Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

480.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

x4. уфереоопк нефпд

(k)

x(k)

Б ЧЕМЙЮЙОЩ e1

УИПДСФУС Л УПВУФЧЕООПНХ ЧЕЛФПТХ, УППФЧЕФУФЧХАЭЕ-

kx(k)k

ÍÕ 1

(У ФПЮОПУФША ДП РПУФПСООПЗП НОПЦЙФЕМС):

e1(k) = ei'e1 + O 0

ÇÄÅ e

{ ЮЙУМП, РП НПДХМА ТБЧОПЕ 1.

@ 1

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рПУЛПМШЛХ ЧЕЛФПТБ

e1 : : : en

ПВТБЪХАФ ВБЪЙУ Ч Cn , ÔÏ

x(0) =

n ciei , РТЙЮЕН РП ХУМПЧЙА c1 = (x(0) e1) = 0. чЩЮЙУМЙН

i=1

x(k) = Akx(0) = Ak

ciei

ciAkei = ikei:

i=1

рПЬФПНХ x(k) = c1 1ke1 +O j 2kj , x(k+1) = c1 1k+1e1 +O j 2k+1j . дБМЕЕ, ЧЩЮЙУМЙН

kx(k)k = (x(k) x(k)) = c1 1ke1 + O j 2kj c1 1ke1 + O

j 2kj

= jc1j2j 1j2k + O j 1kjj 2kj S

(x(k+1) x(k)) = c1 1k+1e1 + O j 2k+1j c1 1ke1 + O j 2kj

уМЕДПЧБФЕМШОП,

= 1 jc1j2j 1j2k + O j 1kjj 2kj :

(k)	=	(x(k+1)	x(k))
1	=	(x(k) x(k))
		(x(k) x(k))

бОБМПЗЙЮОП,

jc1j2j 1j2k + O j 1kjj 2kj

= 1 1 + O jc11j2

1 jc1j2j 1j2k + O j 1kjj 2kj

1 + O jc1j2

= 1 + O 0 1

1 A

c1 1k

e1(k) =

x(k)

c1 1ke1 + O j 2kj

jc1jj 1jk e1

+ O jc1j

x(k)

j 1jj

1 + O

jc1j 1

2k + O

1=2

= ei'e1 + O 0

@ 1

ÇÄÅ e

jc1j j 1j

. фПТЕНБ ДПЛБЪБОБ.

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

ъБНЕЮБОЙЕ 2.

x5. нефпд чтбэеойк слпвй	85

ъБНЕЮБОЙЕ 1. рТЙ ТЕБМЙЪБГЙЙ ОБ ТЕБМШОПК ьчн ЙФЕТБГЙПООЩК РТПГЕУУ (1) УИПДЙФУС, ДБЦЕ ЕУМЙ ХУМПЧЙЕ (x(0) e1) =6 0 ОЕ ЧЩРПМОЕОП. дЕМП Ч ФПН, ЮФП ЙЪ-ЪБ РТЙУХФУФЧЙС ПЛТХЗМЕОЙК ДМС ОЕЛПФПТПЗП k0 ВХДЕФ ЧЩРПМОЕОП (x(k0) e1) =6 0, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ (x(0) e1) = 0. рПУМЕ ЬФПЗП ПРЙУБООЩК ЧЩЫЕ РТПГЕУУ ТБВПФБЕФ, ЛБЛ ЕУМЙ ВЩ ЕЗП ОБЮБМЙ У x(0) = x(k0) .

åÓÌÉ j 1j > 1, ÔÏ kx(k)k = c1 k1e1 + O j k2j ! 1 ÐÒÉ k ! 1S

åÓÌÉ j 1j < 1, ÔÏ kx(k)k = c1 k1e1 + O j k2j ! 0 ÐÒÉ k ! 1. рПЬФПНХ, ЮФПВЩ ОЕ РТПЙЪПЫМП РЕТЕРПМОЕОЙС ЙМЙ РПФЕТЙ ФПЮОПУФЙ, ОБДП ЮЕТЕЪ ЛБЛПЕ-ФП ЛПМЙЮЕУФЧП

m ЙФЕТБГЙК ОПТНЙТПЧБФШ ЧЕЛФПТ x(k) ФБЛ, ЮФПВЩ kx(k)k = 1. рТБЛФЙЮЕУЛЙ ЬФП ПУХЭЕУФЧМСЕФУС ФБЛ: ЕУМЙ k ДЕМЙФУС ОБ m ОБГЕМП, ФП РПУМЕ ЧЩЮЙУМЕОЙС x(k+1) É

x(k+1)

