15. Поверхностный интеграл первого рода.

Поверхностные интегралы первого рода представляют собой обобщение двойного интеграла, аналогично тому, что криволинейный интеграл первого рода является обобщением простого определенного интеграла.

Дадим определение двухсторонней поверхности:

Поверхность называется двухсторонней, если какова бы ни была точка М₀ и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий через точку М₀ и не пересекающий границу поверхности, после обхода его мы возвращаемся в начальную точку М₀ с исходным направлением нормали.

Выбор стороны поверхности определяет ее ориентацию. С другой стороны выбор положительного направления обхода контура поверхности (со знаком плюс против хода часовой стрелки и со знаком минус по ходу часовой стрелки) однозначно определяет сторону поверхности.

Пусть S – двусторонне ориентированная гладкая поверхность. На замыканииS задана непрерывная функция f(x, y, z). Разобьем поверхность S с помощью сети произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части S_i. Пусть M_i (x_i, y_i, z_i) – произвольная точка поверхности S_i. Составим интегральную сумму:

где S_i – площадь S_i/

Предел этой суммы

будет называться поверхностным интегралом первого рода от функции f(x, y, z) по поверхности S при условии существования этого предела и обозначается:

Сведение поверхностного интеграла первого рода к обычному двойному интегралу.

Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x, y). Тогда:

где Е – проекция поверхности S на плоскость ху.

Кроме того, т.к.

где  - угол между нормалью к поверхности соответствующей точки и осью Oz. Тогда:

16. Поверхностный интеграл второго рода.

Рассмотрим двустороннюю поверхность и выберем на ней определенную ориентацию. Пусть поверхность задана уравнением z=z(x, y), Где (x, y)ER². Пусть далее в каждой точке этой поверхности определена некоторая функция f(x, y, z). Разобьем поверхность сетью кусочно-глад­ких кривых на элементарные поверхности S_i. Выберем на каждой поверхности S_i произвольную точку M_i(x_i, y_i, z_i). Вычислим значение функции в этой точке и умножим ее на площадь E_i, где E_i – проекция S_i на плоскость Oxy с определенным знаком (если фиксирована верхняя сторона поверхности S, то площадь берется положительной, если фиксирована нижняя сторона поверхности S – отрицательной). Составим интегральную сумму:

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра всех частей S_i к нулю, называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(x, y, z)dxdy, распространенным на выбранную сторону поверхности S и обозначается:

Если вместо плоскости xy элементы поверхности yz или xz, то получим еще два поверхностных интеграла второго типа:

или

В общем случае пишут:

функции P, Q и R – определены в каждой точке поверхности S.

Если поверхность S задана уравнением z=z(x, y) и если рассматривать интеграл по верхней стороне поверхности, то:

Если поверхность S задана уравнением z=z(x, y) и если рассматривать интеграл по нижней стороне поверхности, то: