Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22]
.pdf
x9. QR бмзптйфн |
124 |
|
3. рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (20) НБФТЙГБ Uk ЧЙДБ (I.13.5) ХНОПЦБЕФУС ОБ НБФТЙГХ A(k;1) ЧЙДБ (23), ФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ РП (20) ОБДП ХНОПЦЙФШ НБФТЙГХ ПФТБЦЕОЙС
U(x(k)) |
2 |
Mn;k+1 |
ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=k::: j =k+1 |
НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ |
|||||||
(n |
|
|
|
|
(n |
|
k) (k -К УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A(k) ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕО Ч РХОЛФЕ 2). |
||||
; |
k + 1) |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(k) |
) ПФМЙЮБЕФУС ПФ ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ ФПМШЛП ВМПЛПН |
||||
рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ U(x |
|
||||||||||
2 2, УФПСЭЙН ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ Ч УФТПЛБИ 1 Й 2, ФП ФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ РП (20) ОБДП ХНОПЦЙФШ НБФТЙГХ ПФТБЦЕОЙС U(x(k)) 2 Mn;k+1 ОБ РПДНБФТЙГХ
(a(ijk;1))i=kk +1 =k+1 НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ 2 (n ; k), ЗДЕ Ч ЛБЦДПК УФТПЛЕ ОЕ ВПМЕЕ ДЧХИ ОЕОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ, уПЗМБУОП МЕННЕ I.13.11 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС
2(2 2 + 1) = 10 ХНОПЦЕОЙК Й 2(2 2 ; 1) = 6 УМПЦЕОЙК.
éÔÁË, ÎÁ k -ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ 5 + 10 = 15 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 3 + 6 = 9 БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ ОЕ ВП-
ÌÅÅ Pn 15 = 15n НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 9n БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й
k=1
2n ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
x 9.2. QR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК
вХДЕН УФТПЙФШ ДМС НБФТЙГЩ A 2 Mn РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ fAkg НБФТЙГ Ak 2 Mn РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН:
1)A1 = AS
2)ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak+1 РПМХЮБЕФУС ЙЪ НБФТЙГЩ Ak УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Б) УФТПЙН QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak : Ak = QkRk ,
В) ЧЩЮЙУМСЕН НБФТЙГХ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ Rk É Qk : Ak+1 =
RkQk .
мЕННБ 1. äÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak ХОЙФБТОП РПДПВОБ A.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. йНЕЕН: Ak+1 = RkQk = (QkQk)RkQk = Qk(QkRk)Qk = QkAkQk . уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ Ak+1 ХОЙФБТОП РПДПВОБ Ak . рПУЛПМШЛХ A1 =
A, ФП РП ЙОДХЛГЙЙ РПМХЮБЕН, ЮФП Ak ХОЙФБТОП РПДПВОБ A ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : :, РТЙЮЕН Ak+1 = Q1 : : : QkA1Qk : : : Q1 = (Qk : : : Q1) A(Qk : : : Q1).
уМЕДУФЧЙЕ 1. нБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : ЙНЕАФ ФЕ ЦЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС, ЮФП Й НБФТЙГБ A.
фЕПТЕНБ 1. (вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.) рХУФШ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС f ig НБФТЙГЩ A 2 Mn ФБЛПЧЩ, ЮФП
j 1j > j 2j > : : : > j nj:
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
125 |
|
фПЗДБ Ч ОЕЛПФПТПН УНЩУМЕ (ДЕФБМЙ ЧЩИПДСФ ЪБ ТБНЛЙ ОБУФПСЭЕЗП ЛХТУБ) Qk ! I ÐÒÉ k ! 1, Rk ! Ak ÐÒÉ k ! 1. фЕН УБНЩН ДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ Ak = (a(ijk)) УИПДСФУС Л УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙСН НБФТЙГЩ A:
a(k) ! i ÐÒÉ k ! 1 i = 1 2 : : : n
ii 0
РТЙ ОЕЛПФПТПН i0 (Ф.Е. РПТСДПЛ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НПЦЕФ ОБТХЫБФШУС). |
||||||||||||
уЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ НБФТЙГЩ Ak |
Л ФТЕХЗПМШОПК ЙНЕЕФ РПТСДПЛ O 0 i |
k1 |
, |
|||||||||
ОП ОЕМШЪС ХФЧЕТЦДБФШ, ЮФП |
|
|
1 |
|
|
|
|
@ j A |
|
|||
(k) |
= O |
0 |
i |
k |
ÐÒÉ |
k |
|
|
i > j: |
|
|
|
aij |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
@ j |
A |
|
|
! 1 |
|
|
|
|
||
ъБНЕЮБОЙЕ 1. (вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ). еУМЙ ДМС НБФТЙГЩ A ПУХЭЕУФЧЙН LR- |
||||||||||||
БМЗПТЙФН, ФП РТЙ РТЙНЕОЕОЙЙ QR-БМЗПТЙФНБ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС A РПМХЮБ- |
||||||||||||
АФУС Ч РТБЧЙМШОПН РПТСДЛЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aii(k) ! i |
ÐÒÉ |
|
k ! 1 |
|
i = 1 2 : : : n |
|
|
|||||
Й УЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ НБФТЙГЩ Ak |
Л ФТЕХЗПМШОПК ДБЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН |
|
|
|||||||||
aij(k) = O |
0 |
i |
k |
1 |
ÐÒÉ |
k |
|
|
i > j: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
@ j |
A |
|
|
! 1 |
|
|
|
|
||
ъБНЕЮБОЙЕ 2. QR-БМЗПТЙФН УИПДЙФУС РТЙ УХЭЕУФЧЕООП НЕОЕЕ ПЗТБОЙЮЙФЕМШОЩИ ХУМПЧЙС, ЮЕН ЬФП ХЛБЪБОП Ч ФЕПТЕНЕ 1.
рТЙНЕОЕОЙЕ БМЗПТЙФНБ Л НБФТЙГЕ A 2 Mn РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ ФТЕВХЕФ УМЙЫЛПН ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК (Cn3 + O(n2), ЛПОУФБОФБ C ЪБ- ЧЙУЙФ ПФ НЕФПДБ РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС).
x 9.2.1. QR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ
еУМЙ НБФТЙГБ A | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС, ФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : Ч QR -БМЗПТЙФНЕ | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОЩЕ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. уПЗМБУОП (10) ЙМЙ (21) Q = |
n;1 T t |
+1 |
ÉÌÉ Q = n |
Ui (ÐÏ |
|
|
i=1 |
i |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Q |
|
|
Q |
|
ХФЧЕТЦДБЕНПК Ч ФЕПТЕНБИ I.12.1) Й I.13.1) ЕДЙОУФЧЕООПУФЙ QR-ТБЪМПЦЕОЙС ЬФЙ НБФТЙГЩ УПЧРБДБАФ). еУМЙ НБФТЙГБ A { РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС Й A = QR { ЕЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ, ФП НБФТЙГБ RQ ВХДЕФ РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК, ФБЛ ЛБЛ ХНОПЦЕОЙЕ
ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ R ОБ НБФТЙГХ Tit +1 ÉÌÉ Ui УРТБЧБ ЪБНЕОСЕФ ЕЕ i-Ê É i + 1
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
126 |
|
УФПМВГЩ ОБ ЙИ МЙОЕКОХА ЛПНВЙОБГЙА, ЮФП Ч ТЕЪХМШФБФЕ ДБЕФ РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ.
ьФБ МЕННБ РПЪЧПМСЕФ ЪОБЮЙФЕМШОП ХУЛПТЙФШ ТБВПФХ QR-БМЗПТЙФНБ. рЕТЕД ЕЗП РТЙНЕОЕОЙЕН ЙУИПДОБС НБФТЙГБ A РТЙЧПДЙФУС Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ A0 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15. ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A0 РТЙНЕОСЕФУС QR-БМЗПТЙФН.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ
QR-БМЗПТЙФНБ ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ ДМС НЕФПДБ ЧТБЭЕОЙК
1) рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak = QkRK ФТЕВХЕФ 2n2+O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, n2 + O(n) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й O(n) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
2) рПДУЮЙФБЕН ЪБФТБФЩ ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (10). фБЛ ЛБЛ ХНОПЦЕОЙЕ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ R ОБ НБФТЙГХ Tit +1 УРТБЧБ ЙЪНЕОСЕФ ЕЕ i-Ê É i + 1 УФПМВГЩ, ЙНЕАЭЙЕ ОЕ ВПМЕЕ i + 1 ОЕОХМЕЧПК ЬМЕНЕОФ, ФП УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.5 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 4(i + 1) ХНОПЦЕОЙК Й 2(i + 1) УМПЦЕОЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, ОБ ЧЩ-
ЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (10) ФТЕВХЕФУС Pn;1 4(i + 1) = 4n(n + 1)=2 = 2n2 + O(n)
i=1
(n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й n2 + O(n) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ 4n2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й 2n2 + O(n) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ
QR-БМЗПТЙФНБ ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ ДМС НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК
1) рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak = ФТЕВХЕФ (5=2)n2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, (3=2)n2 + O(n) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й O(n) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
2) рПДУЮЙФБЕН ЪБФТБФЩ ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (21). фБЛ ЛБЛ ХНОПЦЕОЙЕ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ R ОБ НБФТЙГХ Ui УРТБЧБ ЙЪНЕОСЕФ ЕЕ i-Ê É i + 1 УФПМВГЩ, ЙНЕАЭЙЕ ОЕ ВПМЕЕ i + 1 ОЕОХМЕЧПК ЬМЕНЕОФ, ФП уПЗМБУОП МЕННЕ I.13.11 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 5(i+1) ХНОПЦЕОЙК Й 3(i+1) УМПЦЕОЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ
РТПЙЪЧЕДЕОЙС (21) ФТЕВХЕФУС Pni=1 5(i + 1) = 5(n + 1)(n + 2)=2 = (5=2)n2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й (3=2)n2 + O(n) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ 5n2 + O(n) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й 3n2 + O(n) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 9.2.2. QR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
127 |
|
еУМЙ НБФТЙГБ A | УБНПУПРТСЦЕООБС, ФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : Ч QR-БМЗПТЙФНЕ | УБНПУПРТСЦЕООЩЕ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. дЕКУФЧЙФЕМШОП, РХУФШ Ak = QkRk { УБНПУПРТСЦЕООБС, Ф.Е.
Ak = RkQk = Ak . фПЗДБ Ak+1 = RkQk Й Ч УЙМХ ХОЙФБТОПУФЙ Qk ЙНЕЕН Ak+1 =
QkRk = Q;k 1Rk = Q;k 1Rk(Q;k 1Qk) = Q;k 1(RkQk)Qk = Q;k 1AkQk = Q;k 1AkQk , Ф.Е. НБФТЙГБ Ak+1 ХОЙФБТОП РПДПВОБ УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЕ Ak Й РПФПНХ УБНП-
УПРТСЦЕОБ.
мЕННБ 4. еУМЙ НБФТЙГБ A | УБНПУПРТСЦЕООБС ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС, ФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : Ч QR-БМЗПТЙФНЕ | УБНПУПРТСЦЕООЩЕ ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩЕ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. ч УЙМХ МЕННЩ 3 ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : | УБНПУПРТСЦЕООЩЕ. рПУЛПМШЛХ ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС НБФТЙГБ A СЧМСЕФУС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК, ФП Ч УЙМХ МЕННЩ 2 ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОЩЕ. йФБЛ, ДМС ЧУСЛПЗП k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak СЧМСЕФУС УБНПУПРТСЦЕООПК Й РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК, Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК.
ьФЙ МЕННЩ РПЪЧПМСАФ ЪОБЮЙФЕМШОП ХУЛПТЙФШ ТБВПФХ QR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ. рЕТЕД ЕЗП РТЙНЕОЕОЙЕН ЙУИПДОБС НБФТЙГБ A РТЙЧП- ДЙФУС Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ A0 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15. ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A0 РТЙНЕОСЕФУС QR-БМЗПТЙФН.
ûÁÇ QR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
дМС ГЕМЕК QR-БМЗПТЙФНБ ПРЙУБООПЕ ЧЩЫЕ РПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ (УН. УФТ. 120) НПЦЕФ ВЩФШ ЪОБЮЙФЕМШОП ХУЛПТЕОП.
1) ч НБФТЙГЕ R (25) ЬМЕНЕОФЩ r13 r24 : : : rn;2 ОЕ ЧЩЮЙУМСАФУС Й ОЕ ИТБОСФУС, РПУЛПМШЛХ, ЕУМЙ A = QR | УБНПУПРТСЦЕООБС ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС, ФП НБФТЙГХ RQ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ, ОЕ ЙУРПМШЪХС ЬФЙ ЬМЕНЕОФЩ.