(1k) РПМБЗБЕН x(k+1) = kx(k+1)k . дБМЕЕ РТПГЕУУ РТПДПМЦБЕФУС, ЛБЛ ЕУМЙ ВЩ НЩ ЕЗП ОБЮБМЙ У x(0) = x(k+1) .

x 4.2. пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ

дМС ЧЩРПМОЕОЙС ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ (1) (Ф.Е. ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧЕЛФПТБ x(k+1) É ×ÅÌÉ-

ÞÉÎÙ (1k) ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ:

1) ЧЕЛФПТ x(k+1) = Ax(k) S ДМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС n2 +O(n) БДДЙФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРТЕБГЙК (ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГЩ A ОБ ЧЕЛФПТ x(k) S

2) УЛБМСТОПЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ a = (x(k) x(k))S ДМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРТЕБГЙКS

3) УЛБМСТОПЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ b = (x(k+1) x(k))S ДМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРТЕБГЙКS

4) ПФОПЫЕОЙЕ 1 = a=bS ДМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОБС ПРТЕБГЙС. уХННЙТХС ЬФЙ ПГЕОЛЙ, ОБИПДЙН, ЮФП ОБ ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС n2 +

O(n) БДДЙФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРТЕБГЙК.

x 5. нефпд чтбэеойк слпвй

нЕФПД ЧТБЭЕОЙК сЛПВЙ РПЪЧПМСЕФ ОБИПДЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС УЙННЕФТЙЮОПК ЧЕЭЕУФЧЕООПК НБФТЙГЩ A 2 Mn .

x 5.1. пРЙУБОЙЕ БМЗПТЙФНБ пРТЕДЕМЕОЙЕ. дМС ЧУСЛПК НБФТЙГЩ B = (bij) РПМПЦЙН

(B) = X jbijj2

i i=6 j

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x5. нефпд чтбэеойк слпвй

{ УХННБ ЛЧБДТБФПЧ ЧОЕДЙБЗПМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ B .

рХУФШ A = (aij)

2 Mn(R), A = A = At . чУСЛБС УЙННЕФТЙЮОБС ЧЕЭЕУФЧЕООБС

НБФТЙГБ ДЙБЗПОБМЙЪЙТХЕНБ Ч ОЕЛПФПТПН ЕЧЛМЙДПЧПН ВБЪЙУЕ, Ф.Е. УХЭЕУФЧХЕФ ПТ-

ФПЗПОБМШОБС НБФТЙГБ O O(n) Й ДЙБЗПОБМШОБС НБФТЙГБ = diag( 1 : : : n) ÔÁ-

ËÉÅ, ÞÔÏ A = O O

. пФУАДБ = O

AO =

OAO

, ЗДЕ ПВПЪОБЮЕОП O = O

O(n).

пЮЕЧЙДОП, ЮФП ДМС ДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ( ) = 0 Й ДМС ЧУСЛПК НБФТЙГЩ B

(B)

0. уМЕДПЧБФЕМШОП

)

0 ДМС ЧУСЛПК O

O(n)S

Á) (OAO

Â) (OAO ) = ( ) = 0, ÅÓÌÉ O

= O .

уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ

O =

O СЧМСЕФУС ТЕЫЕОЙЕН ЪБДБЮЙ НЙОЙНЙЪБГЙЙ

ЖХОЛГЙПОБМБ (OAO ) ОБ ЗТХРРЕ ПТФПЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ:

(OAO )

min

! O2O(n)

еУМЙ НЩ ОБКДЕН ЛБЛПЕ-ФП ТЕЫЕОЙЕ O1 ЬФПК ЪБДБЮЙ, Ф.Е. (O1AO1) = 0, ФП НБФТЙГБ (O1AO1) ДЙБЗПОБМШОБ Й ПТФПЗПОБМШОП РПДПВОБ НБФТЙГЕ A. уМЕДПЧБФЕМШОП, ОБ ЕЕ ДЙБЗПОБМЙ УФПСФ ЙУЛПНЩЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A.

