Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22]
.pdf
x7. LR бмзптйфн |
104 |
|
бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ R É L
рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ A = RL, ÇÄÅ R É L ЙНЕАФ ЧЙД (5), НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩ- ЮЙУМЕОП ЪОБЮЙФЕМШОП ВЩУФТЕЕ, ЮЕН РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ РТПЙЪЧПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ. рП ПРТЕДЕМЕОЙА РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ
2 |
aii = rii + ri +1li+1 |
i = 1 2 : : : n |
; |
1 |
|
ai +1 = ri +1 |
i = 1 2 : : : n |
1 |
(8) |
||
4 |
ai ;1 = riili ;1 |
i = 2 3 : : : n |
; |
|
|
6 |
ann = rnn |
|
|
|
|
чЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС A = RL РП ЬФЙН ЖПТНХМБН ФТЕВХЕФ 2n+O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ LR-БМЗПТЙФНБ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
1) рПУФТПЕОЙЕ LR-ТБЪМПЦЕОЙС НБФТЙГЩ Ak = LkRK РП ЖПТНХМБН (6) ФТЕВХЕФ 3n + O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
2) чЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС Ak+1 = RkLk РП ЖПТНХМБН (7) ФТЕВХЕФ 2n + O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ 5n + O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й 2n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 7.3. хУЛПТЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ
тБУУНПФТЙН УРПУПВЩ, РТЙНЕОСЕНЩЕ ДМС ХУЛПТЕОЙС УИПДЙНПУФЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ НБФТЙГ fAkg Л ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЕ. ьФЙ УРПУПВЩ ПДЙОБЛПЧЩ ЛБЛ ДМС LR-БМЗПТЙФНБ, ФБЛ Й ДМС ТБУУНБФТЙЧБЕНЩИ ОЙЦЕ БМЗПТЙФНБ иПМЕГЛПЗП Й QR- БМЗПТЙФНБ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК. рПУЛПМШЛХ ЧУЕ ЬФЙ БМЗПТЙФНЩ ОЙЛПЗДБ ОЕ РТЙНЕОСАФУС ДМС НБФТЙГ РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ, ЧУАДХ ОЙЦЕ НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЙУИПДОБС НБФТЙГБ ХЦЕ РТЙЧЕДЕОБ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЙМЙ ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЮБМШОБС НБФТЙГБ A1 | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС (ЙМЙ ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС). рП ДПЛБЪБООПНХ ЧЩЫЕ ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak | РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОЩЕ (ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩЕ).
ъБНЕЮБОЙЕ 3. пРЙУБООЩЕ ОЙЦЕ РТЙЕНЩ ОЕ ФПМШЛП ХУЛПТСАФ УИПДЙНПУФШ БМЗПТЙФНПЧ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК, ОП Й ТБУЫЙТСАФ НОПЦЕУФЧП НБФТЙГ, ДМС ЛПФПТЩИ ПОЙ УИПДСФУС. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, РТЙ ЙУРПМШЪПЧБОЙЙ ЬФЙИ РТЙЕНПЧ БМЗПТЙФНЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ЮБУФП ТБВПФБАФ ДМС НБФТЙГ, ДМС ЛПФПТЩИ ОЕ ЧЩРПМОЕОЩ ХУМПЧЙС РТЙЧЕДЕООЩИ ФЕПТЕН П УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНПЧ.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
105 |
|
ъБНЕЮБОЙЕ 4. вЕЪ ЙУРПМШЪПЧБОЙС ПРЙУБООЩИ ОЙЦЕ РТЙЕНПЧ УЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНПЧ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ПЛБЪЩЧБЕФУС ЧЕУШНБ ОЙЪЛПК, Б НОПЦЕУФЧП НБФТЙГ, ДМС ЛПФПТЩИ ПОЙ РТЙНЕОЙНЩ, ДПУФБФПЮОП ХЪЛЙН. рПЬФПНХ ЬФЙ РТЙЕНЩ ЧУЕЗДБ РТЙНЕОСАФУС РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ РП ЬФЙН БМЗПТЙФНБН.