дЕКУФЧЙФЕМШОП, РПУЛПМШЛХ РТЙ РЕТЕИПДЕ ПФ НБФТЙГЩ A(k;1) (23) Л НБФТЙГЕ A(k) (24) ЙЪНЕОСАФУС ФПМШЛП k -Ñ É (k + 1)-С УФТПЛЙ НБФТЙГЩ A(k;1) , ÔÏ ÎÅ×Ù-
ЮЙУМЕОЙЕ ЬМЕНЕОФБ rkk +2 |
ОЕ ПЛБЦЕФ ЧМЙСОЙС ОБ ПУФБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ |
|||
A(k) . дБМЕЕ, УПЗМБУОП (10) ЙМЙ (21) Q = |
n;1 T t |
ÉÌÉ Q = n Uk , Á ÕÍÎÏ- |
||
|
|
k=1 |
kk +1 |
k=1 |
|
|
|
||
t |
|
Q |
|
Q |
ЦЕОЙЕ R ÎÁ Tkk +1 ÉÌÉ |
Uk УРТБЧБ ЙЪНЕОСЕФ ФПМШЛП |
k -Ê É (k + 1)-К УФПМВГЩ |
||
НБФТЙГЩ R ЧЙДБ (25). рПЬФПНХ ОЙЦОЙК ФТЕХЗПМШОЙЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙС RQ НПЦОП
ЧЩЮЙУМЙФШ, ОЕ ЙУРПМШЪХС ЬМЕНЕОФЩ ri +2 , i = 1 2 : : : n ; 2. рП МЕННЕ 4 НБФТЙГБ RQ | УБНПУПРТСЦЕООБС, РПЬФПНХ ЕЕ ЧЕТИОЙК ФТЕХЗПМШОЙЛ РПМХЮБЕФУС ЙЪ
ОЙЦОЕЗП ФТБОУРПОЙТПЧБОЙЕН Й ЛПНРМЕЛУОЩН УПРТСЦЕОЙЕН.
ьФП ОБВМАДЕОЙЕ ЧУЕЗДБ ЙУРПМШЪХАФ РТЙ ТЕБМЙЪБГЙЙ QR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ, РПУЛПМШЛХ ПОП ОЕ ФПМШЛП ХУЛПТСЕФ ЧЩЮЙУМЕОЙС Й ЬЛПОПНЙФ РБНСФШ ьчн, ОП ПВЕУРЕЮЙЧБЕФ УПИТБОЕОЙЕ УБНПУПРТСЦЕООПУФЙ НБФТЙГЩ ЧОЕ ЪБЧЙУЙНПУФЙ ПФ ЧОПУЙНПК ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
128 |
|
2) рТЙ РТПЧЕДЕОЙЙ QR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ОЕФ ОЕПВИПДЙНПУФЙ ИТБОЙФШ ЧУЕ НБФТЙГЩ, УПУФБЧМСАЭЙЕ НБФТЙГХ Q, ДПУФБФПЮОП ИТБОЙФШ ФПМШЛП РПУМЕДОАА (Ф.Е. РПУМЕ k-ЗП ЫБЗБ РПУФТПЕОЙС QR- ТБЪМПЦЕОЙС ДПУФБФПЮОП РПНОЙФШ ФПМШЛП НБФТЙГХ Tkkt +1 ÉÌÉ Uk .
дЕКУФЧЙФЕМШОП, РПУМЕ РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГЩ A(k;1) |
(23) Л НБФТЙГЕ A(k) (24) × |
БМЗПТЙФНЕ ХЮБУФЧХЕФ ФПМШЛП РПДНБФТЙГБ (aij(k;1))i =k+1 |
Й УФПМВГЩ 1 2 : : : k × |
ДБМШОЕКЫЙИ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ ОЕ ЙЪНЕОСАФУС. рПЬФПНХ НПЦОП УТБЪХ ХНОПЦЙФШ A(k)
ОБ НБФТЙГХ Tkt;1 |
ÉÌÉ Uk;1 УРТБЧБ (ЬФП ЙЪНЕОСЕФ ФПМШЛП (k |
; |
1)-Ê É k -К УФПМВГЩ |
||||
НБФТЙГЩ A(k) ). оБ РПУМЕДОЕН ЫБЗЕ (k = n |
|
|
|
||||
; |
1) ОБДП ХНОПЦЙФШ ЕЭЕ Й ОБ НБФТЙГХ |
||||||
Tnt;1 |
ÉÌÉ Un;1 |
УРТБЧБ. |
|
|
|
|
|
÷ |
ТЕЪХМШФБФЕ |
ФБЛПЗП РТПГЕУУБ |
НБФТЙГБ |
Ak × QR-БМЗПТЙФНЕ ОБИПЦДЕОЙС |
|||
УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК УТБЪХ РЕТЕКДЕФ Ч НБФТЙГХ Ak+1 (ВЕЪ РПУФТПЕОЙС QR- ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak Ч СЧОПН ЧЙДЕ).