вХДЕН УФТПЙФШ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ УЙННЕФТЙЮОЩИ НБФТЙГ

A = A0 A1 : : : Ak : : :

(1)

ФБЛХА, ЮФП ДМС ЧУСЛПЗП k = 1 2 : : ::

1) уМЕДХАЭБС НБФТЙГБ ПТФПЗПОБМШОП РПДПВОБ РТЕДЩДХЭЕК (Й РПФПНХ ПТФПЗПОБМШОП РПДПВОБ ЙУИПДОПК)

Ak = OkAk;1Ok Ok	2	O(n):	(2)
	2

2) уХННБ ЛЧБДТБФПЧ ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ УМЕДХАЭЕК НБФТЙГЩ УФТПЗП НЕОШЫЕ УХННЩ ЛЧБДТБФПЧ ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ РТЕДЩДХЭЕК НБФТЙГЩ:

(Ak) < (Ak;1)

(3)

Ф.Е. РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ f (Ak)g1k=1 УФТПЗП НПОПФПООП ХВЩЧБЕФ, ЮФП Ч УЙМХ

(Ak) 0 ЗБТБОФЙТХЕФ УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ РТЕДЕМБ lim (Ak).

3) ьФПФ РТЕДЕМ ТБЧЕО ОХМА:

k!1

lim (Ak) = 0:	(4)
k!1

нБФТЙГЩ Ok 2 O(n) Ч (2) РПДВЙТБАФУС ОБ ЫБЗЕ k ФБЛ, ЮФПВЩ ХДПЧМЕФЧПТЙФШ ХУМПЧЙСН (3), (4).

фЕПТЕНБ 1. рХУФШ " > 0 { РТПЙЪЧПМШОП. фПЗДБ Ч РТПГЕУУЕ (1) | (4) УХЭЕУФЧХЕФ k = k0 ФБЛПЕ, ЮФП (Ak0 ) < ". рТЙ ЬФПН ДМС ЧУСЛПЗП УПВУФЧЕООПЗП

(k0)

;

ÚÎÁÞÅÎЙС НБФТЙГЩ A УХЭЕУФЧХЕФ i, 1

n, ФБЛПЕ, ЮФП

a(k0)

;

, ÇÄÅ

(aij ) { ЬМЕНЕОФЩ НБÔÒÉÃÙ Ak0

. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, ДЙБЗПОБМШ

У ФПЮОПУФША p

p" РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК ОБВПТ УПВУФЧЕООЩИ

НБФТЙГЩ Ak0

n ; 1

ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A.

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x5. нефпд чтбэеойк слпвй	87

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. ч УЙМХ (4) ДМС ЧУСЛПЗП " > 0 УХЭЕУФЧХЕФ k = k0 , ФБЛПЕ, ЮФП 0 (Ak0 ) < ". ч УЙМХ (2) ЧУСЛПЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ A СЧМСЕФУС УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙЕН НБФТЙГЩ Ak0 .

рП ФЕПТЕНЕ зЕТЫЗПТЙОБ ДМС ЧУСЛПЗП { УПВУФЧЕООПЗП ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ Ak0

УХЭЕУФЧХЕФ i, 1 i n, ФБЛПЕ, ЮФП

jaij(k0)j v

j ; aii(k0)j Ri0(Ak0 ) =

n ja(ijk0)j2

j=1

j=6 i

uj=6 i

< p

(Ak0 )

n ; 1

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ.

ч НЕФПДЕ ЧТБЭЕОЙК сЛПВЙ ч ЛБЮЕУФЧЕ ПТФПЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ Ok

× (2) ÉÓ-

РПМШЪХАФУС НБФТЙГЩ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС (УН. УФТ. 43): Ok = Tijk

= Tij('k).

õÇÏÌ ' РПДВЙТБЕФУС ФБЛ, ЮФПВЩ ХДПЧМЕФЧПТЙФШ (3), Б ЙОДЕЛУЩ i É j { ФБЛ, ЮФПВЩ ХДПЧМЕФЧПТЙФШ (4).

x 5.2. чЩВПТ ХЗМБ ЧТБЭЕОЙС

чЩЮЙУМЙН ДМС РТПЙЪЧПМШОПК УЙННЕФТЙЮОПК НБФТЙГЩ A Й РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС Tij НБФТЙГХ B = TijATijt Й ЧЩТБЦЕОЙЕ

