1 |
|
|
|
|
UiA |
(12) |
||
|
|
i=k;1 |
|
|
|
|
Y |
|
|
ЗДЕ НБФТЙГБ A(k;1) ЙНЕЕФ ЧЙД (3), |
|
|
|
|
|
Ii;1 |
|
0 |
|
Ui = |
0 |
U(x(i)) ! |
(13) |
|
ЪДЕУШ Ii;1 2 Mi;1 { ЕДЙОЙЮОБС НБФТЙГБ ТБЪНЕТБ (i;1) (i;1), U(x(i)) 2 Mn;i+1 { НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС ТБЪНЕТБ (n ; i + 1) (n ; i + 1), РПУФТПЕООБС РП ЧЕЛФПТХ
x(i) = |
|
a1(i;1) |
; ka1(i;1)ke1(n;i+1) |
2 |
Cn;i+1 |
|
|
||
|
|
|
ka1(i;1) |
; ka1(i;1)ke1(n;i+1)k |
|
|
|
||
ÇÄÅ e1(m) = (1 0 : : : 0) |
2 |
Cm . |
|
|
(k;1) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
)i =k::: |
. óÏ- |
||
чЧЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ (4) ДМС РЕТЧПЗП УФПМВГБ РПДНБФТЙГЩ (aij |
|||||||||
ЗМБУОП МЕННЕ I.13.9 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС (I.13.5) ФБЛБС, ЮФП ЧЩРПМОЕОП УППФОПЫЕОЙЕ (I.13.6). чЧЕДЕН НБФТЙГХ Uk ЧЙДБ (I.13.7). уППФОПЫЕОЙС (I.13.8) Й (I.13.9) РПЛБЪЩЧБАФ, ЮФП НБФТЙГБ Uk ХОЙФБТОБ Й УБНПУПРТСЦЕОБ. пФНЕФЙН, ЮФП Х ЧЕЛФПТБ x(k) Ч (I.13.5) ФПМШЛП РЕТЧЩЕ ДЧЕ ЛПНРПОЕОФЩ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС. уМЕДП-
ЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ Uk ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН 2 2, |
|||||||
УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. |
|
|
|
|
|
|
|
хНОПЦЙН НБФТЙГХ (3) ОБ Uk |
УМЕЧБ, РПМХЮЙН |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A(k) = UkA(k;1) = |
Y |
UiA |
(14) |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
i=k |
|
|
ÇÄÅ A(k) ЙНЕЕФ ЧЙД (7). пФНЕФЙН, ЮФП Ч (14) НБФТЙГБ Uk |
ХНОПЦБЕФУС ФПМШЛП ОБ |
||||||
РПДНБФТЙГХ (a(ijk;1))i =k::: НБФТЙГЩ A(k;1) |
ТБЪНЕТБ n |
k + 1 (ПУФБМШОБС ЮБУФШ |
|||||
A(k;1) Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (14) ОЕ ХЮБУФЧХЕФ). рПУЛПМШЛХ;НБФТЙГБ Uk ПФМЙЮБЕФУС |
|||||||
ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН 2 |
|
2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ Ч |
|||||
УФТПЛБИ k É k + 1, ФП НБФТЙГБ A |
(k) |
|
|
|
(k;1) |
ЙЪНЕОЕОЙЕН ДЧХИ УФТПЛ |
|
|
РПМХЮБЕФУС ЙЪ A |
||||||
(k -ÏÊ É (k + 1)-ПК) ДМЙОЩ n ; k + 1. |
|
|||
чЩЮЙУМЕОЙС РП ЖПТНХМБН (I.13.5) ПУХЭЕУФЧМСАФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: ЧОБ- |
||||
ЮБМЕ ЧЩЮЙУМСАФУС ЮЙУМБ |
(k;1) |
|
||
|
|
(15) |
||
|
sk = jak+1 j2 |
|||
|
ka1(k;1)k = q |
|
: |
|
ЪБФЕН { ЧЕЛФПТ |
jakk(k;1)j2 + sk |
(16) |
||
|
x(k) = (a(kkk;1) ; ka1(k;1)k ak(k+1;1) 0 : : : 0)t 2 Cn;k+1 |
(17) |
||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
119 |
||
|
|||
Й ЕЗП ОПТНБ |
|
|
|
kx(k)k = q |
|
: |
|
jx1(k)j2 + sk |
(18) |
||
фЕРЕТШ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ЙУЛПНЩК ЧЕЛФПТ x(k) : |
|
||
x(k) := (x1(k)=kx(k)k x2(k)=kx(k)k 0 : : : 0) 2 Cn;k+1: |
(19) |
||
рПУМЕ n ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ (3) Л (7)), НБФТЙГБ РТЙНЕФ ЧЙД
|
1 |
|
|
R = A(n;1) = |
Y |
UiA |
(20) |
|
|||
|
i=n |
|
|
ЗДЕ НБФТЙГБ R ЙНЕЕФ ЧЙД (9).
