5.2. Вычисление тройного интеграла

Как и для двойного интеграла, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов.

Пусть функция определена на теле Е, причем проекция тела Е на плоскость хОу – квадрируемая фигура Р_ху; тело E ограничено: сверху графиком функции f₁(x,y), снизу графиком функции f₂(x,y), со сторон цилиндрической поверхностью, направляющая которой – граница области Р_ху, а образующие параллельны оси Oz. Тогда

= ,(5.1)

где внутренний интеграл.

Если проекция тела Е на плоскость xOz - квадрируемая область P_xz, тело Т ограничено: сверху графиком функции f₁(x,z), снизу графиком функции f₂(x,z), со сторон цилиндрической поверхностью, направляющая которой – граница области Р_хz, а образующие параллельны оси Oy. Тогда

= .(5.2)

Аналогично, если тело Е спроектировано на плоскость yOz и его проекция квадрируемая область Р_yz, то

= (5.3)

Пример.

§6. Замена переменных в тройном интеграле

Пусть заданы два прямоугольные декартовые пространства и .И соответственно в них замкнутые кубируемые тела Е и G.

Пусть задано отображение так, что = = . Т.е. является вектор-функцией 3-х компонент, каждая из которых является функцией 3-х переменных, причем :

1) взаимно однозначно на G;

2) g и непрерывные функции на G и Е соответственно;

3) Компоненты функции g , т.е. функции , , , непрерывные вместе со своими частными производными, а якобиан не равен нулю:

.

Замечание 5.1. Рассмотренное нами отображение называется регулярным. Можно доказать, что при регулярном отображении образом гладкой поверхности является гладкая поверхность; образом границы – граница; образом области является область, а также имеет место следующая теорема (без доказательства).

Теорема 5.1. Если функция f непрерывна на теле Е и Е = -- регулярное отображение тела на тело Е, где тела Е и G – замкнутые кубируемые, то имеет место равенство

= (6.1)

,которое называют формулой замены переменных в тройном интеграле.

Тройка чисел однозначно характеризует положение точки в пространстве 0xyz и называется криволинейными координатами этой точки. Поверхности в пространстве 0xyz, которые определяются равенствами v=const, u=const, w=const, называются координатными поверхностями. Через каждую точку области Е проходит по одной поверхности из каждой семьи координатных поверхностей.

Рассмотрим два частных случая криволинейных координат в пространстве R³, которые широко применяются при вычислении тройных интегралов методом замены переменных.

Цилиндрические координаты

Пусть точка М в прямоугольной декартовой системе координат 0xyz имеет координаты . Задавая проекцию точки М на плоскость 0xy при помощи полярных координат (r, ), положение точки М единственным образом определяется при помощью трех чисел , которые называются цилиндрическими координатами точки М.

Если полярная ось совпадает с положительным направлением оси 0х, то формулы:

,

, (6.2)

z=z , , ,

задают связь между цилиндрическими и декартовыми координатами.

Координатной поверхностью в цилиндрической системе координат являются: цилиндрические поверхности r=const, полуплоскости =const, проходящие через ось 0z, и плоскости z=const, параллельные х0у.

Пусть система координат регулярно отображается на систему координат 0xyz по формулам (6.2), т.е. , тогда якобиан этого отображения:

,

тогда по формуле (6.1)

=

Замечание 5.2. Если область Е в пространстве 0xyz можно задать в цилиндрических координатах неравенствами , , то тройной интеграл приводится к повторному интегралу

= (6.3)