x 7.3.1. йУЮЕТРЩЧБОЙЕ НБФТЙГЩ
îÁ k -ПН ЫБЗЕ НБФТЙГБ Ak ЙНЕЕФ ЧЙД
a11(k) a12(k) : : : a1(k) |
|||
0 a(k) |
a(k) |
: : : a(k) |
|
21 |
22 |
|
2 |
|
a32(k) ... |
. |
|
Ak = |
|
... |
ai(k) |
|
|
ai(+1k) |
|
|
|
|
|
B
@
: : : |
a1(k);2 |
a1(k) |
;1 |
a1(kn) |
||||
: : : |
a2(k);2 |
a2(k) |
;1 |
a2(kn) |
||||
: : : |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
: : : |
ai(k);2 |
a(ik);1 |
ai(k) |
|||||
... |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
... |
an(k;) |
2 |
;2 an(k;) |
2 |
;1 an(k;) |
2 |
||
|
an(k;) |
1 |
;2 an(k;) |
1 |
;1 an(k;) |
1 |
||
|
|
|
|
a(nk) |
;1 |
ann(k) |
||
1
C
A
еУМЙ ДМС ОЕЛПФПТПЗП i, i = 1 2 : : : n ; 1 ЧЩРПМОЕОП ХУМПЧЙЕ ja(i+1k) j < "kAkk1 , ÇÄÅ " | ФПЮОПУФШ, У ЛПФПТПК ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС, ФП РПМБЗБЕН
a(i+1k) = 0. рПУЛПМШЛХ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС СЧМСАФУС ОЕРТЕТЩЧОЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ, ФП УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ Ak ЙЪНЕОСФУС РТЙ ЬФПК ЪБНЕОЕ ОБ ЧЕМЙЮЙОХ РПТСДЛБ ". оПЧБС НБФТЙГБ Ak ЙНЕЕФ ВМПЮОХА УФТХЛФХТХ:
a11(k) a12(k) : : : a1(k) |
||
0 a(k) |
a(k) |
: : : a(k) |
21 |
22 |
2 |
|
a32(k) ... . |
|
|
|
... a(ik) |
Ak = |
|
0 |
B
@
a(1k)+1 a(2k)+1
.
a(ik)+1 a(k)
i+1 +1
a(k)
i+2 +1
: : : |
a1(k) |
;2 |
a1(k) |
;1 |
a1(kn) |
|||
: : : |
a2(k) |
;2 |
a2(k) |
;1 |
a2(kn) |
|||
: : : |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
: : : |
ai(k);2 |
ai(k);1 |
ai(k) |
|||||
: : : a(i+1k) |
;2 a(i+1k) |
;1 ai(+1k) |
||||||
... |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
... |
a(nk;) |
2 ;2 an(k;) |
2 |
;1 an(k;) |
2 |
|||
|
a(nk;) |
1 ;2 an(k;) |
1 |
;1 an(k;) |
1 |
|||
|
|
|
|
an(k) |
;1 |
ann(k) |
||
1
C
A
Й ЕЕ НОПЦЕУФЧП УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ТБЧОП ПВЯЕДЙОЕОЙА НОПЦЕУФЧ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК РПДНБФТЙГ (a(jlk))j =1 2 2 Mi É (a(jlk))j =i+1 +2 2 Mn;i . уМЕДП- ЧБФЕМШОП, НПЦОП РТЙНЕОЙФШ БМЗПТЙФН Л ЛБЦДПК ЙЪ ЬФЙИ РПДНБФТЙГ РП ПФДЕМШ-
ОПУФЙ.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x7. LR бмзптйфн |
106 |
|
юБУФП ДМС ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОЩИ ЪБФТБФ ЧНЕУФП ХУМПЧЙС jai(+1k) j < |
|||||||||||
"kAkk1 ЙУРПМШЪХАФ ХУМПЧЙЕ jai(+1k) j < "kA1k1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 7.3.2. |
уДЧЙЗЙ |
|
|
|
|
|
|
|
дМС НБФТЙГЩ A |
; |
I УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ТБЧОЩ i |
; |
, i { УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
Ë ÎÕ- |
|||
ЮЕОЙС НБФТЙГЩ A. уЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ РПДДЙБЗПОБМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ ai+1 |
|||||||||||
МА ДМС ЬФПК НБФТЙГЩ РП ФЕПТЕНЕ П УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ ЕУФШ O 0 |
i+1 ; k1. |
||||||||||
еУМЙ ВМЙЪЛП Л |
|
|
, ФП УЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ ЬМЕНЕОФБ a |
(k) |
@ |
i ; |
|
A |
|||
|
|
i+1 |
Л ОХМА ВХДЕФ ПЮЕОШ |
||||||||
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЧЩУПЛПК. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нПДЙЖЙГЙТПЧБООЩК LR-БМЗПТЙФН, ПУОПЧБООЩК ОБ ЬФПК ЙДЕЕ, ЧЩЗМСДЙФ УМЕ- |
|||||||||||
ДХАЭЙН ПВТБЪПН. |
|
|
|
РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ fAkg НБФТЙГ Ak 2 |
|||||||
вХДЕН УФТПЙФШ ДМС НБФТЙГЩ A 2 Mn |
|||||||||||
Mn РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1)A1 = AS
2)ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak+1 РПМХЮБЕФУС ЙЪ НБФТЙГЩ Ak УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Б) ПРТЕДЕМСЕН ФТЕВХЕНЩК УДЧЙЗ sk (ЕЗП ПРФЙНБМШОЩК ЧЩВПТ { ПФДЕМШОБС ЪБДБЮБ),
В) УФТПЙН LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak ; skI : Ak ; skI = LkRk ,
Ч) ЧЩЮЙУМСЕН НБФТЙГХ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ Rk É Lk ÐÌÀÓ skI :
Ak+1 = RkLk + skI .