фБЛ ЛБЛ НБФТЙГЩ Uk ХОЙФБТОЩЕ Й УБНПУПРТСЦЕООЩЕ, ФП Ui;1 = Ui = Ui É |
|||
ЙЪ (20) РПМХЮБЕН |
n |
|
|
|
|
|
|
A = |
Y |
UiR QR |
(21) |
|
i=1 |
|
|
| ЙУЛПНПЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ.
иТБОЕОЙЕ НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ. нБФТЙГБ R ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ ЧЕТИОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ A Й РПМХЮБЕФУС ЙЪ ОЕЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОЩН РТЙНЕОЕОЙЕН НБФТЙГ ПФТБЦЕОЙС (ЛБЛ ПРЙУБОП ЧЩЫЕ). дМС ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ЧЩДЕМСАФУС ДЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОЩ n. ч РЕТЧПН ЧЕЛФПТЕ ИТБОСФУС РЕТЧЩЕ ОЕОХМЕЧЩЕ ЛПНРПОЕОФЩ ЧЕЛФПТПЧ x(i) , i = 1 2 : : : n, ЧП ЧФПТПН ЧЕЛФПТЕ | ЧФПТЩЕ ОЕОХМЕЧЩЕ ЛПНРПОЕОФЩ ЧЕЛФПТПЧ x(i) , i = 1 2 : : : n.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК
пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n.
1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ U(xk) РП ЖПТНХМБН (I.13.5) ФТЕВХЕФУС Б) 1 ХНОПЦЕОЙЕ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС sk × (15)S
В) ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ, ПДОП УМПЦЕОЙЕ Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС ДМС
ЧЩЮЙУМЕОЙС ka(1k;1)k × (16)S
Ч) ПДОП ЧЩЮЙФБОЙЕ ДМС РПУФТПЕОЙС ЧЕЛФПТБ x(k) × (17)S
З) ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ, ПДОП УМПЦЕОЙЕ Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС kx(k)k × (18)S
Д) 2 ДЕМЕОЙС ДМС РПУФТПЕОЙС ЧЕЛФПТБ x(k) × (19).
чУЕЗП ДМС РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ U(xk) ФТЕВХЕФУС 1 + 1 + 1 + 2 = 5 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, 1 + 1 + 1 = 3 БДДЙФЙЧОЩЕ ПРЕТБГЙЙ Й 1 + 1 = 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
2.лПНРПОЕОФЩ k : : : n k-ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩЕ ЛПНРПОЕОФБН ЧЕЛФПТБ ka(1k;1)k e(1n;k+1) , ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ Ч (16). уФПМВЕГ k ЧЩЮЙУМСЕФУС ОЕ РП ПВЭЙН ЖПТНХМБН (20) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
3.рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (20) НБФТЙГБ Uk ЧЙДБ (I.13.5) ХНОПЦБЕФУС ОБ НБФТЙГХ A(k;1) ЧЙДБ (3), ФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ РП (20) ОБДП ХНОПЦЙФШ НБФТЙГХ ПФТБЦЕОЙС
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
|
|
120 |
||||||||
|
|
|
|||||||||
U(x(k)) |
2 |
Mn;k+1 |
ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=k::: j =k+1 |
НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ |
|||||||
(n |
|
|
|
|
(n |
|
k) (k -К УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A(k) |
ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕО Ч РХОЛФЕ 2). |
|||
; |
k + 1) |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(k) |
) ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН |
||||
рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ U(x |
|
||||||||||
2 2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ Ч УФТПЛБИ 1 Й 2, ФП ФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ РП (20) ОБДП ХНОПЦЙФШ НБФТЙГХ ПФТБЦЕОЙС U(x(k)) 2 Mn;k+1 ОБ РПДНБФТЙГХ
(a(ijk;1))i=kk +1 =k+1 НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ 2 (n;k). уПЗМБУОП МЕННЕ I.13.11 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС (n;k)(2 2+1) = 5(n;k) ХНОПЦЕОЙК Й (n;k)(2 2;1) = 3(n;k)
УМПЦЕОЙК.