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ
QR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ДМС НЕФПДБ ЧТБЭЕОЙК
1)рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak = QkRK ФТЕВХЕФ 14n+O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 6n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2n + O(1) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
2)рПДУЮЙФБЕН ЪБФТБФЩ ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (10). фБЛ ЛБЛ ХНОПЦЕ-
ОЙЕ ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ R ОБ НБФТЙГХ Tit +1 УРТБЧБ ЙЪНЕОСЕФ ЕЕ i-Ê |
|
É i + 1 УФПМВГЩ, ЙНЕАЭЙЕ ОЕ ВПМЕЕ ФТЕИ ОЕОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ, ЙЪ |
ЛПФПТЩИ |
ПДЙО НЩ ОЕ ЧЩЮЙУМСЕН, ФП УПЗМБУОП МЕННЕ I.12.5 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 8 |
ХНОПЦЕ- |
ОЙК Й 4 УМПЦЕОЙС. уМЕДПЧБФЕМШОП, ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (10) ФТЕВХЕФУС
Pn;1 8 = 8(n;1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 4(n;1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
i=1
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ 22n+O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, 10n+O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2n + O(1) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ
QR-БМЗПТЙФНБ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ДМС НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК
1)уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ ОЕ ВПМЕЕ 15n НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, 9n БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2n ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
2)рПДУЮЙФБЕН ЪБФТБФЩ ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (21). фБЛ ЛБЛ ХНОПЦЕОЙЕ
ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ R ОБ НБФТЙГХ Ui УРТБЧБ ЙЪНЕОСЕФ ЕЕ i-Ê É i + 1 УФПМВГЩ, ЙНЕАЭЙЕ ОЕ ВПМЕЕ ФТЕИ ОЕОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ, ЙЪ ЛПФПТЩИ ПДЙО НЩ ОЕ ЧЩЮЙУМСЕН, ФП УПЗМБУОП МЕННЕ I.13.11 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 10 ХНОПЦЕОЙК Й 6
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x9. QR бмзптйфн |
129 |
|
УМПЦЕОЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС (21) ФТЕВХЕФУС Pni=1 10 = 10n НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 6n БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ 25n+O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, 15n+O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2n + O(1) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).
x 9.3. хУЛПТЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ
тБУУНПФТЙН УРПУПВЩ, РТЙНЕОСЕНЩЕ ДМС ХУЛПТЕОЙС УИПДЙНПУФЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ НБФТЙГ fAkg Л ДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЕ. лБЛ ПФНЕЮБМПУШ ЧЩЫЕ (УН. УФТ. 104), ЬФЙ УРПУПВЩ ЧП НОПЗПН УИПЦЙ УП УРПУПВБНЙ ХУЛПТЕОЙС УИПДЙНПУФЙ LR-БМЗПТЙФНБ Й БМЗПТЙФНБ иПМЕГЛПЗП. фБЛЦЕ УРТБЧЕДМЙЧЩ ЪБНЕЮБОЙС 7.3 Й 7.4.
рПУЛПМШЛХ QR-БМЗПТЙФН ОЙЛПЗДБ ОЕ РТЙНЕОСЕФУС ДМС НБФТЙГ РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ, ЧУАДХ ОЙЦЕ НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЙУИПДОБС НБФТЙГБ ХЦЕ РТЙЧЕДЕОБ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЙМЙ ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЮБМШОБС НБФТЙГБ A1 | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС (ЙМЙ ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС). рП ДПЛБЪБООПНХ ЧЩЫЕ ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОЩЕ (ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩЕ).
x 9.3.1. йУЮЕТРЩЧБОЙЕ НБФТЙГЩ
йДЕС ЙУЮЕТРЩЧБОЙС НБФТЙГЩ ДМС QR-БМЗПТЙФНБ ФБ ЦЕ, ЮФП Й ДМС LR- БМЗПТЙФНБ (УН. УФТ. 105).
x 9.3.2. уДЧЙЗЙ
йДЕС ЙУРПМШЪПЧБОЙС УДЧЙЗПЧ ДМС QR-БМЗПТЙФНБ ФБ ЦЕ, ЮФП Й ДМС LR- БМЗПТЙФНБ (УН. УФТ. 106). нПДЙЖЙГЙТПЧБООЩК QR-БМЗПТЙФН, ПУОПЧБООЩК ОБ ЬФПК ЙДЕЕ, ЧЩЗМСДЙФ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН.