ъДЕУШ НЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП ДМС ЛБЦДПЗП k = 1 2 : : : LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak ;skI УХЭЕУФЧХЕФ, Ф.Е. ДМС ОЕЕ ЧЩРПМОЕОЩ ХУМПЧЙС ФЕПТЕНЩ 1. еУМЙ ЬФП ОЕ ФБЛ, ФП ОБДП ЙЪНЕОЙФШ ЪОБЮЕОЙЕ УДЧЙЗБ sk . оБ РТБЛФЙЛЕ ХУМПЧЙС ФЕПТЕНЩ 1 ОЕ РТП- ЧЕТСАФ, Б ЧЩРПМОСАФ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС. еУМЙ Ч БМЗПТЙФНЕ ФТЕВХЕФУС ПУХЭЕУФЧЙФШ ДЕМЕОЙЕ ОБ 0, ФП ОЕНОПЗП ЙЪНЕОСАФ ЪОБЮЕОЙЕ УДЧЙЗБ sk Й ЪБОПЧП ЧЩРПМОСАФ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС.
оЕФТХДОП РТПЧЕТЙФШ, ЮФП НБФТЙГБ Ak+1 РПДПВОБ Ak : Ak+1 = RkLk + skI = (L;k 1Lk)(RkLk + skI) = L;k 1(LkRk)Lk + skLkI = L;k 1(LkRk + skI)Lk = L;k 1AkLk Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : ЙНЕАФ ФЕ ЦЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС,
ЮФП Й НБФТЙГБ A.
x 7.3.3. рТБЛФЙЮЕУЛБС ПТЗБОЙЪБГЙС ЧЩЮЙУМЕОЙК Ч LR БМЗПТЙФНЕ
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ПРТЕДЕМЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A 2 Mn У ФПЮОПУФША ".
чОБЮБМЕ РТЙЧПДЙН НБФТЙГХ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ A1 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x8. нефпд ипмеглпзп |
107 |
|
ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A1 РТЙНЕОСЕН LR-БМЗПТЙФН УП УДЧЙЗБНЙ. оБ ЫБЗЕ k ×
ЛБЮЕУФЧЕ УДЧЙЗБ sk ЧПЪШНЕН a(nnk) , Ô.Å. sk = a(nnk) . рПУЛПМШЛХ a(nnk) ! n , ÔÏ sk СЧМСЕФУС РТЙВМЙЦЕОЙЕН Л n Й УЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ Л ОХМА ЬМЕНЕОФБ a(nk) ;1 ВХДЕФ ПЮЕОШ ЧЩУПЛПК. лБЛ ФПМШЛП ОБ ОЕЛПФПТПН ЫБЗЕ k ВХДЕФ ЧЩРПМОЕОП ХУМПЧЙЕ ja(nk) ;1j < "kAk1 , Ч ЛБЮЕУФЧЕ n ВЕТЕН a(nnk) Й РТЙНЕОСЕН БМЗПТЙФН Л РПДНБФТЙГЕ (aij)i =1 2 ;1 2 Mn;1 ОБ 1 НЕОШЫЕК ТБЪНЕТОПУФЙ. фБЛ РПУФХРБЕН ДП ФЕИ РПТ, РПЛБ ТБЪНЕТОПУФШ НБФТЙГЩ ОЕ УФБОЕФ ТБЧОПК 2. дМС ЬФПК НБФТЙГЩ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ПРТЕДЕМСАФУС ЛБЛ ТЕЫЕОЙС УППФЧЕФУФЧХАЭЕЗП ЛЧБДТБФОПЗП ХТБЧОЕОЙС.
x 8. нефпд ипмеглпзп
нЕФПД иПМЕГЛПЗП РПЪЧПМСЕФ ОБИПДЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС УБНПУПРТСЦЕООПК РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООПК НБФТЙГЩ A 2 Mn ЪБ ЧДЧПЕ НЕОШЫЕЕ ЛПМЙЮЕУФЧП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ЮЕН LR-БМЗПТЙФН.
x 8.1. тБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП, ЙУРПМШЪХЕНПЕ Ч НЕФПДЕ иПМЕГЛПЗП
фЕПТЕНБ 1. (п ТБЪМПЦЕОЙЙ иПМЕГЛПЗП) еУМЙ НБФТЙГБ A = A > 0 | УБНПУПРТСЦЕООБС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООБС, ФП ПОБ ДПРХУЛБЕФ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ A = LL , ЗДЕ НБФТЙГБ L | ОЙЦОСС ФТЕХЗПМШОБС c ЧЕЭЕУФЧЕООЩНЙ РПМПЦЙФЕМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. уПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ I.10.1 Й ЪБНЕЮБОЙСН I.10.2, I.10.3 НБФТЙГБ A ДПРХУЛБЕФ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ Ч ЧЙДЕ A = R R, ÇÄÅ R | ЧЕТИОСС ФТЕХЗПМШОБС НБФТЙГБ c ЧЕЭЕУФЧЕООЩНЙ РПМПЦЙФЕМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. рПМПЦЙН L = R 2 LT(n). фПЗДБ A = LL Й НБФТЙГБ L | ОЙЦОСС ФТЕХЗПМШОБС c ЧЕЭЕУФЧЕООЩНЙ РПМПЦЙФЕМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ.
x 8.1.1. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП ДМС РТПЙЪЧПМШОПК УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ A 2 Mn ПЮЕОШ РПИПЦ ОБ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП, ЙУРПМШЪХЕНПЗП Ч НЕФПДЕ иПМЕГЛПЗП ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН У УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЕК (УН. УФТ. 36).
