2.2. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть D.

Определение 2.8.(по Гейне). Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х₀D, если для каждой сходящейся к х₀ последовательности (x_k) точек из D числовая последовательность (f(x_k)) значений функции сходится к числу f(x₀).

Определение 2.8* (по Коши). Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х₀D, если для каждого числа 0 найдется соответствующее число (),такое что для произвольной точки xD(f) , которая удовлетворяет условию  (x,x_o), выполняется неравенство  f(x) - f(x_о).

Замечание 2.2. В определения 2.8 мы не требуем, чтобы x_k  x₀, в определении 2.9 не накладывается условие  (x,x_o)>0, т.к. функция f(x) определена и в предельной точке х₀D(f).

Определение 2.8**. Пусть х₀D. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1) , если х₀ – предельная точка D(f) (2.1)

2) x₀ - изолированная точка D(f)

Обозначим:

,

, ,…,

Определение 2.9. Функция y = f(x) является непрерывной в предельной точке х₀D(f) тогда и только тогда, когда имеет место равенство: .

Замечание 2.3. Для функции 2-х переменных z = f(x,y) условие (2.1) имеет вид

Определение 2.10. Функция у = f (х₁,х₂,…, х_n) называется непрерывной в точке по переменной x_k (k = ), если функция непрерывна в точке .

Теорема 2.2. Если функция у = f (х₁,х₂,…, х_n) определена в некоторой окрест­ности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных х₁,х₂,…, х_n .

Замечание 2.4. Из непрерывности по всем переменным по отдельности не следует непрерывность по совокупности переменных.

Замечание 2.5. Если в некоторой точке плоскости для функции z = f(x,y) нарушается условие (2.1), то функция будет иметь разрыв в этой точке.

Функция может иметь разрыв не только в одной точке, но и вдоль кривой, которая принадлежит поверхности(графику функции z = f(x,y)).

Пример 2.6. Исследовать функцию z = x² + y² на непрерывность в точке О(0,0).

 функция непрерывная в точке О(0,0).

Пример 2.7. Исследовать функцию z = на непрерывность в точке О(0,0). D(f) = R²\{(0,0)}.  О(0,0) – точка разрыва функции.

Пример 2.8. Исследовать функцию z = на непрерывность.

D(f) = {(x,y)1 – x² – y² 0}. Окружность x² + y² = 1  D(f)  x² + y² = 1- линия разрыва.

§3. Дифференцируемость функции нескольких переменных

3.1. Частные производные (ч.Пр.) функции двух переменных

Пусть функция 2-х переменных z = f(x,y) определена в некоторой области

G  D(f). Пусть точка М₀(x₀,y₀) G. Придадим аргументу х₀ приращение

х = х – х₀ так, чтобы точка ( х₀ + х, у₀)  G.

Определение 3.1. Разность _хf (x₀,y₀) = f( х₀ + х, у₀) – f(x₀,y₀) называется частным приращением функции f по независимой переменной х в точке М₀(x₀,y₀).

Определение 3.2. Если существует , то он называется частной производной функции f по переменной х в точке М₀(x₀,y₀) и обозначается:

или или .

Самостоятельно дать определения 3.3 и 3.4 частного приращения _уf (x₀,y₀) и частной производной или или .

Замечание 3.1. Т.к. при нахождении ч.пр. по х (или у) одна из переменных была фиксированной, то будем пользоваться правилами вычисления производной одной переменной,считая у (или х) константой.

Пример 3.1. Найти ч.пр. функции z = x^y + sin (2x + 3y):

= yx^y-1 + 2cos(2x + 3y); = x^y lnx + 3cos(2x + 3y).

Аналогично определяются и находятся производные 3 – х, 4-х и больше переменных.

Пример 3.2. Найти частные производные функции u = x² y³z по переменным x, y, z: = 2xy³z; = 3x² y²z; = x² y³.

Замечание 3.2. Изучая функцию одной переменной, мы доказали, что из существования производной функции в точке следует непрерывность функции в этой точке. Для функции нескольких переменных это теорема не имеет место.

Пример 3.3.

=

Частные производные существуют в точке О(0,0). Будет ли функция непрерывной в этой точке ?

В примере 2.3 (§2) мы доказали, что функция z = не имеет предела в точке О(0,0), а это значит, что она не является непрерывной в точке О(0,0).