éÔÁË, ÎÁ k -ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ 5+5(n;k) = 5(n;k+1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 3 + 3(n ; k) = 3(n ; k + 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ
n
X 5(n ; k + 1) = 5n(n + 1)=2 = (5=2)n2 + O(n) (n ! 1)
k=1
НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, |
n |
3(n |
; |
k + 1) = (3=2)n2 |
+ O(n) (n |
! 1 |
) |
||
|
n |
|
k=1 |
|
|
|
|
||
БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й |
P |
2 |
P= O(n) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС |
||||||
k=1 |
|||||||||
(ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
x 9.1.3. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
тБУУНПФТЙН УМХЮБК, ЛПЗДБ НБФТЙГБ A 2 Mn Ч РТЙЧЕДЕООПН ЧЩЫЕ БМЗПТЙФНЕ ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС.
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК
пВПЪОБЮЙН a1 = (a11 a21 0 : : : 0)t |
2 Rn { РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A. óÏ- |
||||||||||
ЗМБУОП МЕННЕ I.12.3 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ T12 = T12('12), ФБЛБС, ЮФП T12a1 = ka1k e1 |
|||||||||||
(РТЙЮЕН ЪОБЮЕОЙЕ ХЗМБ '12 ПРТЕДЕМСЕФУС МЕННБНЙ I.12.2, I.12.3). хНОПЦЙН НБ- |
|||||||||||
ФТЙГХ Ab ÎÁ T12 УМЕЧБ, РПМХЮЙН НБФТЙГХ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 k |
a1 |
k |
r12 |
r13 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a22(1) |
a23(1) |
|
|
|
|
|
|||
A(1) = T12A = |
B |
|
|
a32(1) |
a33(1) ... |
|
C |
: |
(22) |
||
|
|
|
|
... |
... |
an(1);1 |
|
|
|||
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
||||
|
|
|
|
|
an(1) |
;1 |
a(1)nn |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дБМЕЕ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ (a(1)ij |
)i =2 . |
|
|
|
|
||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
121 |
|
|
рХУФШ УДЕМБОЩ k ; 1 |
k = 1 : : : n ; 1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. НБФТЙГБ |
РТЕПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ (2), ЗДЕ
0 k |
a1 |
k |
r12 |
r13 |
|
|
|
|
|
a(1) ... |
|
... |
|
|
|||
|
|
k |
1 |
k ... |
rk;2 ;1 rk;2 |
|||
A(k;1) = |
|
|
|
|
k |
a(k;2) |
k |
rk;1 |
|
|
|
|
1 |
(k;1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
akk |
a(k;1)
B
k+1
@
1
rk;1 +1 a(k;1)
kk +1
...
...
...
a(k;1) n;1 ;1 a(k;1)
n ;1
: (23)
a(k;1) C n;1 A
a(nnk;1)
чЧЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ (4) ДМС РЕТЧПЗП УФПМВГБ РПДНБФТЙГЩ (a(ijk;1))i =k::: . уПЗМБУОП МЕННЕ I.12.3 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ Tkk +1 = Tkk +1('kk +1), ФБЛБС, ЮФП ЧЩРПМЕОП УППФОПЫЕОЙЕ (5) (ЪОБЮЕОЙС ХЗМБ 'kk +1 ПРТЕДЕМСАФУС МЕННБНЙ I.12.2, I.12.3).