рХУФШ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ A = (aij) (A = A, Ô.Å. aij = aji ) ФТЕВХЕФУС ОБКФЙ ОЙЦОАА ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ L = (lij) c ЧЕЭЕУФЧЕООЩНЙ РПМПЦЙФЕМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ (lii > 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = 1 : : : n), ФБЛХА, ЮФП A = LL , Ô.Å.
n
X likljk = aij i j = 1 : : : n: (1)
k=1
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x8. нефпд ипмеглпзп |
108 |
|
рПУЛПМШЛХ НБФТЙГЩ A É LL { УБНПУПРТСЦЕООЩЕ, ФП ХТБЧОЕОЙЕ У ОПНЕТПН (j i) РПМХЮБЕФУС ЙЪ ХТБЧОЕОЙС У ОПНЕТПН (i j) РХФЕН ЛПНРМЕЛУОПЗП УПРТСЦЕОЙС Й ОЕ ДБЕФ ОЙЮЕЗП ОПЧПЗП. рПЬФПНХ УЙУФЕНБ (1) ЬЛЧЙЧБМЕОФОБ УЙУФЕНЕ
n |
|
|
|
|
X |
lik |
|
= aij i j i j = 1 : : : n: |
(2) |
|
ljk |
|||
k=1 |
|
|
|
|
фБЛЙН ПВТБЪПН, (2) РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК УЙУФЕНХ ЙЪ n(n + 1)=2 ХТБЧОЕОЙК У n(n + 1)=2 ОЕЙЪЧЕУФОЩНЙ lij , i j (ОБРПНОЙН, L 2 LT(n) É lij = 0 ÐÒÉ i < j , ÐÒÉ ÜÔÏÍ lkk > 0). рПМХЮЙН ЖПТНХМЩ ДМС ТЕЫЕОЙС УЙУФЕНЩ (2), ЛПФПТЩЕ Й УПУФБЧМСАФ БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП.
рЕТЕРЙЫЕН (2) Ч ЧЙДЕ
i |
|
|
|
n |
|
|
|
|
X |
lik |
|
+ |
X |
lik |
|
= aij i j i j = 1 : : : n: |
(3) |
|
ljk |
|
ljk |
|||||
k=1 |
|
|
|
k=i+1 |
|
|
|
|
рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ L { ОЙЦОСС ФТЕХЗПМШОБС, ФП lik = 0 ÐÒÉ i < k Й ЧФПТБС ЙЪ УХНН Ч (3) ТБЧОБ ОХМА. уМЕДПЧБФЕМШОП, УЙУФЕНБ (2) ЬЛЧЙЧБМЕОФОБ УМЕДХАЭЕК
likljk + liilji = aij i j i j = 1 : : : n
(ЪДЕУШ УЮЙФБЕФУС, ЮФП УХННБ ЧЙДБ Pi;1 ТБЧОБ ОХМА, ЕУМЙ ЧЕТИОЙК РТЕДЕМ УХН-
k=1
НЙТПЧБОЙС НЕОШЫЕ ОЙЦОЕЗПS ЬФП РПЪЧПМСЕФ ОЕ ТБУУНБФТЙЧБФШ ПФДЕМШОП УМХЮБК i = 1). рТЙНЕОЙН Л ЬФЙН ХТБЧОЕОЙСН ЛПНРМЕЛУОПЕ УПРТСЦЕОЙЕ Й ХЮФЕН, ЮФП aij = aji É lii { ЧЕЭЕУФЧЕООЩК ЬМЕНЕОФ:
i;1
X likljk + liilji = aji k=1
чЩДЕМЙН Ч ЪДЕУШ ПФДЕМШОП УМХЮБК i = j :
2 lii2 |
i;1 |
|||
P |
||||
= aii ; k=1 jlikj2 |
||||
4 |
|
i;1 |
|
|
|
P |
|||
6 |
liilji |
= aji ; k=1 likljk |
||
пФУАДБ РПМХЮБЕН ТБУЮЕФОЩЕ ЖПТНХМЩ:
ij i j = 1 : : : n
i = 1 : : : n
i < j i j = 1 : : : n
|
i;1 |
|
|
||
|
P |
|
|
||
2 lii = saii ; k=1 jlikj2 |
i = 1 : : : n |
(4) |
|||
6 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|||
4 |
|
|
|||
|
i;1 |
|
|
||
|
lji = (aji ; k=1 likljk)=lii |
i < j i j = 1 : : : n: |
|
||
рТПГЕУУ ЧЩЮЙУМЕОЙК РП ЬФЙН ЖПТНХМБН УФТПЙФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: ЧОБЮБМЕ ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ РЕТЧПЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ L:
l11 = pa11 lj1 = aj1=l11 j = 2 : : : nS
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x8. нефпд ипмеглпзп |
109 |
|
РПФПН РП ЖПТНХМБН (4) РТЙ i = 2 ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ЧФПТПЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ L:
l22 = qa22 ; jl21j2
lj2 = (aj2 ; l21lj1)=l22 j = 3 : : : nS
ЪБФЕН РП ЖПТНХМБН (4) РТЙ i = 3 ЧЩЮЙУМСАФУС ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ФТЕФШЕЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ L Й ФБЛ ДБМЕЕ.