(B) ; (A) = X (b2lm ; a2lm):

lm =1 l6=m

рТЙ ХНОПЦЕОЙЙ A ÎÁ Tij УМЕЧБ ЙЪНЕОСАФУС ФПМШЛП УФТПЛЙ i É j НБФТЙГЩ A, РТЙ ХНОПЦЕОЙЙ TijA ÎÁ Tijt УРТБЧБ ЙЪНЕОСАФУС ФПМШЛП УФПМВГЩ i É j НБФТЙГЩ TijA. рПЬФПНХ ЧУЕ ЬМЕНЕОФЩ, ОЕ ОБИПДСЭЙЕУС Ч УФТПЛБИ i, j Й УФПМВГБИ i, j , Х НБФТЙГ

A É B = TijATijt УПЧРБДБАФ: blm = alm

ÐÒÉ l = i j , m = i j . уМЕДПЧБФЕМШОП,

(bim2 ; aim2 ) +

(bjm2 ; a2jm) +

(bli2

; a2li) +

(blj2 ; alj2 )

(B) ;

(A) =

m=1

l=1

m6=i

l=6 i

l6=i

+(bij2 ; aij2 ) + (bji2 ; aji2 )

((bim2 + bjm2 ) ; (aim2 + ajm2 )) +

; (ali2 + alj2 )) + 2(bij2 ; aij2 )

((bli2 + blj2 )

m=1

l=1

m=6 i

l=6 i

(ЪДЕУШ НЩ ЙУРПМШЪПЧБМЙ УЙННЕФТЙЮОПУФШ НБФТЙГ A É B : aij = aji , bij = bji ÄÌÑ ×ÓÅÈ i j = 1 : : : n). вЕЪ ПЗТБОЙЮЕОЙС ПВЭОПУФЙ НЩ НПЦЕН УЮЙФБФШ, ЮФП i < j . ÷

УЙМХ УФТПЕОЙС НБФТЙГЩ Tij	(УН. (I.12.1)) Й РТБЧЙМ ХНОПЦЕОЙС НБФТЙГ РПМХЮБЕН
ÄÌÑ ×ÓÅÈ m l = 1 : : : n, m l = i j :
	6		cos '	; sin '	!
bim		=	cos '	; sin '		aim	(5)
bjm !			sin '	cos '		ajm !

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x5. нефпд чтбэеойк слпвй					88
x5. нефпд чтбэеойк слпвй
É			!	t
(bli blj) = (ali alj)	cos '	; sin '		t	(6)
	sin '	cos '

нБФТЙГЩ РТЕПВТБЪПЧБОЙС Ч (5) Й (6) ПТФПЗПОБМШОЩ Й РПФПНХ УПИТБОСАФ ДМЙОЩ (ДЧХНЕТОЩИ) ЧЕЛФПТПЧ. рПЬФПНХ

bim2	+ bjm2 = aim2		+ ajm2	m = 1 : : : n m = i jS
2	2	2	2	6	6
bli + blj		= ali + alj		6
bli + blj		= ali + alj		l = 1 : : : n l = i j:
уМЕДПЧБФЕМШОП,
		(B) ; (A) = 2(bij2 ; aij2 ):				(7)
ьФП ЧЩТБЦЕОЙЕ ВХДЕФ НЙОЙНБМШОП, ЛПЗДБ bij = 0.

пРТЕДЕМЙН ХЗПМ ЧТБЭЕОЙС ЙЪ ХТБЧОЕОЙС ' = 0. йЪ ЧЩТБЦЕОЙС (7) ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ 2 2 УЙННЕФТЙЮОЩЕ НБФТЙГЩ A É B :

B =

bii

bij

A =

aii

aij

Tij =

cos '

; sin '

B = TijATijt

bij

bjj !

aij

ajj !

sin '

cos '

чЩЮЙУМЙН

cos 'aii ; sin 'aij

cos 'aij ; sin 'ajj

TijA =

sin 'aii + cos 'aij

sin 'aij + cos 'ajj

bij = sin '(cos 'aii

;

sin 'aij) + cos '(cos 'aij

;

sin 'ajj)

= sin ' cos 'aii

'aij

+ cos

; sin

'aij ; sin ' cos 'ajj

2 sin 2'(aii ; ajj) + cos 2'aij

йЪ ХУМПЧЙС bij = 0 РПМХЮБЕН ХТБЧОЕОЙЕ

; ajj) + cos 2'aij = 0

2 sin 2'(aii

ПФЛХДБ

2aij

ÅÓÌÉ aii

6= ajj

;

ajj

8 tg 2' = ;aii

< '

ÅÓÌÉ aii

= ajj:

вХДЕН ЧЩВЙТБФШ ' 2 [;

4 ]. фПЗДБ cos 2' 0 É sign(sin ') = sign(tg 2'). óÌÅ-

ДПЧБФЕМШОП,

cos 2' =

(1 + tg2 2')1=2

cos ' =

2 1 + (1 + tg2 2')1=2 !!