хНОПЦЙН НБФТЙГХ (23) ОБ Tkk +1 |
УМЕЧБ, РПМХЮЙН (6), ЗДЕ A(k) = |
|
|
|
||||||||||||||
0 k |
a1 |
k |
r12 |
r13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a(1) ... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k |
1 |
k ... |
rk;2 ;1 |
|
rk;2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k |
a1(k;2) |
k |
|
rk;1 |
|
rk;1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
a1(k;1) |
k |
rkk +1 |
rkk +2 |
|
|
|
: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak(k+1) |
+1 |
ak(k+1) |
+2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(k) |
+1 |
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+2 |
... |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(nk;)1 ;1 an(k;)1 |
C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an(k) |
;1 |
a(nnk) |
||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
пФНЕФЙН, ЮФП Ч (6) НБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС Tkk +1 ХНОПЦБЕФУС ФПМШЛП
ОБ РПДНБФТЙГХ (a(ijk;1))i =k::: НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ n k + 1 (ПУФБМШОБС
ЮБУФШ A(k;1) |
; |
Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (6) ОЕ ХЮБУФЧХЕФ). уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ A(k) |
РПМХЮБЕФУС ЙЪ A(k;1) ЙЪНЕОЕОЙЕН ДЧХИ УФТПЛ (k -ПК Й (k +1)-ПК) ДМЙОЩ n;k ЙНЕАЭЙНЙ ОЕ ВПМЕЕ ФТЕИ ОЕОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ.
рПУМЕ n;1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ (23) Л (24)), НБФТЙГБ РТЙНЕФ ЧЙД (8), ЗДЕ
|
0 k |
a1 |
k |
|
r12 |
|
r13 |
|
|
|
|
|
|
a(1) ... |
... |
|
|
||||
R = |
B |
|
|
k |
1 |
k |
... rn;2 ;1 |
rn;2 |
||
|
|
|
|
|
|
k |
a1(n;2) |
k |
rn;1 |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a(n;1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
1
C
(25)
A
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
|
|
||
(ОБРПНОЙН, ПРТЕДЕМЕОЙС ЧЕЛФПТПЧ a1(k;1) k = 1 : : : n |
; |
1 ДБАФУС Ч (4), ЗДЕ УЮЙ- |
||||
ÔÁÅÍ, ÞÔÏ a(0) |
= a ). |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
фБЛ ЛБЛ НБФТЙГЩ ЧТБЭЕОЙС ПТФПЗПОБМШОЩЕ, ФП T ;1 |
|
= T t |
+1 |
É ÉÚ (8) ÐÏÌÕ- |
||
|
i |
+1 |
i |
|
||
ЮБЕН ЙУЛПНПЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ (10). |
|
|
|
|
|
|
иТБОЕОЙЕ НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ. нБФТЙГБ A ИТБОЙФУС Ч ЧЙДЕ ФТЕИ ЧЕЛФПТПЧ, ЪБДБАЭЙИ ОЕОХМЕЧЩЕ ДЙБЗПОБМЙ НБФТЙГЩ. нБФТЙГБ R ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ НБФТЙГЩ A Й РПМХЮБЕФУС ЙЪ ОЕЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОЩН РТЙНЕОЕОЙЕН ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЧТБЭЕОЙК (ЛБЛ ПРЙУБОП ЧЩЫЕ). дМС ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ЧЩДЕМСАФУС ДЧБ ЧЕЛФП-
ТБ ДМЙОЩ n;1. ч РЕТЧПН ЧЕЛФПТЕ ИТБОСФУС ЪОБЮЕОЙС cos 'i +1 , i = 1 2 : : : n;1, ЧП ЧФПТПН ЧЕЛФПТЕ | ЪОБЮЕОЙС sin 'i +1 , i = 1 2 : : : n ; 1.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК
пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n ; 1.
