- •Министерство образования российской федерации.
- •Содержание комплекса.
- •Часть первая. Программа по дисциплине “Численные методы”.
- •Примерный тематический план дисциплины “Численные методы”.
- •Справочная литература.
- •Часть вторая. Конспект лекций по дисциплине “Численные методы”.
- •Лекция №1. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
- •Лекция № 2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным.
- •Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Лекция № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.
- •Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование.
- •Лекция № 7. Численное интегрирование.
- •Лекция № 8. Численные методы безусловной оптимизации.
- •Понятие о численном решении задачи Коши.
- •Часть третья. Вопросы к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть четвёртая. Примеры практических заданий к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть пятая. Варианты практических заданий зачёту по численным методам.
- •Варианты заданий для практической работы.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 10
- •Список используемой литературы:
Лекция № 6. Численное дифференцирование.
1. Вычисление производной по её определению.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точкии имеет производную в этой точке, то есть существует предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
Значение производной в точке можно получить, переходя к пределу в (1) по последовательности целых чиселп и полагая, например,. Здесь- некоторое начальное приращение аргумента,- некоторое число, большее единицы,. Тогда значение производной функциив точкезапишется так:
.
Отсюда получаем приближённое равенство
.
Для функции , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки, точность приближения можно установить, воспользовавшись формулой Тейлора:
.
Для достижения заданной точности приближения производной можно при определённом (конечном) числе вычислений использовать неравенство:
.
Пример 1.Вычислить производную функциив точкес точностью.
Решение. Положим, откуда:.
Определим приближённое значение производной:
Найдём отношения, аппроксимирующие производную:
.
Заметим, что . Таким образом, начиная с третьего приближения, в соответствии с оценкой (3), получаем искомое приближение производной данной функции с точностью не меньшей заданной. Точное значение.
2. Конечно-разностные аппроксимации.
Пусть отрезок разбит нап равных частей точками.
Разность расстояний между соседними значениями аргумента постоянна, то есть шаг . Далее, пусть на отрезкеопределена функция, значения которой в точкахравны.
Запишем выражения для первой производной данной функции в точке с помощью отношения конечных разностей следующих типов:
а) аппроксимация с помощью разностей вперёд (правых разностей)
;
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)
;
в) аппроксимация с помощьюцентральных разностей (точкаявляется центром системы точек):
.
Очевидно, что аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое отношений (4) и (5) в точках . Отметим, что соотношения (4) и (6) не позволяют вычислить значение производной в правом конце отрезкаа, а соотношения (5) и (6) – в левом конце отрезка.
Можно показать, что для функции , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперёд и назад имеет один и тот же порядок, а погрешность аппроксимации центральными разностями для функции, имеющей непрерывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок.
Приближённое значение производной второго порядка в точке выразим через значения функции. Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:
,
а производные первого порядка и- с помощью левых разностей:
и окончательно получим:
.
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок для функции, имеющей непрерывную производную до четвёртого порядка включительно на отрезке. Естественно, представление (7) позволяет вычислять значения производной с помощью конечных разностей только во внутренних точках отрезка.