Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

х х х х ... х х х= х ,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

x v x = 1

1 x = 1

– постоянно истинное высказывание.

0 x = x

x₁ x₂ = x₂ x₁

- (переместительный) коммуникативный закон.

x₁ х₂ х₃ = (x₁ х₂) х₃ = x₁ (х₂ х₃)

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х х х х... х х х= х

правило приведения подобных членов:

1 x = х

0 x = 0 - постоянно ложное высказывание

x  x = 0 - постоянно ложное высказывание

6.Способы представления функций алгебры логики. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъ­юнктивная нормальная форма.

Логической функцией называется зависимость поведения выходных логических величин от изменения входных логических величин.

Задачей алгебры логики является поиск математического или функционального представления логических функций с целью ее непосредственного использования для управления объектом или процессом.

Имеются различные способы представления логических взаимодействий.

Табличный способ. При этом способе функция задается в виде таблицы истинности, представляющей собой совокупность всех комбинацийвходных переменных (левые столбцы) и соответствующих им значений функции (правый столбец).

СДНФ (Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций

в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причем в одинаковом порядке.

СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

7.Функции алгебры логики. Функционально-полные системы элементарных логических функций.

Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n переменных — в дискретной математике отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0 обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определенного смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения Bn называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа переменных часто обозначается P2, а от n переменных — P2(n). Булевы функции названы так по фамилии математика Джорджа Буля.

ФАЛ одного аргумента

Чтобы задать ФАЛ, нужно задать ее значения на всех наборах аргументов.

Эти функции можно реализовать на 4-х элементах, каждый из которых имеет максимум один вход. Таким образом, принципом подстановки аргументов для построения более сложных функций нельзя воспользоваться.

Необходимо рассмотреть более сложные функции, т.е. ФАЛ 2х аргументов.

Дадим такие определения:

ФАЛ, принимающие одинаковые значения на всех наборах аргументов, называются равными.

ФАЛ существенно зависит от аргумента Х_i, если