1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ Tkk +1 , ХЮБУФЧХАЭЕК Ч (6), УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.2 ФТЕВХЕФУС 4 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩЕ, ПДОБ БДДЙФЙЧОБС Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
2. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЛПНРПОЕОФ k : : : n k -ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩИ ЛПНРПОЕОФБН ЧЕЛФПТБ ka(1k;1)k e(1n;k+1) ФТЕВХЕФУС (ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ДМЙОЩ ЧЕЛФПТБ (4)) ДЧЕ ПРЕТБГЙЙ ХНОПЦЕОЙС, ПДОБ ПРЕТБГЙС УМПЦЕОЙС Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС. уФПМВЕГ k ЧЩЮЙУМСЕФУС ЙНЕООП ЬФЙН УРПУПВПН (Б ОЕ РП ПВЭЙН ЖПТНХМБН (6)) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
3. рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (6) НБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС ХНОПЦБЕФУС ОБ
РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=k |
j |
=k+1 |
НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ (n |
; |
k + 1) |
|
(n |
; |
k) |
(k -К УФПМВЕГ НБФТЙГЩ |
A(k) |
|
|
|
|
|
|||
ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕО Ч РХОЛФЕ 2), ЙНЕАЭЙНЙ ОЕ ВПМЕЕ ДЧХИ |
|||||||||
ОЕОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ, ФП УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.5 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС ОЕ ВПМЕЕ 4 2 = 8 ХНОПЦЕОЙК Й 2 2 = 4 УМПЦЕОЙК.
éÔÁË, ÎÁ k -ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ ОЕ ВПМЕЕ 4 + 2 + 8 = 14 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 1+1+4 = 6 БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й ДЧЕ ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ ОЕ ВП-
ÌÅÅ |
|
|
kn=1;1 14 = 14(n ; 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 6(n ; 1) БДДЙФЙЧОЩИ |
|||||||||||||||||||||
ПРЕТБГЙК Й 2(n |
; |
1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП |
||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НБФТЙГЩ НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК |
|
|
|||||||||||||
пВПЪОБЮЙН |
a1 |
= (a11 a21 0 : : : 0)t |
2 |
Rn |
|
{ РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A. |
||||||||||||||||||
уПЗМБУОП |
МЕННЕ |
|
I.13.9 |
УХЭЕУФЧХЕФ |
|
|
x |
(1) |
|
C |
n |
, ЧЙДБ (11), ФБЛПК, ЮФП |
||||||||||||
|
ЧЕЛФПТ |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
U(x |
(1) |
)a1 |
= |
k |
a1 |
k |
e1 , ÇÄÅ |
e1 = (1 0 : : : 0) |
2 |
C |
n |
, |
= |
U(x |
(1) |
) { НБФТЙГБ ПФТБ- |
||||||||
|
|
U1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЦЕОЙС. пФНЕФЙН, ЮФП Х ЧЕЛФПТБ x |
|
ФПМШЛП РЕТЧЩЕ ДЧЕ ЛПНРПОЕОФЩ ПФМЙЮОЩ ПФ |
||||||||||||||||||||||
ОХМС. уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ U(x(1)) ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ВМПЛПН 2 |
|
2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. хНОПЦЙН НБФТЙГХ A ÎÁ U(x(1)) |
|||||||||||
|
|
|
|
A |
(1) |
= U(x |
(1) |
)A ЧЙДБ (22). дБМЕЕ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС |
|||||
УМЕЧБ, РПМХЮЙН НБФТЙГХ |
|
|
|
||||||||||
Л РПДНБФТЙГЕ (aij(1))i |
=2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рХУФШ УДЕМБОЩ k |
; |
1 |
k = 1 : : : n |
ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. НБФТЙГБ РТЕ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(k;1) |
ЙНЕЕФ ЧЙД (23), НБФТЙГБ Ui |
РПУФТПЕОБ |
|||
ПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ (12) ЗДЕ НБФТЙГБ A |
|
|
|
||||||||||
× (13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чЧЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ (4) ДМС РЕТЧПЗП УФПМВГБ РПДНБФТЙГЩ (a(ijk;1))i |
=k::: . óÏ- |
||||||||||||
ЗМБУОП МЕННЕ I.13.9 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС (I.13.5) ФБЛБС, ЮФП ЧЩРПМОЕОП УППФОПЫЕОЙЕ (I.13.6). чЧЕДЕН НБФТЙГХ Uk ЧЙДБ (I.13.7). уППФОПЫЕОЙС (I.13.8) Й (I.13.9) РПЛБЪЩЧБАФ, ЮФП НБФТЙГБ Uk ХОЙФБТОБ Й УБНПУПРТСЦЕОБ. пФНЕФЙН, ЮФП Х ЧЕЛФПТБ x(k) Ч (I.13.5) ФПМШЛП РЕТЧЩЕ ДЧЕ ЛПНРПОЕОФЩ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС. уМЕДП- ЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ Uk ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН 2 2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ.