вХДЕН УФТПЙФШ ДМС НБФТЙГЩ A 2 Mn РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ fAkg НБФТЙГ Ak 2 Mn РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН:
1)A1 = AS
2)ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak+1 РПМХЮБЕФУС ЙЪ НБФТЙГЩ Ak УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Б) ПРТЕДЕМСЕН ФТЕВХЕНЩК УДЧЙЗ sk (ЕЗП ПРФЙНБМШОЩК ЧЩВПТ { ПФДЕМШОБС ЪБДБЮБ),
В) УФТПЙН QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak ; skI : Ak ; skI = QkRk ,
Ч) ЧЩЮЙУМСЕН НБФТЙГХ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ Rk É Qk ÐÌÀÓ skI : Ak+1 = RkLk + skI .
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x10. нефпд пвтбфопк йфетбгйй |
130 |
|
|
||
оЕФТХДОП РТПЧЕТЙФШ, ЮФП НБФТЙГБ Ak+1 |
(ХОЙФБТОП) РПДПВОБ Ak : Ak+1 = |
|
RkQk + skI = (Q;k |
1Qk)(RkQk + skI) = Qk;1(QkRk)Qk + skQkI = Qk;1(QkRk + |
|
skI)Qk = Qk;1AkQk |
Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : ЙНЕАФ ФЕ ЦЕ |
|
УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС, ЮФП Й НБФТЙГБ A. |
|
|
x 9.3.3. рТБЛФЙЮЕУЛБС ПТЗБОЙЪБГЙС ЧЩЮЙУМЕОЙК Ч QR БМЗПТЙФНЕ
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ПРТЕДЕМЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A 2 Mn У ФПЮОПУФША ".
чОБЮБМЕ РТЙЧПДЙН НБФТЙГХ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ A1 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15.
ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A1 РТЙНЕОСЕН QR-БМЗПТЙФН УП УДЧЙЗБНЙ. оБ ЫБЗЕ k ×
ЛБЮЕУФЧЕ УДЧЙЗБ sk ЧПЪШНЕН a(nnk) , Ô.Å. sk = a(nnk) . рПУЛПМШЛХ a(nnk) ! n , ÔÏ sk СЧМСЕФУС РТЙВМЙЦЕОЙЕН Л n Й УЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ Л ОХМА ЬМЕНЕОФБ a(nk) ;1 ВХДЕФ ПЮЕОШ ЧЩУПЛПК. лБЛ ФПМШЛП ОБ ОЕЛПФПТПН ЫБЗЕ k ВХДЕФ ЧЩРПМОЕОП ХУМПЧЙЕ ja(nk) ;1j < "kAk1 , Ч ЛБЮЕУФЧЕ n ВЕТЕН a(nnk) Й РТЙНЕОСЕН БМЗПТЙФН Л РПДНБФТЙГЕ (aij)i =1 2 ;1 2 Mn;1 ОБ 1 НЕОШЫЕК ТБЪНЕТОПУФЙ. фБЛ РПУФХРБЕН ДП ФЕИ РПТ, РПЛБ ТБЪНЕТОПУФШ НБФТЙГЩ ОЕ УФБОЕФ ТБЧОПК 2. дМС ЬФПК НБФТЙГЩ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ПРТЕДЕМСАФУС ЛБЛ ТЕЫЕОЙС УППФЧЕФУФЧХАЭЕЗП ЛЧБДТБФОПЗП ХТБЧОЕОЙС.
x 10. нефпд пвтбфопк йфетбгйй обипцдеойс упвуфчеоощи челфптпч
нЕФПД ПВТБФОПК ЙФЕТБГЙЙ РПЪЧПМСЕФ ОБКФЙ УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ, УППФЧЕФУФЧХ- АЭЙК ПДОПЛТБФОПНХ УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА ДЙБЗПОБМЙЪЙТХЕНПК НБФТЙГЩ A 2 Mn , ЕУМЙ ЙЪЧЕУФОП ДПУФБФПЮОП ИПТПЫЕЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ b Л УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА .
