§6. Неявные функции

Рассмотрим уравнение F(x,y) = 0 (6.1), где F – функция двух переменных, которая определена в прямоугольной области D = [a, b; c,d].

Пусть для любого х  [a,b] это уравнение имеет решение относительно у. Тем самым каждому х  [a,b] ставится в соответствие определенное число у – решение уравнения(6.1) (заметим, что уравнение (6.1) может иметь несколько решений относительно у, но мы выбираем какое-то одно из них). Это означает , что на множестве [a,b] определена функция y = f(x). При этом правило f, ставящее в соответствие каждому х некоторое число у, не указано здесь явно, а задано с помощью уравнения (6.1). Такой способ задания функции y = f(x) называется неявным, а сама функция неявной. Основное свойство неявной функции y = f(x) заключается в правдивости равенства

Определение 6.1. Если функция двух переменных F(x,y) определена в некоторой области D и существует такая функция f одной переменной, определенная на некотором подмножестве Х числовой прямой, что для любого х Х имеет место включение  D и выполняется равенство , то функция f называется неявной функцией, определенной уравнением F(x,y) = 0. Говорят также, что функция f задана неявно уравнением (6.1).

Пример 6.1. Уравнение определяет неявную функцию на множестве R.

Пример 6.2. Уравнение не определяет неявную функцию на

[-1,1], т.к. каждому соответствует два значения Однако, потребовав сужение этого соответствия , получим, что рассматриваемое уравнение определяет неявную функцию со значениями на отрезке [-1,1].

Теорема 6.1 (о существовании неявной функции). Пусть дано уравнение (6.1) и функция удовлетворяет следующим условиям:

1)определена и непрерывная вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки

тогда имеют место следующие утверждения:

 в некоторой  - окрестности точки х₀ уравнение (6.1) определяет неявную функцию

 она дифференцируема в этой окрестности и ее производную можно вычислить по формуле

Теорему примем без док-ва.

Пример 6.3. Определяет ли уравнение (6.3) неявную функцию в окрестности точки х = 0 ?

Рассмотрим точку М₀(0,1). Функция непрерывна в некоторой  -окрестности этой точки как элементарная; производные также непрерывные в этой окрестности;

Таким образом, согласно теореме 6.1, уравнение (6.3) определяет в некоторой  -окрестности точки М₀ непрерывную, дифференцируемую неявную функцию , производную которой можно найти по формуле (6.2):

Замечание. Аналогично вводится понятие неявной функции n – переменных.

Пусть дано уравнение F(x,y) = 0 (6.4), где Функция z = F(x,y) – функция n + 1 переменной, тогда решение уравнения (6.4) можно представить в виде соответствия , где , Если в этом соответствии каждому соответствует единственное значение , то говорят, что уравнение (6.4) определяет неявную функцию y = f(x), где , которая обращает уравнение (6.4) в тождество