1=2

sin ' = sign(tg 2')

1 ; (1 + tg2 2')1=2 !!

1=2

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x5. нефпд чтбэеойк слпвй

пВПЪОБЮЙН x = ;2aij , y = aii ; ajj . фПЗДБ

tg 2' = x

cos 2' =

jyj

1=2

(x2 + y2)1=2

1 + xy2

1=2

cos ' =

1 +

jyj

sin ' = sign(xy) 1

jyj

(x2

+ y2)1=2

; (x2 + y2)1=2

пДОБЛП РТЙ

j ! 1

ЮЙУМБ 1 Й

(x2

jyj

НПЗХФ ПЛБЪБФШУС ВМЙЪЛЙ Й РТЙ ЧЩЮЙ-

+ y2)1=2

УМЕОЙЙ ЙИ ТБЪОПУФЙ ЧПЪОЙЛБЕФ ВПМШЫБС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОБС РПЗТЕЫОПУФШ. рПЬФПНХ

sin ' ЧЩЮЙУМСАФ РП ЖПТНХМЕ

jyj

sin 2'

tg 2' cos 2'

sin ' =

y (x2 + y2)1=2

2 cos '

x sign(y)

sign(xy)jxj

2 cos ' (x2 + y2)1=2

пЛПОЮБФЕМШОП, ТБУЮЕФОЩЕ ЖПТНХМЩ ЙНЕАФ ЧЙД:

cos ' = p

sin ' = p

ÐÒÉ y = 0

1=2

(8)

jyj

sign(xy)jxj

cos ' =

1 +

sin ' =

ÐÒÉ y = 0

(x2 + y2)1=2 !!

2 cos ' (x2 + y2)1=2

(ÇÄÅ x = ;2aij , y = aii ; ajj ).

фБЛЙН ПВТБЪПН, ДМС ЧЩРПМОЕОЙС ХУМПЧЙС (3) ДПУФБФПЮОП ЧЩВТБФШ РТПЙЪЧПМШ-

ОЩК ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩК ЬМЕНЕОФ a(ijk;1) =6 0 Й УДЕМБФШ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ Tij(') У ХЗМПН ', ПРТЕДЕМЕООЩН РП РТЙЧЕДЕООЩН ЧЩЫЕ ЖПТНХМБН.

x 5.3. уФТБФЕЗЙЙ ЧЩВПТБ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ

пВЕУРЕЮЙН ЧЩРПМОЕОЙЕ ХУМПЧЙС (4) ЪБ УЮЕФ ЧЩВПТБ ОПНЕТБ (i j) ПВОХМСЕНПЗП

ЬМЕНЕОФБ a(ijk;1) . ьФП НПЦОП УДЕМБФШ ОЕУЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ, ЛПФПТЩЕ ОБЪЩЧБАФ

УФТБФЕЗЙСНЙ ЧЩВПТБ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ. йНЕООП УФТБФЕЗЙС ЧЩВПТБ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ Ч ЪОБЮЙФЕМШОПК УФЕРЕОЙ ПРТЕДЕМСЕФ ФТХДПЕНЛПУФШ БМЗПТЙФНБ НЕФПДБ ЧТБЭЕОЙК сЛПВЙ.

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x5. нефпд чтбэеойк слпвй	90

x 5.3.1. нЕФПД ЧТБЭЕОЙК У ЧЩВПТПН НБЛУЙНБМШОПЗП ЬМЕНЕОФБ

ч ЛБЮЕУФЧЕ a(ijk;1) ЧЩВЙТБЕН НБЛУЙНБМШОЩК РП НПДХМА ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩК ЬМЕНЕОФ НБФТЙГЩ Ak;1 :

a(ijk;1)

= max

alm(k;1)

(9)

l=6 m

lm =1

мЕННБ 1. рТЙ ЧЩВПТЕ (9) ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ ХУМПЧЙЕ (4) ЧЩРПМОЕОП.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рТЙ МАВПК УФТБФЕЗЙЙ ЧЩВПТБ ЬМЕНЕОФБ aij(k;1)

ÉÚ (7) ÓÌÅ-

ÄÕÅÔ, ÞÔÏ

(Ak) = (Ak;1) ; jaij(k;1)j2:

(10)