ъБНЕЮБОЙЕ 1. пТЗБОЙЪБГЙС ИТБОЕОЙС НÁÔÒÉÃ A É L Ч РБНСФЙ. рПУЛПМШЛХ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ aji = aij , ФП НПЦОП ЧНЕУФП ЧУЕК НБФТЙГЩ A ИТБОЙФШ ФПМШЛП ЕЕ ОЙЦОЙК ФТЕХЗПМШОЙЛ: aij i j i j = 1 : : : n. жПТНХМЩ (4) ФБЛПЧЩ, ЮФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ ЬМЕНЕОФБ lji ЙУРПМШЪХАФУС ЪОБЮЕОЙС ЬМЕНЕОФБ aji Й ЧЩЮЙУМЕООЩИ ТБОЕЕ ЬМЕНЕОФПЧ lmk , k < i. ьФП РПЪЧПМСЕФ ИТБОЙФШ ОЙЦОАА ФТЕХЗПМШОХА НБФТЙГХ L ОБ НЕУФЕ ОЙЦОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ A:
= 1 : : : n.
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП
|
чЩЮЙУМЕОЙЕ ЬМЕНЕОФБ lii |
РП ЖПТНХМБН (4) ФТЕВХЕФ ПДОПК ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС |
||||||||||||||||||||||||||||||
ЛПТОС Й i |
; |
1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. рТЙ |
||||||||||||||||||||||||||||||
ЖЙЛУЙТПЧБООПН i = 1 : : : n |
|
|
ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЬМЕНЕОФПЧ lji ÄÌÑ ×ÓÅÈ j = i + 1 : : : n |
|||||||||||||||||||||||||||||
РП ЖПТНХМБН (4) ФТЕВХЕФ 1+ |
|
|
n |
(i |
; |
1) = (n |
; |
i)(i |
; |
1)+1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й |
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
(i |
|
1) = (n |
|
i)(i |
|
|
|
|
|
j=i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
; |
; |
; |
1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧЩЮЙУМЕОЙЕ |
||||||||||||||||||||||||||
j=i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС, |
|
n |
|
||||||||||||
PЧУЕИ ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ L |
|
|
ФТЕВХЕФ n |
|
|
i=1((n |
||||||||||||||||||||||||||
i)(i |
; |
1) + (i |
; |
1) + 1) = n3=6 + O(n2) (n |
! 1 |
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й |
|
n |
((n ; |
|||||||||||||||||||||||
i)(i |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
=6 + |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi=1 |
; |
|||||||||
; |
1) + (i |
; |
1)) = n |
O(n ) (n |
|
! 1 |
) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК (РПДТПВОПЕ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|||||
ЧЩЮЙУМЕОЙЕ УН. РТЙ РПДУЮЕФЕ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДМС НЕФПДБ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
иПМЕГЛПЗП ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 8.1.2. |
|
|
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП ДМС |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
тБУУНПФТЙН УМХЮБК, ЛПЗДБ УБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ A 2 Mn Ч РТЙЧЕДЕООПН |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ЧЩЫЕ БМЗПТЙФНЕ ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ ЧЩФЕ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ЛБЕФ, ЮФП НБФТЙГБ L Ч ТБЪМПЦЕОЙЙ иПМЕГЛПЗП A = LL ВХДЕФ ДЧХИДЙБЗПОБМШОПК: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
l11 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
0 a21 |
|
a22 |
|
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 l21 |
l22 |
|
|
|||||||||||
A = |
B |
|
|
|
a32 |
|
a33 ... |
|
|
|
|
|
C |
|
L = |
B |
|
l32 l33 |
|
C |
: (5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
an;1 |
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an ;1 |
|
ann |
|
|
|
|
|
|
ln ;1 lnn |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
|||||||||||||||||||
x8. нефпд ипмеглпзп |
|
110 |
|||
|
|
||||
жПТНХМЩ (4), УМЕДПЧБФЕМШОП, РТЙНХФ ЧЙД |
|
|
|||
|
= q |
|
|
i = 1 : : : n |
|
lii |
aii ; jli ;1j2 |
(6) |
|||
" li+1 |
= ai+1 =lii |
i = 1 : : : n ; 1: |
|
||
бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП РП ЬФЙН ЖПТНХМБН ФТЕВХЕФ ДМС УЧПЕЗП РТПЧЕДЕОЙС ЧЩРПМОЕОЙС n ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС, 2n ; 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 8.2. нЕФПД иПМЕГЛПЗП ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК
вХДЕН УФТПЙФШ ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООПК НБФТЙГЩ
A2 Mn РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ fAkg НБФТЙГ Ak 2 Mn РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН:
1)A1 = AS
2)ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak+1 РПМХЮБЕФУС ЙЪ НБФТЙГЩ Ak УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Б) УФТПЙН ТБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП НБФТЙГЩ Ak : Ak = LkLk ,
В) ЧЩЮЙУМСЕН НБФТЙГХ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ Lk É Lk : Ak+1 =
LkLk .
