Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КОЛОК3.DOC
Скачиваний:
1
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
257.54 Кб
Скачать

12. Криволинейный интеграл первого рода. Определение. Сведение к обычному интегралу. Пример.

Пусть кривая L определена параметрическими уравнениями х=(t) и y=(t) (tх[a, b]). Кривая незамкнутая и без точек самопересечения (L={(x, y) х=(t), y=(t), tх[a, b]})/

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна вдоль кривой L, т.е. ()(0)(x1, y1),(x2, y2)L)[((x1, y1),(x2,y2))f(x1, y1)-f(x2, y2)].

Разобьем [a, b] при помощи точек a=t1<t2<…<tn=b на n частичных отрезков [ti-1, ti] при i=1, 2, … , n, т.е. каждому значению ti на кривой соответствует точка Мi((ti), (ti)), то при указанном разбиении [a, b] вся кривая L=AB распадается на n частичных дуг (М0М1, М1М2,…,Мn-1,Mn).

Выберем на каждой частичной дуге Мn-1,Mn произвольную точку Ni(i, i), координаты которой отвечают некоторому значению i пара­мет­ра t, т.е. (i=i), i=i). При чем i[ti-1, ti] Пусть Li – длина i-той частичной дуги Мn-1,Mn (i=1, 2, … , n).

Составим интегральную сумму:

Назовем число I пределом интегральной суммы  при стремлении к нулю наибольшей из длин Li, если для любого 0 существует такое 0, что выполняется неравенство  - I<, если максимальная из длин дуг i<.

Определение: Если существует предел  при стремлении максимальной длины li0, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y) по кривой L и обозначается:

Замечание: Из вида интегральной суммы очевидно, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении от А к В или от В к А пробегается кривая, т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от нап­равления движения по пути интегрирования.

Механический смысл криволинейного интеграла первого рода.

Если (х, у) – линейно-непрерывная плотность нити L, то масса нити равна:

Экономический смысл криволинейного интеграла первого рода.

Если U(x,y) – удельная стоимость провоза груза в точке (х, у) пути L, то стоимость провоза груза по всему пути L равна:

Теорема о сведении криволинейного интеграла первого рода к обычному интегралу.

Если кривая L является гладкой, а функция f(x, y) непрерывной вдоль этой прямой, то интеграл по кривой f(x, y) существует и справедлива формула:

Ряд математических и прикладных задач приводят к криволинейным интегралам другого типа, например, если r =r(t) является радиус-вектором движущейся материальной точки, а F =F(t) сила действующая на эту точку, то естественно опре­делить работу силыF вдоль траектории L рассматриваемой точки как интеграл:

или еслиF(P(x, y), Q(x, y)), dr(dx, dy):

10. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах. Пример.

Рассмотрим сферические координаты. Пусть М некоторая точка пространства. Положение этой точки в пространстве можно определить тремя следующими величинами:

-  - длина радиус-вектора точки М;

-  - угол, составляемый радиус-вектором с осью Oz – полярной осью;

-  - угол, составляемый с осью х проек­цией ОМ (вектор)=cos(/2-)=sin радиус-вектора на плоскость ху.

0+, 0, 02, тогда х=sincos, y=sinsin, z=sin(/2-)=cos.

Система уравнений

осуществляет переход от полярных координат в пространстве к декартовым координатам.

Замечание: В этом случае мы сталкиваемся с нарушением взаимной однозначности соответствия: Плоскость =0 пространства (, , ) отобра­жа­ется в начале координат z=x=y=0, прямая =0(), = отображается в одну точку x=0, y=0, z=.

Мера множеств, где нарушается взаимооднозначное соответствие, равна 0.! Координатные поверхности сферических координат составляют три семейства:

1. =const – концентрические сферы с центром в начале координат;

2. =const – круговые конусы, осью которых служит ось z;

3. =const – полуплоскости, проходящие через ось z.

Пусть  - поверхность, описываемая в полярных координатах функцией =(, ) ((, )).

Функция (, ) непрерывна на замыкании , и пусть  - трехмерная область пространства (x, y, z), ограниченная поверхностью  и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются край . Тогда для непрерывной на функции f(x, y, z) имеет место равенство:

где F(, , )=f(sincos, sinsin, cos),

воспользовавшись формулой замены переменных в тройном интеграле. Т.к. 0, то cos0.

Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассмотрим элементарную область (в пространстве (x, y, z)), ограниченную сферами радиусов  и +d, конусами, определяемыми углами  и +d и полуплоскостями  и +d. Эту область можно приближенно принять за прямоугольный параллелепипед с измерениями AD=d, AB=d, AC=OMd= =sind. Т.к. дуга АС равна своей проекции MN, а последняя описана радиусом ОМ=sin и отвечает центральному углу d, то АС=sind. В силу этого объем рассматриваемой области с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен:

V=2sinddd

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.