хНОПЦЙН НБФТЙГХ (3) ОБ Uk УМЕЧБ, РПМХЮЙН (14), ЗДЕ A(k) ЙНЕЕФ ЧЙД (24). пФ-
НЕФЙН, ЮФП Ч (14) НБФТЙГБ Uk ХНОПЦБЕФУС ФПМШЛП ОБ РПДНБФТЙГХ (a(ijk;1))i =k::: НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ n;k +1 (ПУФБМШОБС ЮБУФШ A(k;1) Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (14) ОЕ ХЮБУФЧХЕФ). рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ Uk ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН 2 2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ Ч УФТПЛБИ k É k+1, ФП НБФТЙГБ РПМХЮБЕФУС ЙЪ A(k;1) ЙЪНЕОЕОЙЕН ДЧХИ УФТПЛ (k -ÏÊ É (k +1)-ПК) ДМЙОЩ n;k ЙНЕАЭЙНЙ ОЕ ВПМЕЕ ФТЕИ ОЕОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ.
рПУМЕ n ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ (23) Л (24)), НБФТЙГБ РТЙНЕФ ЧЙД (20), ЗДЕ НБФТЙГБ R ЙНЕЕФ ЧЙД (25).
фБЛ ЛБЛ НБФТЙГЩ Uk ХОЙФБТОЩЕ Й УБНПУПРТСЦЕООЩЕ, ФП Ui;1 = Ui = Ui Й ЙЪ (20) РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ (21).
иТБОЕОЙЕ НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ. нБФТЙГБ A ИТБОЙФУС Ч ЧЙДЕ ФТЕИ ЧЕЛФПТПЧ, ЪБДБАЭЙИ ОЕОХМЕЧЩЕ ДЙБЗПОБМЙ НБФТЙГЩ. нБФТЙГБ R ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ НБФТЙГЩ A Й РПМХЮБЕФУС ЙЪ ОЕЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОЩН РТЙНЕОЕОЙЕН НБФТЙГ ПФТБЦЕОЙС (ЛБЛ ПРЙУБОП ЧЩЫЕ). дМС ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ЧЩДЕМСАФУС ДЧБ ЧЕЛФПТБ ДМЙОЩ n. ч РЕТЧПН ЧЕЛФПТЕ ИТБОСФУС РЕТЧЩЕ ОЕОХМЕЧЩЕ ЛПНРПОЕОФЩ ЧЕЛФПТПЧ x(i) , i = 1 2 : : : n, ЧП ЧФПТПН ЧЕЛФПТЕ | ЧФПТЩЕ ОЕОХМЕЧЩЕ ЛПНРПОЕОФЩ ЧЕЛФПТПЧ x(i) , i = 1 2 : : : n.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК
пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n.
1.оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ U(xk) РП ЖПТНХМБН (I.13.5) ФТЕВХЕФУС 1+1+1+2 = 5 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, 1 + 1 + 1 = 3 БДДЙФЙЧОЩЕ ПРЕТБГЙЙ Й 1 + 1 = 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
2.лПНРПОЕОФЩ k : : : n k-ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩЕ ЛПНРПОЕОФБН ЧЕЛФПТБ ka(1k;1)k e(1n;k+1) , ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ Ч (16). уФПМВЕГ k ЧЩЮЙУМСЕФУС ОЕ РП ПВЭЙН ЖПТНХМБН (20) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |