Сферические координаты

Пусть точка М(x,y,z) в прямоугольной системе координат 0xyz находится на расстоянии от начала координат. Обозначим через угол между положительным направлением оси 0z и вектором . Пусть есть полярный угол проекции точки М на плоскость х0у. Тогда положение точки М единственным образом определяется тройкой чисел , которая называется сферическими координатами точки М.

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими формулами:

,

(6.4)

.

Координатными поверхностями в сферических координатах являются: сферы , полуплоскости , проходящие через ось 0z, и конические поверхности .

Найдем якобиан преобразования (5.5):

.

На основании равенства (6.1) выводим формулу замены переменных в сферических координатах:

= .(5.6)

Замечание 5.3.Если область Е в пространстве 0xyz можно задать в сферических координатах неравенствами , то тройной интеграл (5.6) приводится к повторному интегралу

=

Глава 4. Криволинейные интегралы

§1. Определения и основные свойства криволинейных интегралов

1.1. Понятие криволинейного интеграла

Пусть в плоскости xOy задана спрямляемая кривая L без точек самопересечения.

Кривая, на которой указаны начало А и конец В, называется кривой с заданным направлением (от А да В) : .

Говорят, что вдоль кривой задана функция f, если каждой т.М(х, у) ставится в соответствие единственное число f(x,y).

Пусть вдоль кривой заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Разделим точками А = А₀(х₀,у₀), А₁(х₁,у₁), А₂(х₂,у₂), ....,А_k-1(х_k-1,у_k-1),..., А_n(х_n,у_n) = B.

Обозначим через  наибольшую из длин частных дуг А_k-1,А_k кривой ,

k = . На частной дуге А_k-1,А_k выберем точку М_k(_k,_k).

Составим интегральные суммы:

_х = , (1.1)

_у = , (1.2)

Определение 1.1. Число I_x ( I_y) называется пределом суммы (1.1) ((1.2)) при , если  > 0  > 0 такое, что при любом разбиении на частные дуги и любом выборе точек М_k(_k,_k) из условия <  неравенство ( )

Определение 1.2. Если существует предел I_x ( I_y) суммы (1.1) ((1.2)) при , то он называется криволинейным интегралом функции P(x,y) ( Q(x,y)) по координате х (по координате у) и обозначается:

I_x = (I_у = ),

а сумма пределов

I_x + I_x = + = называется криволинейным интегралом, а выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy - дифференциальной формой.

1.2. Свойства криволинейного интеграла

1. = 

В этом случае говорят, что криволинейный интеграл зависит от направления кривой.

2. Если разбить точкой С  на 2 дуги, то

= + (свойство аддитивности).

3.

1) = 0

2) = 0.

4. Криволинейный интеграл по кривой АВА равен 0.

Определение 1.3. Если начало кривой совпадает с ее концом: А = В, то называется замкнутым контуром l и криволинейный интеграл по замкнутому контуру обозначается

Замечание 1.1. Стрелка обозначает направление интегрирования. Если при обходе вдоль контура область, ограниченная контуром, остается слева, то направление интегрирования считается положительным, если справа – отрицательным. Принято интеграл по положительному направлению стрелкой не обозначать.

5. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора начальной точки.

6. Если область D, ограниченную замкнутым контуром l , разбить на 2 области D₁ и D₂ , ограниченные контурами l₁ и l₂ , то .