рХУФШ aij(k;1) ЧЩВТБО ЛБЛ (9). фПЗДБ

(Ak;1) =

jaml(k;1)j2

jaij(k;1)j2 = n(n ; 1)jaij(k;1)j2:

lm =1

l=6 m

уМЕДПЧБФЕМШОП,

ja(ijk;1)j2

(Ak;1):

n(n ; 1)

рПЬФПНХ ЙЪ (10)

(Ak) (Ak;1) ;

(Ak;1) = 1

;

! (Ak;1)

n(n

;

n(n

;

! 1

! (Ak;2) : : :

! (A0):

1 ;

;

1 ;

n(n

;

n(n

;

n(n

;

рПУЛПМШЛХ q = 1

;

2 (0 1), ÔÏ qk ! 0 ÐÒÉ k ! 1, É

n(n ; 1)

(Ak) qk (A0) ! 0

ÐÒÉ k ! 1:

уМЕДУФЧЙЕ 1. ðÒÉ k ! 1 ДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ Ak УИПДСФУС Л УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙСН НБФТЙГЩ A. дПЛБЪБФЕМШУФЧП УМЕДХЕФ ЙЪ ФЕПТЕНЩ 1.

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

ПРЕТБГЙК УТБЧОЕОЙС (ЛПФПТЩЕ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У БДДЙФЙЧ-

Tijt (') УРТБЧБ УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.5

x5. нефпд чтбэеойк слпвй	91

пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ

фТХДПЕНЛПУФШ БМЗПТЙФНБ УЛМБДЩЧБЕФУС ЙЪ ФТХДПЕНЛПУФЙ РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ Tij('), ФТХДПЕНЛПУФЙ ХНОПЦЕОЙС НБФТЙГЩ A ÎÁ Tij(') УМЕЧБ Й Tijt (') УРТБЧБ (ОЕ ЪБЧЙУСФ ПФ УФТБФЕЗЙЙ ЧЩВПТБ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ), Б ФБЛЦЕ ФТХДПЕНЛПУФЙ ЧЩВПТБ ПЮЕТЕДОПЗП ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ.

1) оБ ЧЩВПТ a(ijk;1) РП ЖПТНХМЕ (9) Ч УЙМХ УЙННЕФТЙЮОПУФЙ НБФТЙГЩ A ÔÒÅ-

ВХЕФУС n(n2; 1) ПРЕТБГЙК УТБЧОЕОЙС, ЛПФПТЩЕ РП РПТСДЛХ УМПЦОПУФЙ ТБЧОЩ БДДЙФЙЧОЩН ПРЕТБГЙСН.

2) оБ РПУФТПЕОЙЕ НБФТЙГЩ Tij(') (Ф.Е. ПРТЕДЕМЕОЙЕ cos ' É sin ') РП ЖПТНХМБН (8) ФТЕВХЕФУС ОЕ ЪБЧЙУСЭЕЕ ПФ n ЮЙУМП ПРЕТБГЙК (Ф.Е. O(1)).

3) оБ ХНОПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ A ÎÁ Tij(') УМЕЧБ УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.5 ФТЕВХЕФУС 4n ХНОПЦЕОЙК Й 2n УМПЦЕОЙК.

4) оБ ХНОПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Tij(')A ОБ ФТЕВХЕФУС 4n ХНОПЦЕОЙК Й 2n УМПЦЕОЙК.

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ Tij(')ATijt (') ФТЕВХЕФУС 8n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ Й 4n + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙКS ОБ ПДЙО ЫБЗ БМ-

ЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС 8n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ, 4n + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n(n2; 1)

ОЩНЙ ПРЕТБГЙСНЙ).

x 5.3.2. нЕФПД ЧТБЭЕОЙК У ГЙЛМЙЮЕУЛЙН ЧЩВПТПН ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ

чОЕДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ ОХНЕТХАФУС Ч УМЕДХАЭЕН РПТСДЛЕ:

a12 a13 : : : a1n a23 a24 : : : a2n a34 : : : a3n : : : an;1

Й Ч ЛБЮЕУФЧЕ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ ОБ ЫБЗЕ k ЧЩВЙТБЕФУС ЬМЕНЕОФ У ОПНЕТПН k(mod n(n2; 1)! ЙЪ ЬФПЗП УРЙУЛБ. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, Ч ЛБЮЕУФЧЕ ОПНЕТБ (i j) ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ РПУМЕДПЧБФЕМШОП ЧЩВЙТБАФ

(1 2) (1 3) : : : (1 n) (2 3) (2 4) : : : (2 n) (3 4) : : : (3 n) : : : (n ; 1 n):

ъБФЕН ЬФПФ ГЙЛМ РПЧФПТСЕФУС, Й ФБЛ ДП ФЕИ РПТ, РПЛБ ОБ ОЕЛПФПТПН ЫБЗЕ k0 ОЕ ВЕДЕФ ЧЩРПМОЕОП ХУМПЧЙЕ (Ak0 ) < ".

