3.3. Дифференциал функции нескольких переменных. Приложение к приближенным вычислениям

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке М₀(x₀,y₀). Тогда ее приращение можно представить в виде

f(x₀ ,у₀) = x + у + (x, у)x + (x, у)у,

где ,  0, если x, у0. (3.5)

Определение 3.7. Сумму первых двух слагаемых равенства (3.5), являющуюся главной линейной частью приращения дифференцируемой функции, называют дифференциалом функции f(x,y) в точке М₀(x₀,y₀) и обозначают

df(x₀ ,у₀) или dz(x₀,y₀) или dМ₀.

Это значит, df(x₀ ,у₀) x + y. (3.8*)

Для симметрии обозначим x = dx, y = dy и получим формулу дифференциала для любой точки М(x,y): df(x ,у) dx + dy. (3.8)

Дифференциал функции отличается от полного приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем бесконечно малая .

Дифференциал функции двух переменных имеет свойства дифференциала функции одной переменной:

1. dс = 0.

2. dсf(x ,у) = сdf(x ,у), с – соnst.

3. d(f+g)(x ,у) = df(x ,у) + dg(x ,у).

4. d(f,g)(x ,у) =g(x,y) df(x ,у)+ f(x,y)df(x ,у).

5. .

На основании определения 3.7 имеет место приближенное равенство

f(x₀ ,у₀)  df(x₀ ,у₀).

Используем формулы (3.1*) и (3.8*)

f(x₀ ,у₀) = f( х₀ + х, у₀ +у) – f(x₀,y₀) и df(x₀ ,у₀) x + y

и получили формулу для приближенного вычисления значения функции:

f( х₀ + х, у₀ +в) f(x₀,y₀) + x + y.

Пример 3.3.

3.4.Касательная плоскость к графику функции двух пременых Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Тогда графиком функции является поверхность в пространстве R³.

Пусть точка М₀(x₀,y₀,z₀), где z₀ = f(x₀,y₀) принадлежит графику функции. Через эту точку проходит бесчисленное множество плоскостей, не параллельных оси 0z, уравнения которых имеют вид

z – z₀ = A(х – x₀) + B(у – y₀)  z = z₀ + A(x – x₀) + B(y – y₀). (3.9)

Определение 3.8. Плоскость, которая проходит через точку М₀ графика функции z = f(x,y) и удовлетворяет условию :

разность между значением функции и аппликатой плоскости в точке (x,у ) имеет представление x + y, где x = х  х₀ ,у=у – у₀,  0,  0, если x, у0, называется плоскостью, касательной к графику функции f(x,y) в точке М₀.

Т.е. разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем при .

Из определения (3.8) и формулы (3.9) следует, что разность между значением функции и аппликатой имеет вид

f(x,y) – z = x + y;

f(x,y) – z₀ - A(x – x₀) - B(y – y₀) = x + y

 f(x,y) – f(x₀ ,у₀) - ( A(x – x₀)+ B(y – y₀)) = x + y

 f(x,y) – f(x₀ ,у₀) = A(x – x₀)+ B(y – y₀)) + x + y

f(x₀ ,у₀)= Ax + By + x + y,  0, 0, если x, у0. Последнее условие является условием дифференцирумости функции в точке (x₀,y₀), Т.о. условие существования касательной плоскости равносильно дифференцируемости функции и коэффициенты А,В равны частным производным в точке (x₀,y₀):

A= ; B= .

Подставив полученные значения А, В в уравнение (3.9) плоскости, получим, что уравнение касательной плоскости к графику функции z = f(x,y) в точке М₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид

z – z₀ = (х – x₀)+ (y – y₀). (3.10)

Если учесть, что х – x₀ =x, у – y₀ = y, то из формулы (3.10) следует

равенство z – z₀ = df(x₀ ,у₀) геометрический смысл дифференциала функции

z = f(x,y) в точке (x₀,y₀):

Дифференциала функции z = f(x,y) в точке (x₀,y₀) численно равен приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции в точке М₀(x₀,y₀,z₀ ) при переходе от точки (x₀,y₀) к точке (x,y).

Определение 3.9. Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к графику функции z = f(x,y) в точке М₀(x₀,y₀,z₀), называется нормалью к графику функции и ее уравнение имеет вид:

. (3.11)