мЕННБ 1. äÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak РПДПВОБ A.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. йНЕЕН: Ak+1 = LkLk = (L;k 1Lk)LkLk = L;k 1(LkLk)Lk = |
||
L;1AkLk . уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФТЙГБ Ak+1 |
РПДПВОБ Ak . рПУЛПМШЛХ A1 = A, ÔÏ ÐÏ |
|
k |
|
|
ЙОДХЛГЙЙ РПМХЮБЕН, ЮФП Ak РПДПВОБ A |
ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : :, РТЙЮЕН Ak+1 = |
|
L;1 |
: : : L;1A1Lk : : : L1 = (Lk : : : L1);1A(Lk : : : L1). |
|
1 |
k |
|
уМЕДУФЧЙЕ 1. нБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : ЙНЕАФ ФЕ ЦЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС, ЮФП Й НБФТЙГБ A.
мЕННБ 2. äÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : Ak { УБНПУПРТСЦЕООБС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООБС НБФТЙГБ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. дЕКУФЧЙФЕМШОП, A1 = A { УБНПУПРТСЦЕООБС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООБС НБФТЙГБ. рХУФШ УДЕМБОП k = 1 2 : : : ЫБЗПЧ ПРЙУБООПЗП ЧЩЫЕ
РТПГЕУУБ. нБФТЙГБ Ak = (Lk;1 : : : L1);1A(Lk;1 : : : L1) РПДПВОБ НБФТЙГЕ A É ÉÍÅ-
ЕФ ФЕ ЦЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС. рПУЛПМШЛХ Ak = Lk;1Lk;1 É Ak = Lk;1(Lk;1) = Ak , ÔÏ Ak { УБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ. рП МЕННЕ I.9.3 ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС
НБФТЙГЩ A ЧЕЭЕУФЧЕООЩ Й РПМПЦЙФЕМШОЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ Ak ЧЕЭЕУФЧЕООЩ Й РПМПЦЙФЕМШОЩ. рП МЕННЕ I.9.3 ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП Ak { УБНПУПРТСЦЕООБС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООБС НБФТЙГБ.
мЕННБ 3. тБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП ПУХЭЕУФЧЙНП ДМС ЧУСЛПЗП k = 1 2 : : :.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x8. нефпд ипмеглпзп |
111 |
|
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. дЕКУФЧЙФЕМШОП, РП МЕННЕ 2 Ak { УЙННЕФТЙЮОБС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООБС НБФТЙГБ, Й ДМС ОЕЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП УХЭЕУФЧХЕФ РП ФЕПТЕНЕ 1.
фЕПТЕНБ 2. (вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.) рХУФШ A |
2 |
Mn | УЙННЕФТЙЮОБС РПМП- |
||||||||||||||||
ЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООБС НБФТЙГБ, Й УПВУФЧЕООЩЕ ЕЕ ЪОБЮЕОЙС f ig НБФТЙГЩ A |
||||||||||||||||||
ФБЛПЧЩ, ЮФП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 > 2 > : : : > n: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
фПЗДБ Ak |
! |
diag[ 1 : : : n] ÐÒÉ k |
! 1 |
(РП ОПТНЕ Ч РТПУФТБОУФЧЕ НБФТЙГ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
) УИПДСФУС Л |
|||||||
дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, ДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ Ak = (aij |
||||||||||||||||||
УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙСН НБФТЙГЩ A, РТЙЮЕН Ч РТБЧЙМШОПН РПТСДЛЕ: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
a(iik) ! i ÐÒÉ |
|
k ! 1 |
i = 1 2 : : : n: |
|
|
|
|
|||||||||
уЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ НБФТЙГЩ Ak |
Л ДЙБЗПОБМШОПК ДБЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
i |
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij(k) = a(jik) = O |
ÐÒÉ |
k |
|
|
i > j: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
@ j |
A |
|
|
! 1 |
|
|
|
Mn |
|||||
рТЙНЕОЕОЙЕ БМЗПТЙФНБ Л РТПЙЪЧПМШОПК УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЕ A |
||||||||||||||||||
ФТЕВХЕФ УМЙЫЛПН ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК: n3=3 + O(n2)2(n |
! |
|||||||||||||||||
1) ОБ РПУФТПЕОЙЕ ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП НБФТЙГЩ |
|
3 |
2 |
|
||||||||||||||
Ak Й ОЕ ВПМЕЕ n |
|
+O(n |
) (n ! |
|||||||||||||||
1) ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙС ДЧХИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ. рПЬФПНХ НЕФПД иПМЕГЛПЗП ОЙЛПЗДБ ОЕ РТЙНЕОСЕФУС Л НБФТЙГБН РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ.
x 8.2.1. нЕФПД иПМЕГЛПЗП ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
еУМЙ НБФТЙГБ A | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС, ФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : Ч НЕФПДЕ иПМЕГЛПЗП | ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩЕ.