пРЩФ РПЛБЪЩЧБЕФ, ЮФП ПВЩЮОП ОХЦОП ОЕ ВПМЕЕ 5, 6 ФБЛЙИ ГЙЛМПЧ ДМС ДПУФЙЦЕОЙС НБЛУЙНБМШОП ЧПЪНПЦОПК ОБ ДБООПК ьчн ФПЮОПУФЙ (Ф.Е. НБЫЙООПК ФПЮОПУФЙ).

пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ

ч ЬФПК УФТБФЕЗЙЙ ОЕ ФТЕВХЕФУС ДПРПМОЙФЕМШОЩИ ЧЩЮЙУМЕОЙК ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС ПЮЕТЕДОПЗП ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ. уМЕДПЧБФЕМШОП, ФТХДПЕНЛПУФШ ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ ТБЧОБ ФТХДПЕНЛПУФЙ ЧЩЮЙУМЕОЙС НБФТЙГЩ Tij(')ATijt ('), Ф.Е. ФТЕВХЕФУС 8n+O(1)

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x5. нефпд чтбэеойк слпвй	92

БДДЙФЙЧОЩИ Й 4n + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. пДОБЛП, ЙЪ-ЪБ ОЕОБРТБ- ЧМЕООПЗП ЧЩВПТБ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ ЬФПФ БМЗПТЙФН ФТЕВХЕФ ЪОБЮЙФЕМШОПЗП ЮЙУМБ ЙФЕТБГЙК ДМС ДПУФЙЦЕОЙС ФТЕВХЕНПК ФПЮОПУФЙ.

x 5.3.3. нЕФПД ЧТБЭЕОЙК У ЧЩВПТПН ПРФЙНБМШОПЗП ЬМЕНЕОФБ

ч ЛБЮЕУФЧЕ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ a(ijk;1) ЧЩВЙТБЕН НБЛУЙНБМШОЩК РП НПДХМА ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩК ЬМЕНЕОФ Ч УФТПЛЕ НБФТЙГЩ Ak;1 , ЙНЕАЭЕК НБЛУЙНБМШОХА УХННХ НПДХМЕК ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, i ПРТЕДЕМСЕФУС

ЙЪ ХУМПЧЙС

a(k;1)

j=1 j

max

j=1 j

l=1

j=6 i

j6=l

Á j | ЙЪ ХУМПЧЙС

aij(k;1)

max

aim(k;1) :

(11)

m=1

m=6 i

дМС ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОЩИ ТБУИПДПЧ РПУФХРБАФ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. лТПНЕ НБФТЙГЩ Ak ИТБОЙФУС ЧЕЛФПТ b(k) , ЛПНРПОЕОФЩ ЛПФПТПЗП ОБ k -Í ÛÁÇÅ

ТБЧОЩ	n
bl(k) =	n	jalj(k)j2
bl(k) =	j=1	jalj(k)j2	(12)
	X
	j6=l

рПУЛПМШЛХ РТЙ РЕТЕИПДЕ ПФ НБФТЙГЩ Ak;1 Ë Ak = TijAk;1Tijt УХННЩ ЛЧБДТБФПЧ ЧОЕДЙБЗПОБМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ УФТПЛЙ l, l =6 i j ОЕ ЙЪНЕОСАФУС (УН. ЧЩЮЙУМЕОЙС РТЙ РПМХЮЕОЙЙ ЖПТНХМЩ (7)), ФП РТЙ РЕТЕИПДЕ ПФ Ak;1 Ë Ak = TijAk;1Tijt ÎÁÄÏ

ЪБОПЧП РЕТЕУЮЙФЩЧБФШ РП ЖПТНХМЕ (12) ФПМШЛП ЮЙУМБ b(ik) É b(jk) : ДМС ПУФБМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ ЧЕЛФПТБ b(k) УРТБЧЕДМЙЧП ТБЧЕОУФЧП

bl(k) = bl(k;1) l = 1 : : : n l = i j:	(13)
6

у ЙУРПМШЪПЧБОЙЕН ЧЕЛФПТБ b(k;1) ЧЩВПТ ПЮЕТЕДОПЗП ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ
a(ijk;1)	ПУХЭЕУФЧМСЕФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: i ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ ХУМПЧЙС
	b(k;1)	j	=	max	b(k;1)	j	(14)
	j i	j		l=1	j l	j

Á j | ЙЪ ХУМПЧЙС (11).

пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ

1)оБ ЧЩВПТ ПЮЕТЕДОПЗП ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ a(ijk;1) ФТЕВХЕФУС n УТБЧОЕОЙК

×ЖПТНХМЕ (14) Й n ; 1 УТБЧОЕОЙЕ Ч ЖПТНХМЕ (11).

2)оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ Tij(')ATijt (') ФТЕВХЕФУС 8n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ Й 4n + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК (УН. ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧЩЫЕ).

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x6. нефпд вйуелгйй	93

3) оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЧЕЛФПТБ b(k) РП ЖПТНХМЕ (12) (РТЙ i É j ) Й ЖПТНХМЕ (13) (ДМС ПУФБМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ) ФТЕВХЕФУС 2(n ; 1) ХНОПЦЕОЙЕ Й 2(n ; 2) УМПЦЕОЙЕ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБ ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС 10n+O(1) БДДЙФЙЧОЩИ, 6n+O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й 2n+O(1) ПРЕТБГЙК УТБЧОЕОЙС (ЛПФПТЩЕ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У БДДЙФЙЧОЩНЙ ПРЕТБГЙСНЙ).

x 6. нефпд вйуелгйй

нЕФПД ВЙУЕЛГЙЙ РПЪЧПМСЕФ ОБИПДЙФШ ДМС РТПЙЪЧПМШОПК ДЕКУФЧЙФЕМШОПК УЙННЕФТЙЮОПК НБФТЙГЩ:

1)k -Е РП ЧЕМЙЮЙОЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ,

2)ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ОБ ЪБДБООПН ЙОФЕТЧБМЕ,

3)ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС.

нЕФПД ПУОПЧЩЧБЕФУС ОБ УМЕДХАЭЕК ФЕПТЕНЕ:

фЕПТЕНБ 1. (вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.) рХУФШ A 2 Mn(R), A = A , A = (aij)
\| ОЕЧЩТПЦДЕООБС НБФТЙГБ,
	a11	: : : a1k		1
	. ..		.		Mk
Ak = 0 .			. .		Mk
@				A
B ak1		: : : akk C 2

É k = det Ak | ЗМБЧОЩЕ ХЗМПЧЩЕ НЙОПТЩ НБФТЙГЩ A. фПЗДБ ЛПМЙЮЕУФЧП ПФТЙГБФЕМШОЩИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A ТБЧОП S(A) | ЮЙУМХ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ 1 1 2 : : : n .

рПМПЦЙН n;( ) = S(A ; I). фПЗДБ РП ФЕПТЕНЕ 1 n;(0) = S(A) | ЮЙУМП ПФТЙГБФЕМШОЩИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A, n;( ) | ЮЙУМП УПВУФЧЕООЩИ

ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A, НЕОШЫЙИ (РПУЛПМШЛХ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A ; I ТБЧОЩ УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A НЙОХУ ). уМЕДПЧБФЕМШОП, n;( 2);n;( 1) ТБЧОП ЮЙУМХ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A, РТЙОБДМЕЦБЭЙИ ЙОФЕТЧБМХ ( 1 2) (ЪДЕУШ 1 , 2 ОЕ НПЗХФ ВЩФШ ЧЩВТБОЩ ТБЧОЩНЙ УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙСН НБФТЙГЩ A, ФБЛ ЛБЛ ФПЗДБ НБФТЙГЩ A ; 1I , A ; 2I ЧЩТПЦДЕОЩ Й ФЕПТЕНБ 1 ОЕ РТЙНЕОЙНБ).

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
02.05.2014602.66 Кб143Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12].pdf
#
02.05.2014480.74 Кб59Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22].pdf
#
02.05.2014471.94 Кб40Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 1.pdf
#
02.05.2014392.2 Кб32Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 2.pdf
#
02.05.20142.22 Кб12Вычисление многомерных интегралов.PAS
#
02.05.201478.85 Кб48Интерполяция функций.doc
#
02.05.2014342.53 Кб18Контрольная работа - Решение системы нелинейных уравнений.doc