§5. Производная по направлению. Градиент

Пусть функция определена в -окрестности точки простран­ства R²: . Зададим вектор  R², образующий углы  и  с осями Ox i Oy соответственно. Пусть точка . Проведем через точки и прямую, параллельную вектору . За положительное направление на прямой возьмем направление вектора .

Определение 5.1. Если существует , где длина вектора , то он называется производной функции f в точке по направлению вектора и обозначается .

Замечание 5.1. = , если вектора и имеют одинаковые направления, =  , если противоположные.

Замечание 5.2. Очевидно, что - производная функции f по на­правлению оси Ох, - производная функции f по направлению оси Оу.

Замечание 5.3. Производную по направлению вектора еще называют скоростью изменения функции f в точке М_о по направлению вектора .

Теорема 5.1. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке , тогда в этой точке она имеет производную по направлению любого вектора , которая вычисляется по формуле

, (5.1)

где ,  - углы, образованные вектором с осями Ох и Оу соответственно.

Т.к. функция f дифференцирума в точке М₀, то ее приращение в этой точке представимо

f(М₀) = x + x + (x, у)x + (x, у)у, (5.2)

где ,  0, если x, у0.

Разделим обе части равенства (5.2)на М₀М и получим

+

Из рисунка видно, что = cos , = cos.

Учитывая, что при М М₀: х0,у0  ,  0, и перейдя к пределу при ММ₀, получим формулу (5.1). 

Пример 5.1. Найти производную функции f(x,y) = по направлению вектора (2,3) в точке М₀(2;1).

Замечание 3.4. Знак минус, который может быть получен при вычислении производной по направлению, указывает на то, что функция в данном направлении убывает.

Определение 5.2. Вектор с координатами называется градиентом функции f в точке и соответственно обозначается:

. (5.3)

Пусть – единичный вектор, сонаправленный с вектором . Найдем скалярное произведение градиента и вектора :

= , (5.4)

, (5.5)

где  - угол между векторамі

Сравнив правые части равенств (5.4) и (5.5), получим

= или

= (5.6)

Т.к. принимает наибольшее значение при  = 0, то из (5.6) следует, что скорость возрастания функции наибольшая по направлению вектора и наименьшая в противоположном ему направлении.

Замечание 3.5. Аналогично получаются формулы производной по направлению и градиента для функции любого числа переменных. Например, для функции трех переменных:

где  , ,  - углы, образованные вектором с осями координат.

Пример 5.2. Найти градиент функции f(x,y,z) = x²y³z⁴ в точке М₀(1;1;1) и производную по направлению вектора (4;3;0).

Замечание 3.6. Кроме скалярных полей в математическом анализе существуют векторные поля.

Векторное поле – функция V(M), которая определена в некоторой области плоскости (пространства), значениями которой являются вектора.

Примером векторного поля является или .