Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.

Пусть отрезок разбит начастей точками: 

Сплином (иначе – сплайном) й степени называется функция, представляющая собой многочлен степени не вышена каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов, причём во всех точках стыка двух интерваловфункция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше.

Например, непрерывная кусочно-линейная функция (графиком которой является ломаная) является сплином первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома.

Пусть на отрезке определена функция, значения которой в точкахравны.

Задача интерполяции функции на отрезке кубическим сплином (сплайном третьей степени)состоит в нахождении функции, равной многочлену третьей степенина каждом отрезке, то есть

,

причём значения сплина в узлах интерполяции равны соответствующим значениям заданной функциии сплин-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе со своими производными первого и второго порядков:

;

;

.

Условия (2) – (5) дают линейных алгебраических уравнений для определениянеизвестных коэффициентовпри соответствующих степеняхв многочленах.

Можно показать, что интерполяционный кубический сплин для функции существует и является единственным, если вместе с уравнениями (2) – (5) удовлетворяется пара дополнительных (краевых) условий следующего типа:

I.

II.

III. .

Рассмотрим случай разбиения отрезка наравных частей с шагом, для которого. Разберём подробно построение интерполяционного кубического сплина для условия типаI.

При построении сплина, удовлетворяющего краевым условиям типа I, введём величины, называемые иногда наклонами сплайна в узлах интерполяции.

Можно показать, что интерполяционный кубический сплин вида

удовлетворяет условиям (2), (3), (4) для любых . Из условия (5) и краевых условийIможно определитьпараметр.

Действительно, легко проверить, что . Кроме того, вычисления показывают, чтои.

Если учесть, что

,

и ,

а также краевые условия типа Iи условие (5), то получим систему излинейных уравнений относительно неизвестных:

Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных и определить интерполяционный сплин с помощью формулы (6).

Пример 1.На отрезкепостроить кубический сплин, интерполирующий функциюс шагом, удовлетворяющий на концах отрезка краевым условиям типаI. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значениеи сравнить его с точным значением.

Решение.

Будем искать уравнение кубической параболы , удовлетворяющее следующим условиям на концах отрезкаи:

Подставив полученные значения ив формулу (6) и получим сплин вида

,

откуда .

Тогда . Точное значение, как известно, равно 0,5. Здесь. Как видим, в данном (достаточно простом) примере сплин-метод обеспечивает достаточно высокую точность приближённых вычислений.

Пример 2. На отрезкепостроить кубический сплин с шагом, интерполирующий функцию, если заданы значения функции в трёх узлах интерполяции:

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение и сравнить с точным значением.

Решение.

Представим сплин в виде (6):

При таком представлении должны удовлетворяться уравнения системы (7):

где.

Заметим, что . Тогда имеем:

.

Учитывая, что , получим после преобразований:

;

.

Тогда . Здесь- весьма высокая точность. Из данных примеров видно, что чем больше количество узлов интерполяции, тем выше точность приближённых вычислений.

Задание.

Построить для указанных функций кубический сплин, интерполирующий их на данном отрезкес заданным шагом.

1) В данном задании найти приближённое значениеи сравнить с точным значением.

2)

3) . В данном задании найти приближённое значениеи сравнить с точным значением.

4)