Сходящаяся система сил

Система сил называется сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Сходящуюся систему сил можно заменить равнодействующей геометрическим или векторным способом или аналитически по формулам (1)- (4).

, ( 1) (2) , (3) (4)

Условия равновесия сходящейся системы сил. Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. геометрическое или векторное условие: силовой многоугольник, построенный на векторах сил как на сторонах должен быть замкнут

, или (5)

2. Аналитические уравнения равновесия:

, , (6)

Если все силы сходящейся системы лежат в одной плоскости то следует выбрать систему координат в этой плоскости и использовать только два уравнения.

Теорема о трех силах – если тв. тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то лини действия таких трех сил пересекаются в одной в одной точке.

Произвольная плоская система сил

Если плоская система сил не является сходящейся, то для вывода условий равновесия нужно заменить систему сил на более простую. Это называется приведением системы сил.

Момент силы относительно точки на плоскости (алгебраический) –это взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо силы относительно точки. Плечо силы относительно точки – это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы, т е длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы

Теоремы о свойствах пар в плоскости.

1. Момент пары сил равен алгебраической сумме моментов сил образующих пару, вычисленных относительно произвольной точки на плоскости.

2. Две пары сил, лежащие в одной плоскости , эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их алгебраические моменты.

3. Система пар сил, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов этих пар.

4. Система пар сил, лежащих в одной плоскости, уравновешивается тогда и только тогда, когда алгебраическая сумма моментов этих пар равна нулю.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно чтобы главный вектор R’ и главный момент m_O относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю,

, , (10)

или в аналитической форме

, (11)

Оси x, y системы координат и точку в уравнении моментов можно выбирать произвольно.

Теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил. Если система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки

Приведение силы к заданному центру: силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тв. тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы

Приведение произвольной сист. сил к силе и паре сил: (теор. Пуансо) любую произвольную сист. сил, действующих на тв. тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил (Приведение сист. сил к заданному центру)

Основная теорема статики: любую сист. сил, действующ. на тв. тело, можно привести к силе, равной главному вектору сист. сил, и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту сист. сил относительно точки, выбранной за центр приведения.

Частные случаи приведения плоской системы сил

1 случай приведения к равнодействующей силе: если при приведении плоской сист. сил к какому либо центру окажется, что вектор

R 0, а главный момент L=0, то такая плоская система сил приводится к одной силе R*-равнодействующей системы сил.

если при приведении плоской сист. сил главн. вектор не равен 0 и главн. мом. не равен 0, то такую сист. можно привести к одной равнодействующей силе R*

2 случай приведения к паре сил: если при превидении плоской сист. сил к какому либо центру окажется, что главный вектор R=0, а главн мом L ,то такую плоскую систему можно привести к одной паре сил, алгебраический момент которой равен главному мом системы сил относительно центра пиведения, и в этом случае главный момент не зависит от выбора центра приведения.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей: векторный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

(для плоской системы сил) алгебраический момент равнодействующей плоской сист. сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен сумме алгебраических моментов всех сил этой системы относит. той же точки.

Расчет ферм

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами

. В таких фермах число стержней  и число узлов  связаны соотношением

Формула Эйлера

Система сил, произвольно расположенных в пространстве

Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси, проходящей через этот центр: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Парой сил называется система двух равных по модулю сил, направленных в противоположные стороны по параллельным линиям действия. Обозначается пара сил (F,F'). Плечом пары называется расстояние между линиями действия сил, образующих пару. Момент пары (алгебраический на плоскости) это взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо пары m (F,F')=+-F h (8)

Эквивалентность пар сил – две пары сил, действующие на одно и то же тв. тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению векторные моменты.

Теорема о сумме моментов сил пары: сумма векторных моментов сил, входящих в состав пары, относит. любой точки не зависит от выбора точки и равна векторному мом. этой пары

Сложение пар сил 1 (в пересек плоск): две пары сил, действующие на одно и то же тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил.

2( в одной плоск): пары сил, действующие на тв. тело и расположенные в одной плоскости, можно привести к одной паре, алгебраич мом которой равен сумме алгебраич мом составляющих пар.

Условия равновесия системы пар на плоскости – 1 для равновесия пар сил, приложенных к тв. телу, необх. и достат., чтобы алгебраическая сумма проекций векторных векторных моментов пар сил на каждую из 3 координатных осей была = 0.

2 для равновесия пар сил действ. на тв. тело в данной плоскости, необходимо и достаточно, что бы сумма алгебраических моментов этих пар сил была равна нулю.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси : момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов сил системы относит. той же точки