фЕПТЕНБ 1 (нЕФПД ПВТБФОПК ЙФЕТБГЙЙ). рХУФШ НБФТЙГБ A 2 Mn ÉÍÅ-
ЕФ РПМОХА УЙУФЕНХ ПТФПОПТНЙТПЧБООЩИ УПВУФЧЕООЩИ ЧЕЛФПТПЧ ei , i = 1 : : : n: Aei = iei , (ei ej) = ij , РТЙЮЕН УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ m , m = 1 2 : : : n ÏÄÎÏ-
ЛТБФОПЕ. рХУФШ m |
= m { ДПУФБФПЮОП ИПТПЫЕЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ Л m : |
|||||||||||||||||
b |
6 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
i |
|
; |
bm |
|
= q < 1: |
|
|
(1) |
||||||
|
|
i=1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i6=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(0) |
|
|
n |
|
; b |
|
|
|
(0) |
em) 6= 0, ЙФЕТБГЙПООЩК |
||||||
фПЗДБ ДМС ЧУСЛПЗП ЧЕЛФПТБ x |
2 C |
ФБЛПЗП, ЮФП (x |
|
|||||||||||||||
РТПГЕУУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k+1) |
; |
ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС (A |
; |
mI)x(k+1) |
= x(k) |
|||||||||||||
|
|
|
|
(k+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
em(k+1) = |
|
|
x |
|
|
|
|
|
k =b0 1 : : : |
|||||||
|
|
|
kx(k+1)k |
|
|
|
||||||||||||
УИПДЙФУС Л УПВУФЧЕООПНХ ЧЕЛФПТХ em |
(У ФПЮОПУФША ДП РПУФПСООПЗП НОПЦЙ- |
|||||||||||||||||
ÔÅÌÑ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
em(k) ! ei'em |
|
|
ÐÒÉ k ! 1 |
|
|
|
||||||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x10. нефпд пвтбфопк йфетбгйй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(ÇÄÅ ei' |
{ ЮЙУМП, РП НПДХМА ТБЧОПЕ 1). рТЙ ЬФПН УХЭЕУФЧХЕФ ФБЛПЕ k0 > 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ k k0 ЧЩРПМОЕОП ОЕТБЧЕОУФЧП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kem(k) ; ei'emk Cqk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||
ЗДЕ РПУФПСООБС C ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рПУЛПМШЛХ ЧЕЛФПТБ |
|
e1 : : : en |
|
ПВТБЪХАФ ВБЪЙУ Ч Cn , ÔÏ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(0) = n |
ciei , РТЙЮЕН РП ХУМПЧЙА cm = (x(0) em) = 0. рПУЛПМШЛХ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k+1) = (A |
|
|
|
mI);1x(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ÔÏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k+1) = (A |
|
; mI);kx(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
фБЛ ЛБЛ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ |
|
A |
; |
mI ТБЧОЩ i |
; |
m , i = 1 2 : : : n, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ФП УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ (A |
|
|
|
b |
;1 |
|
|
ÅÓÔØ ( i |
|
|
|
|
|
;1 |
, i = 1 2 : : : n, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
mI) |
b |
|
|
; |
|
m) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Б НБФТЙГЩ (A |
|
|
mI) |
;1 |
|
| ( i |
|
|
m) |
;k; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
; |
|
|
|
; |
|
, |
i = 1 |
2 : : : n. уМЕДПЧБФЕМШОП, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
ciei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x(k) = (A ; mI);k i=1 ciei = i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
( i |
|
; |
m)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
b cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0em |
+ i=1 |
|
|
ei |
|
|
|
; m |
! 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( m |
|
|
|
|
m)k |
cm |
|
i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
b |
|
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=6 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ч УЙМХ ПТФПОПТНЙТПЧБООПУФЙ ВБЪЙУБ feig |
b |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
2k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
kx(k)k2 = (x(k) x(k)) = |
( m m)2k |
|
0jcmj2 + i=1 |
|
jcij2 |
|
i |
|
; m ! 1 : |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
b |
|
|
C |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=6 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||
ч УЙМХ (1) Й ТБЧЕОУФЧБ kx(0)k2 = i=1 jcij2 |
РПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
1=2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jcmj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jcmj |
|
|
|
|
|
1 + kx(0)k2 q2k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( m |
|
|
|
|
x(k) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m)k k |
|
|
( m |
|
|
|
|
m)k |
|
|
|
|
|
|
jcmj2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ÉÌÉ |
|
|
|
|
|
|
|
; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
;1=2 |
|
|
; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + kx(0)k2 q2k |
! |
|
|
|
|
|
|
jcmj |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jcmj2 |
|
|
|
|
|
|
|
