Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

УДК 519.21 (075) ББК 22.19 я 7 С 12

Савелова Т.И. Метод Монте-Карло: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 152 с.

Изложены элементы математической статистики и метод Монте-Карло. Рассматриваются основные способы математического моделирования случайных величин, применение метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, простейшие примеры в физике и экономике. Описан специализированный метод Монте-Карло моделирования нормальных распределений на группе вращений SO(3). В приложении 1 приведен пример тестирования датчика равномерно

распределенной случайной величины на (0,1) для персональных компьютеров, а в

приложении 2 – примеры применения методов статистического моделирования нормальных распределений на SO(3) в текстурном анализе при создании математических методов обработки экспериментальных данных в виде ориентаций отдельных зерен поликристаллов, получаемых методами электронной микроскопии.

Предназначено студентам специальности «прикладная математика», изучающих теорию вероятностей и математическую статистику, а также сотрудникам, желающим освоить основы метода Монте-Карло.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А.В. Крянев

ISBN 978-5-7262-1546-4

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011

Редактор Е.Г. Станкевич

Подписано в печать 15.12.2010. Формат 60×84 1/16

Печ. л. 9,5. Уч.-изд. л. 13,25. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/110. Заказ № 19

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31

ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, 42

Оглавление

5

Моим родителям посвящается

Среди других вычислительных методов

метод Монте-Карло выделяется

своей простотой и общностью.

С.М. Ермаков

Предисловие

Лекции по методам Монте-Карло, как составная часть годового курса «Теория вероятностей и математическая статистика», чита-

ются более десяти лет студентам факультета «Т». В четырех главах данного учебного пособия содержится в основном материал этих лекций.

Пятая глава посвящена специализированному методу Монте-

Карло для моделирования случайных вращений на группе SO(3),

подчиняющихся нормальному закону. Данный алгоритм разрабо-

тан М.В. Боровковым, моим учеником, в 2002 г. Понимание этого алгоритма возможно при знакомстве с математическим аппаратом теории представлений групп SU(2) и SO(3), связанных между со-

бой. Данный специализированный метод Монте-Карло применяет-

ся в текстурном анализе при изучении различных статистических характеристик поликристаллических материалов. В последние го-

ды в связи с развитием техники и методов электронной микроско-

пии стало возможным измерение 104–107 ориентаций зерен в об-

разце. При этом возникла необходимость развития математических методов обработки таких данных.

6

В пособии приведено множество примеров и рисунков, способ-

ствующих лучшему усвоению материала, есть задания для само-

стоятельной работы.

В приложении 1 рассказано о тестировании датчика псевдослу-

чайных чисел для персонального компьютера.

В приложении 2, написанном К.Н. Рогинским, приведены при-

меры численного моделирования на группе вращений SO(3) с ис-

пользованием алгоритма Монте-Карло.

В пособии полужирным шрифтом выделены ссылки на основ-

ную литературу. Остальные использованные источники являются дополнительными.

Автор выражает благодарность профессору Е.Б. Дынкину, про-

читавшему до сих пор незабываемые лекции по теории вероятно-

стей во время обучения на механико-математическом факультете МГУ, профессорам И.М. Соболь и Д.А. Василькову, общение с ко-

торыми повысило уровень знаний по теории вероятностей и мате-

матической статистике, заведующему кафедрой, профессору Н.А. Кудряшову и профессору А.В. Кряневу, способствовавших написанию данного пособия, а также М.В. Сыпченко – за техниче-

ское оформление рукописи.

7

В противоположность теории вероятностей

статистика – это раздел прикладной математики.

Д. Худсон

Глава 1. Элементы математической статистики

Данная глава посвящена понятиям математической статистики,

используемым в дальнейшем при изучении основ метода Монте-

Карло (метода статистических испытаний). В настоящее время на-

писано большое количество прекрасных монографий и учебных пособий по теории вероятностей (например, [1, 10, 21, 30]) и мате-

матической статистики ([1, 2, 6, 10, 15, 19, 29, 30]), а также задач-

ников по математической статистике (например, [3, 5, 9, 27]).

Математическая статистика – быстро развивающаяся область математики как в чисто теоретическом направлении, так и при-

кладном. Изучение фактора зависимости случайных величин и их реализаций на практике привело к появлению таких разделов ма-

тематической статистики, как «Регрессионный анализ», «Корреля-

ционный анализ», «Дисперсионный анализ» [2, 10, 19, 21, 30].

Учет влияния погрешностей измерения случайных величин и исследование устойчивости статистических характеристик привели к появлению термина «робастность» и многочисленным работам,

относящимся к этому направлению [13, 16, 28, 31].

8

1.1. Некоторые сведения из теории вероятностей

Пусть ξ , – случайная величина. Дискретная случай-

ная величина определяется законом распределения

величина может принимать и бесконечное (счетное) множество

тематическое ожидание дискретной случайной величины опреде-

ляется

n

Mξ xi pi ,

i 1

дисперсия –

Dξ M ξ Mξ 2 .

Математическое ожидание характеризует «среднее» значение слу-

чайной величины, а дисперсия – разброс случайной величины от-

носительно среднего значения.

Непрерывная случайная величина определяется плотностью распределения p x 0 , x , со свойствами

Выполняются свойства математического ожидания и дисперсии:

M ξ C Mξ C ;

M Cξ CMξ ;

Dξ Mξ2 Mξ 2 ;

D ξ C Dξ ;

D Cξ C2 Dξ ;

M ξ η Mξ Mη ;

D ξ η Dξ Dη .

Последние два свойства справедливы для независимых случайных величин.

Из непрерывных случайных величин в дальнейшем чаще всего нам понадобится равномерно распределенная на интервале (0,1)

случайная величина с плотностью

p(x) 1 , 0 x 1,

Mξ 12 ,

Dξ 121

и случайная величина, распределенная по нормальному закону