1.3. Вычисление площадей фигур и объемов тел с помощью двойных интегралов

Пусть Р – квадрируемый компакт, проведем Т - разбиение области Р на квадрируемые части Р_к (к= ) без общих внутренних точек с диаметром разбиения , тогда имеет место равенство (1.2).

Теорема 1.4.(о вычислении площади). Если Р -- квадрируемый компакт, то его площадь можно вычислить по формуле:

(1.11)

Рассмотрим на Р функцию f(x,y)=1, которая интегрируема на Р (в силу непрерывности). Тогда = = . 

Пусть на квадрируемой замкнутой области Р задана непрерывная и неотрицательная функция f.

Определение 1.2. Тело, ограниченное снизу областью Р, сверху – графиком функции f, а с боковых сторон – цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси 0z и направляющей, которая является границей области Р, называется цилиндрическим телом.

Теорема 1.5. Цилиндрическое тело является кубируемым телом и его объем можно вычислить по формуле:

. (1.12)

При доказательстве теоремы будем пользоваться необходимым и достаточным условием кубируемости:

для того, чтобы тело G было кубируемым необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности кубируемых тел ’, ″, которые соответственно содержатся в G и содержат G и таких, что .

Разделим область Р на квадрируемые части Р_к (к= ) без общих внутренних точек. Т.к. на каждом квадрируемом компакте Р_к функция f непрерывная, то (согласно 2 теоремы Вейерштрасса) она достигает соответственно наименьшего и наибольшего значений на этом компакте: и . Построим на Р_к два прямых цилиндра с высотами и соответственно. Тогда (согласно теореме о вычислении объема прямого цилиндра) объемы построенных цилиндров будут соответственно равны и . Аналогично рассмотрим каждую область Р_к (к= ). Таким образом, мы построим две последовательности кубируемых тел ’ и ″, которые имеют следующие объемы:

V( ’)= (1.13),

V( ″)= (1.14)

Отметим, что суммы (1.13) и (1.14) – интегральные суммы непрерывной функции f на компакте Р, поэтому: . 

Выводом теоремы 1.5 является геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объем цилиндрического тела.

§2. Вычисление двойных интегралов

Определение 1.3

Областью первого типа называется фигура в плоскости х0у, которая задается следующим образом:

, где f₁(x) и f₂(x)–непрерывные на функции;

Областью второго типа называется фигура в плоскости х0у, которая задается следующим образом: , где g₁(у) и g₂(у) -- непрерывные на функции.

С областями 1-го и 2-го типов тесно связаны повторные интегралы соответственно:

; (2.1)

. (2.2)

Интегралы, стоящие в скобках, называются внутренними, и вычисление повторного интеграла производится в следующем порядке: вычисляется сначала внутренний интеграл , а затем как обычный определенный интеграл.

Пример 2.1.

Теорема 2.1. Пусть функция z = f(x,y) непрерывная на квадрируемом компакте Р, тогда:

1. Если область Р – область первого типа, то

= . (2.3)

2. Если область Р – область второго типа, то

= . (2.4)

Докажем равенство (2.3). Построим цилиндрическое тело G – тело С, ограниченное: 1) снизу компактом Р – областью первого типа, 2) сверху графиком функции z = f(x,y), 3) со сторон цилиндрической поверхностью с направляющей, которая является границей области Р.

С одной стороны по т.1.5 . С другой стороны объем тела С равен (2.5), где S(x) – площадь фигуры, полученной в сечении тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х перпендикулярно оси Ох.

Спроектируем сечение на плоскость yOz. Проекция – криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции z = f(x,y), прямыми y=f₁(x) , y = f₂(x) и z=0, тогда

S(x) = . (2.6)

Подставим (2.6) в (2.5) и получим формулу для вычисления объема тела G:

V(G) = = = . 

Аналогично доказывается формула (2.4).

Замечание 2.1.Если область Р не является областью либо 1-го, либо 2-го типа, то тогда с помощью прямых, параллельных оси ОХ и ОУ, ее разбивают на конечное число областей 1-го и 2-го типов и пользуясь свойством аддитивности и формулами (2.3), (2.4) по каждой из полученных областей, вычисляют двойной интеграл с помощью повторных.

Замечание 2.2. Иногда при вычислении повторного интеграла удобно перейти от повторного интеграла по области одного типа к повторному интегралу по области другого типа. Такой переход называют заменой порядка интегрирования в повторном интеграле.

Пример 2.1. Найти двойной интеграл , где область Р ограничена кривыми: y = x, y= , x = 2.

Пример 2.2. Найти двойной интеграл , где область Р ограничена кривыми: y = x, .