m)k kx(k)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
чЩЮЙУМЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x(k) |
|
cm |
|
|
|
|
= |
|
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cm |
|
! em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
; |
|
em |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
kx(k)k |
jcmj |
( m ; m)k |
kx(k)k |
jcmj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
cm |
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
m |
|
m |
! : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i=1 |
|
x(k) |
k |
|
|
( m m)k |
|
cm |
ei |
|
i |
|
; m |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X k |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
b |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i6=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x10. нефпд пвтбфопк йфетбгйй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132 |
||||||||||||||||||||
|
|
= 1 2 : : : n, ПВПЪОБЮЙЧ ei' = cm=jcmj, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ч УЙМХ (1), (2) Й ТБЧЕОУФЧ |
keik = 1, i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОБИПДЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + kx(0)k2 q2k |
! |
;1=2 |
|
|
|
|
|
n |
jcij |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e(k) |
; |
ei'em |
|
|
@ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
+ |
qk : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=6 m |
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
X j |
j |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ôÁË ËÁË |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
X |
jcij p |
|
X |
jcij2! |
= p |
|
|
|
kx(0)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
n |
i=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÔÏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
;1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + kx(0)k2 q2k |
|
|
|
|
|
+ p |
|
kx(0)k qk |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e(k) |
|
ei'em |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
; |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
j |
cm |
j |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
cm |
j |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ч УЙМХ (1) ОБКДЕФУС k0 |
> 0, ФБЛПЕ, ЮФП ДМС ЧУЕИ |
|
k |
|
|
|
k0 |
ЧЩРПМОЕОП |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kx |
(0) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k q2k < 1. фПЗДБ (1 |
; |
);1=2 |
|
1 |
; |
=2 É 1 |
|
; |
(1 |
|
; |
);1=2 |
|
=2 |
|
1=2=2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jcmj2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
рПЬФПНХ ДМС ЧУЕИ |
k k0 УРТБЧЕДМЙЧП ОЕТБЧЕОУФЧП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
i' |
em kjcmjk(1=2 + |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
em |
; e |
|
|
|
|
|
n) q |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ьФП ОЕТБЧЕОУФЧП СЧМСЕФУС ФТЕВХЕНПК ПГЕОЛПК (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
133
ртпзтбннб лхтуб
1.нБФТЙЮОЩЕ ОПТНЩ. рПДЮЙОЕОЩЕ НБФТЙЮОЩЕ ОПТНЩ.
2.нБЛУЙНБМШОБС УФТПЮОБС Й НБЛУЙНБМШОБС УФПМВГПЧБС ОПТНЩ. йИ РПДЮЙОЕООПУФШ.
3.уРЕЛФТБМШОБС ОПТНБ Й ЕЕ УЧПКУФЧБ. уРЕЛФТБМШОЩК ТБДЙХУ Й ЕЗП УЧПКУФЧБ.
4.пВТБФЙНПУФШ НБФТЙГЩ, ВМЙЪЛПК Л ПВТБФЙНПК (ФЕПТЕНБ вБОБИБ).
5.пГЕОЛБ ПФОПУЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ ЮЕТЕЪ ПФОПУЙФЕМШОЩЕ РПЗТЕЫОПУФЙ Ч НБФТЙГЕ УЙУФЕНЩ Й Ч РТБЧПК ЮБУФЙ. юЙУМП ПВХУМПЧМЕООПУФЙ.
6.пГЕОЛБ ПФОПУЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ ЮЕТЕЪ ОЕ- ЧСЪЛХ. уЧПКУФЧБ ЮЙУМБ ПВХУМПЧМЕООПУФЙ.
7.нЕФПД зБХУУБ. пГЕОЛБ ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.
8.рТЕДУФБЧМЕОЙЕ НЕФПДБ зБХУУБ Ч ЧЙДЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЬМЕНЕОФБТОЩИ РТЕПВТБЪПЧБОЙК. LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ.
9.бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС. пГЕОЛБ ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.
10.лТЙФЕТЙК ПУХЭЕУФЧЙНПУФЙ НЕФПДБ зБХУУБ.
11.нЕФПД зБХУУБ ДМС МЕОФПЮОЩИ НБФТЙГ. пГЕОЛБ ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.
12.бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ. пГЕОЛБ ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК. пТЗБОЙЪБГЙС ИТБОЕОЙС НБФТЙГ Ч РБНСФЙ ьчн.
13.нЕФПД РТПЗПОЛЙ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ. пГЕОЛБ ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК. пТЗБОЙЪБГЙС ИТБОЕОЙС НБФТЙГ Ч РБНСФЙ ьчн.
14.ъБДБЮБ ПВТБЭЕОЙС НБФТЙГЩ. пВТБЭЕОЙЕ НБФТЙГЩ У РПНПЭША LU -ТБЪМПЦЕ- ОЙС. пГЕОЛБ ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
рТПЗТБННБ ЛХТУБ |