A1 = A | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП НБФТЙГБ Ak | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. фПЗДБ Ч ТБЪМПЦЕОЙЙ иПМЕГЛПЗП Ak = LkLk НБФТЙГБ Lk ЙНЕЕФ ЧЙД (5) (Ф.Е. СЧМСЕФУС ДЧХИДЙБЗПОБМШОПК). йЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РТПЙЪ- ЧЕДЕОЙС НБФТЙГ ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП НБФТЙГБ Ak+1 СЧМСЕФУС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЕК. мЕННБ ДПЛБЪБОБ.
ьФБ МЕННБ РПЪЧПМСЕФ ЪОБЮЙФЕМШОП ХУЛПТЙФШ ТБВПФХ НЕФПДБ иПМЕГЛПЗП. рЕТЕД ЕЗП РТЙНЕОЕОЙЕН ЙУИПДОБС НБФТЙГБ A РТЙЧПДЙФУС Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ A0 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15. ъБФЕН Л
РТЙНЕОСЕФУС НЕФПД иПМЕГЛПЗП.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x8. нефпд ипмеглпзп |
112 |
|
бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ L É L
рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ A = L L, ÇÄÅ L ЙНЕЕФ ЧЙД (5), НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩЮЙУМЕОП ЪОБЮЙФЕМШОП ВЩУФТЕЕ, ЮЕН РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ РТПЙЪЧПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ. рП ПРТЕДЕМЕОЙА РТПЙЪЧЕДЕОЙС НБФТЙГ
2 |
ai ;1 = |
lii |
li ;1 |
|
|
|
i = 2 3 : : : n |
|
|
|
||
aii = lii 2 + li+1 |
j |
2 |
|
i = 1 2 : : : n |
; |
1 |
(7) |
|||||
4 |
ai +1 j= jliili +1j |
|
|
i = 1 2 : : : n |
1 |
|
||||||
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ann = |
lnn |
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
чЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС A = L L ÐÏ ÜÔÉÍ |
ЖПТНХМБН ФТЕВХЕФ 4n + |
O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n + O(1) (n |
! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБ- |
ÃÉÊ. |
|
пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ НЕФПДБ иПМЕГЛПЗП ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ
1) рПУФТПЕОЙЕ ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП НБФТЙГЩ Ak = LkLk РП ЖПТНХМБН (6) ФТЕВХЕФ n ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС, 2n + O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
2) чЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС Ak+1 = LkLk РП ЖПТНХМБН (7) ФТЕВХЕФ 4n + O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
уМЕДПЧБФЕМШОП, ПДЙО ЫБЗ БМЗПТЙФНБ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФ n ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС, 6n + O(1) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й 2n + O(1) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
x 8.3. хУЛПТЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ
тБУУНПФТЙН УРПУПВЩ, РТЙНЕОСЕНЩЕ ДМС ХУЛПТЕОЙС УИПДЙНПУФЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ НБФТЙГ fAkg Л ДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЕ. лБЛ ПФНЕЮБМПУШ ЧЩЫЕ (УН. УФТ. 104), ЬФЙ УРПУПВЩ ЧП НОПЗПН УИПЦЙ УП УРПУПВБНЙ ХУЛПТЕОЙС УИПДЙНПУФЙ LR- É QR- БМЗПТЙФНПЧ. фБЛЦЕ УРТБЧЕДМЙЧЩ ЪБНЕЮБОЙС 7.3 Й 7.4.
рПУЛПМШЛХ НЕФПД иПМЕГЛПЗП ОЙЛПЗДБ ОЕ РТЙНЕОСЕФУС ДМС НБФТЙГ РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ, ЧУАДХ ОЙЦЕ НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЙУИПДОБС НБФТЙГБ ХЦЕ РТЙЧЕДЕОБ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЮБМШОБС НБФТЙГБ A1 | ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС. рП ДПЛБЪБООПНХ ЧЩЫЕ ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak | ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩЕ.
x 8.3.1. йУЮЕТРЩЧБОЙЕ НБФТЙГЩ
йДЕС ЙУЮЕТРЩЧБОЙС НБФТЙГЩ ДМС НЕФПДБ иПМЕГЛПЗП ФБ ЦЕ, ЮФП Й ДМС LR- БМЗПТЙФНБ (УН. УФТ. 105).
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |
x8. нефпд ипмеглпзп |
113 |
|
x 8.3.2. уДЧЙЗЙ
йДЕС ЙУРПМШЪПЧБОЙС УДЧЙЗПЧ ДМС НЕФПДБ иПМЕГЛПЗП ФБ ЦЕ, ЮФП Й ДМС LR- БМЗПТЙФНБ (УН. УФТ. 106). нПДЙЖЙГЙТПЧБООЩК НЕФПД иПМЕГЛПЗП, ПУОПЧБООЩК ОБ ЬФПК ЙДЕЕ, ЧЩЗМСДЙФ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН.
