69.Определение доходности и риска при формировании портфеля ценных бумаг

Портфель - это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор.

Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая до­ходность входящих в него бумаг, то есть:

где E(r p) - ожидаемая доходность портфеля за определенный период1;

E(r 1), E(r 2); E(r n) - ожидаемая доходность соответственно первой, второй и п-й бумаги; она рассчитывается как средняя арифметическая доходности бумаги за предыдущие пе­риоды времени;

Ɵ₁\Ɵ2\Ɵ_п- удельный вес в портфеле первой, второй и п-й бумаги.

Компактно формула (18.1) записывается следующим образом:

Удельный вес актива в портфеле определяется как отношение её стоимости к стоимости всего портфеля:При этом сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов равна единице.

где Ɵi-удельный вес i-го актива; Рi- стоимость i-го актива;Рр- стоимость портфеля.

Ожидаемый риск портфеля

Марковиц. оп­ределил риск при помощи хорошо известной статистической величины - вариации как меры возможных отклонений от ожидаемого (среднего) значения.

Использование вариации для измерения риска

В ариация, или дисперсия, случайной величины служит мерой разброса её значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая «степень отклонения» возможных конкретных значений от средней или ожидаемой до­ходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью. Формула для определе­ния вариации доходности актива записывается следующим образом:

вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения.дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям.

Стандартное отклонение. Поскольку вариация имеет размерность квадрата измеряе­мой величины, ее принято преобразовывать в стандартное отклонение, т.е. извлекать квадратный корень. Тогда риск (о) получает ту же размерность, что и доходность:

Риск тем больше, чем больше вариация (var) или стандартное отклонение(σ).

Ковариация и корреляция. Ковариация демонстрирует степень зависимости двух случайных величин.

Ковариация может принимать положительные, отрицательные значения и равняться нулю.

С вязь между ковариацией и корреляцией.

где сorrxу - коэффициент корреляции переменных X и Y; σ_х - стандартное отклонение переменной X;

σ_y- стандартное отклонение переменной Y.

Р иск портфеля двух активов с некоррелируемыми доходностями. В случае отсутствия корреляции между доходностями активов формула принимает вид:

Отсюда очевидно, что портфель активов с некоррелируемыми доходностями способен снизить риск.

К ак известно, можно получит портфель с минимальным риском при отсутствии корреля­ции доходностей двух активов. Для этого следует продифференцировать уравнение поƟxи приравнять его к нулю при том, что Ɵ_у= 1 –Ɵx:

Выводы для портфеля из двух активов.

1) если портфель состоит из активов с корреляцией +1, то возможно лишь усреднить, но не уменьшить совокупный риск; 2) если портфель состоит из активов с корреляцией меньше +1, его риск уменьшается по мере уменьшения корреляции доходностей активов, при этом сохраняется неизменный уровня ожидаемой доходности портфеля; 3) если портфель состоит из активов с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска; 4) при формировании портфеля следует подбирать активы с минимально возможной кор­реляцией.

Риск портфеля из нескольких активов

где σ²р - риск портфеля;

Ɵi - удельный вес i-roактива в портфеле;

Ɵj- удельный вес j-roактива в портфеле;

covij- ковариация доходностей i-roи j-roактивов.

Знак двойной суммы означает, что, раскрывая формулу 18.13, сначала следует взять значение i=1и умножить на него все значения jот 1 до п. Затем повторить данную операцию, но уже для i=2, и т.д. В итоге получим п² слагаемых:

Доминирующий портфель.

Портфель (актив) имеющий более высокий уровень доходности при том же уровне риска или более низкий риск при той же ожидаемой доходности, чем остальные портфели (ак­тивы), называется доминирующим.