66. Вероятное динамическое программирование. Полная вероятность и функция состояния в задаче максимизации вероятности достижения цели.
Данная задача относится к задаче max-ции ожидаемой прибыли, но направленная на max-цию вероятности достижения определенного уровня дохода. Модель ДП:
1. Этап i представляет i-й год инвестирования;
2. Альтернативами
на этапе i являются величины
.
3. Состояние
системы на этапе i описывается величиной
,
где
– сумма денежных средств, доступных
для инвестирования в начале i-го года
(
=C),
C – общая сумма инвестиций в год.
– сумма реальной инвестиции в начале i-го года ( ≤ )
Критерий -
max-ция вероятности достижения некоторой
накопленной денежной суммы S по истечению
n лет. Определим функцию
– вероятность накопления суммы S, если
в начале года имеются денежные средства
в сумме
,
и для последующих лет i, i+1, …, n используется
оптимальное инвестирование. Рекуррентное
уравнение ДП имеет вид:
где
k – номер условия на рынке и
– полученная прибыль.
Рекуррентная формула основана на формуле условной вероятности:
В
данной задаче,
играет роль вероятности
.
67. Вероятное динамическое программирование. Пример этапа расчета в задаче максимизация вероятности достижения цели.
Некий индивидуум планирует инвестировать 2000$. Имеющиеся варианты позволяют удвоить эту сумму с вероятностью 0.3 или потерять ее с вероятностью 0.7. Акции продаются в конце года, а в начале следующего все деньги или их часть снова инвестируются. Это процесс повторяется на протяжении трех лет. Целью являться max-ция вероятности достижения суммы в 4000$ в конце третьего года.
Таким образом,
c вероятностью 0.3;
с вероятностью 0.7.
Этап №3.
Состояние
может изменяться от 0 до 8000$. Min-ое значение
возможно, когда вся инвестиция потерянна,
а max-ое – когда инвестиция удваивается
в конце года из двух первых лет.
Рекуррентное уравнение имеет вид:
где, x3 = 0,1,…8.
Вычисления приведены ниже в таблице. Все заштрихованные ячейки – являются не подходящими, так как не удовлетворяют условию y3≤x3. При выполнении вычислений можно заметить, что
В противном случае эти вероятности равны 1. Из таблицы видно, что существуют альтернативные оптимумы для x3 = 1,3,4,5,6,7 и 8, последний столбец которых содержит лишь наименьшее оптимальное значение y3. Это объясняется тем, что инвестор не собирается инвестировать больше того, что необходимо для достижения поставленной цели.
|
|
Оптимум |
|||||||||
x3 |
y3=0 |
y3=1 |
y3=2 |
y3=3 |
y3=4 |
y3=5 |
y3=6 |
y3=7 |
y3=8 |
f3 |
y3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0.3 |
|
|
|
|
|
|
0.3 |
2 |
3 |
0 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
|
|
|
|
|
0.3 |
1 |
4 |
1 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
|
|
|
|
1 |
0 |
5 |
1 |
1 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
|
|
|
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
1 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
|
|
1 |
0 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
|
1 |
0 |
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
1 |
0 |
