Пример 2.3. Поменять порядок интегрирования в интеграле §3. Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим две прямоугольные системы координат х0у и u0v.

И пусть в каждой из координатных плоскостей имеются квадрируемые компакты Р и Q соответственно. Рассмотрим отображение g : Q P, которое является вектор-функцией двух переменных, т.е. . Пусть g удовлетворяет следующим условиям:

g – взаимно однозначное отображение Q на Р.

g и непрерывные функции на Р и Q соответственно.

Компоненты функции g непрерывны вместе со своими частными производными , , , на Q. Матрица: называется матрицей Якоби отображения g, а определитель этой матрыцы I=I(u,v)= - называется якобианом отображения g.

Определение 3.1. Описанное выше отображение g квадрируемого компакта Q на квадрируемый компакт Р, которое удовлетворяет условиям - , якобиан которого не равен нулю, называют регулярным отображением Q на Р.

Можно доказать, что при регулярным отображении:

1. образом непрерывной кривой является непрерывная кривая;

2. образом области является область;

3. образом границы является граница.

Теорема 3.1.Пусть функция z=f(х,у) непрерывна на квадрируемом компакте Р плоскости х0у. Пусть g - регулярное отображение квадрируемого компакта Q плоскости u0v на квадрируемый компакт плоскости х0у. Тогда имеет место равенство:

. (3.1)

Отметим, что формула (3.1) называется формулой замены переменной в двойном интеграле.

Пример.

Замечание 3.1. Связь между декартовой и полярной системами координат осуществляется при помощью равенств: x = r , y = r . Таким образом, отображение компакта Q из полярной системы координат в компакт Р плоскости х0у осуществляется при помощью вектор-функции g(r, . Якобиан этого отображения:

I=I( )= , Поэтому формула (3.1) имеет вид:

(3.2)

Замечание 3.2.Очевидно, что площадь области Р в соответствии с равенством (1.11) в полярных координатах вычисляется по формуле: . (3.3)

Пример 3.1. Найти площадь лемнискаты Бернулли:

§4.Площадь гладкой поверхности

Пусть в квадрируемом компакте Р определена непрерывная функция f(x,y), имеющая непрерывные частные производные в каждой точке . График этой функции – множества точек П= называется гладкой поверхностью. Рассмотрим задачу вычисления площади гладкой поверхности П.

Разобьем область Р на квадрируемые области Р_{k ,} не имеющих общих внутренних точек, с диаметром разбиения .

В каждой частной области Р_к выберем произвольную точку . Точке на поверхности соответствует точка . Через точку проведем плоскость, касательную к поверхности, уравнение которой имеет вид:

, (4.1)

Нормальный вектор в точке N_k задается координатами .

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси 0z, направляющей которого будет граница области Р_к. Этот цилиндр вырежет на касательной плоскости фигуру . Эту операцию проделаем в каждой области P_k, k=1,2,…. Получим чешуйчатую поверхность, состоящую из плоских фигур P_k^’, покрывающих всю поверхность П. Рассмотрим сумму

 = площадей S( всех фигур . Если предел этой суммы, когда диаметр разбиения , существует, то он называется площадью поверхности , т.е.

, (4.2)

а поверхность называется квадрируемой.

Теорема 4.1. Гладкая поверхность на квадрируемом компакте Р является квадрируемой фигурой и ее площадь может быть вычислена по формуле:

Если есть угол между касательной плоскостью и плоскостью х0у, то как известно из стереометрии

S( = . (4.3)

В то же время угол равен углу между осью 0z, т.е. вектором нормали к плоскости хОу: = (0,0,1) , и вектором нормали к плоскости P_k’. Поэтому

. (4.4)

Таким образом, с учетом равенств (4.3) и (4.4) из формулы (4.2) получим:

. (4.5)

Под знаком предела стоит интегральная сумма непрерывной на квадрируемом компакте Р функции , которая является интегрируемой. Поэтому последний предел существует и по определению: (4.6)

Это и есть формула для вычисления площади поверхности П. 

Замечание 6.1.Если поверхность П задается уравнением: , где , или ,где , то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности прибретают вид:

, . (4.7)

Пример.

Замечание 6.2.Отметим, что при помощи формулы (4.5) можно вычислить площадь S поверхности, которая получается в результате вращения гладкой кривой Г: , вокруг оси 0х . Можно доказать , что полученная ранее формула в теме “Определенный интеграл”:

(4.8)

является частным случаем формулы (4.5)

Двойные и тройные интегралы можно использовать в вопросах физики и механики: нахождение массы плоской фигуры и тела, статистических моментов и координат центра масс плоской фигуры и тела.