вХДЕН УФТПЙФШ ДМС НБФТЙГЩ A 2 Mn РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ fAkg НБФТЙГ Ak 2 Mn РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН:
1)A1 = AS
2)ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 2 : : : НБФТЙГБ Ak+1 РПМХЮБЕФУС ЙЪ НБФТЙГЩ Ak УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
Б) ПРТЕДЕМСЕН ФТЕВХЕНЩК УДЧЙЗ sk (ЕЗП ПРФЙНБМШОЩК ЧЩВПТ { ПФДЕМШОБС ЪБДБЮБ),
В) УФТПЙН ТБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП НБФТЙГЩ Ak ; skI : Ak ; skI = LkLk ,
Ч) ЧЩЮЙУМСЕН НБФТЙГХ Ak+1 ЛБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГ Lk É Lk ÐÌÀÓ skI :
Ak+1 = LkLk + skI .
ъДЕУШ НЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП ДМС ЛБЦДПЗП k = 1 2 : : : ТБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП НБФТЙГЩ Ak ;skI УХЭЕУФЧХЕФ, Ф.Е. ДМС ОЕЕ ЧЩРПМОЕОЩ ХУМПЧЙС ФЕПТЕНЩ 1. еУМЙ ЬФП ОЕ ФБЛ, ФП ОБДП ЙЪНЕОЙФШ ЪОБЮЕОЙЕ УДЧЙЗБ sk . оБ РТБЛФЙЛЕ ХУМПЧЙС ФЕПТЕНЩ 1 РТПЧЕТЙФШ ОЕЧПЪНПЦОП, РПЬФПНХ ЧЩРПМОСАФ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП. рТЙ ЬФПН, ЕУМЙ Ч БМЗПТЙФНЕ ФТЕВХЕФУС ЙЪЧМЕЮШ ЛПТЕОШ ЙЪ ПФТЙГБФЕМШОПЗП ЮЙУМБ ЙМЙ ПУХЭЕУФЧЙФШ ДЕМЕОЙЕ ОБ 0, ФП ОЕНОПЗП ЙЪНЕОСАФ ЪОБЮЕОЙЕ УДЧЙЗБ sk Й ЪБОПЧП ЧЩРПМОСАФ БМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП.
оЕФТХДОП РТПЧЕТЙФШ, ЮФП НБФТЙГБ Ak+1 РПДПВОБ Ak : Ak+1 = L Lk + skI =
k
(L;k 1Lk)(LkLk + skI) = L;k 1(LkLk)Lk + skLkI = L;k 1(LkLk + skI)Lk = L;k 1AkLk Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕ НБФТЙГЩ Ak , k = 1 2 : : : ЙНЕАФ ФЕ ЦЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС,
ЮФП Й НБФТЙГБ A.
x 8.3.3. рТБЛФЙЮЕУЛБС ПТЗБОЙЪБГЙС ЧЩЮЙУМЕОЙК Ч НЕФПДЕ иПМЕГЛПЗП
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ПРТЕДЕМЙФШ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС УБНПУПРТСЦЕООПК РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООПК НБФТЙГЩ A 2 Mn У ФПЮОПУФША ".
чОБЮБМЕ РТЙЧПДЙН НБФТЙГХ Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ A1 ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН ПДОЙН ЙЪ БМЗПТЙФНПЧ, ПРЙУБООЩИ Ч x I.14 É x I.15.
ъБФЕН Л НБФТЙГЕ A1 РТЙНЕОСЕН НЕФПД иПМЕГЛПЗП УП УДЧЙЗБНЙ. оБ ЫБЗЕ k Ч ЛБЮЕУФЧЕ УДЧЙЗБ sk ЧПЪШНЕН a(nnk) , Ô.Å. sk = a(nnk) . рПУЛПМШЛХ a(nnk) ! n , ÔÏ sk СЧМСЕФУС РТЙВМЙЦЕОЙЕН Л n Й УЛПТПУФШ УИПДЙНПУФЙ Л ОХМА ЬМЕНЕОФБ a(nk) ;1 ВХДЕФ ПЮЕОШ ЧЩУПЛПК. лБЛ ФПМШЛП ОБ ОЕЛПФПТПН ЫБЗЕ k ВХДЕФ ЧЩРПМОЕОП ХУМПЧЙЕ ja(nk) ;1j < "kAk1 , Ч ЛБЮЕУФЧЕ n ВЕТЕН a(nnk) Й РТЙНЕОСЕН БМЗПТЙФН Л РПДНБФТЙГЕ (aij)i =1 2 ;1 2 Mn;1 ОБ 1 НЕОШЫЕК ТБЪНЕТОПУФЙ. фБЛ РПУФХРБЕН ДП ФЕИ РПТ, РПЛБ ТБЪНЕТОПУФШ НБФТЙГЩ ОЕ УФБОЕФ ТБЧОПК 2. дМС ЬФПК НБФТЙГЩ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ПРТЕДЕМСАФУС ЛБЛ ТЕЫЕОЙС УППФЧЕФУФЧХАЭЕЗП ЛЧБДТБФОПЗП ХТБЧОЕОЙС.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК |