2.3. Применение теоретико-групповых методов в теории чисел

Группы чисел, рассматриваемых по модулю

Рассмотрим аддитивные и мультипликативные группы из теории чисел по модулю m.

Определение 2. 3. 1. Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю т, если при делении на т они дают одинаковые остатки.

Обозначение: а b(mod т).

Замечания 1. Данное определение эквивалентно следующим: «Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю т, если (а - b) т»; «Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю т, если ( k Z) а-b= п · к».

2. Легко доказать следующие свойства сравнений:

1) (рефлексивность)( a Z) a а (mod т);

2) (симметричность) ( а, b Z) a b(mod т) b a(mod m);

3) (транзитивность)( a, b, c Z) a b(mod m) и b c(mod m ) a c(mod m).

Таким образом, отношение «сравнимости по модулю т» является отношением эквивалентности и разбивает множество всех целых чисел на классы эквивалентности, называемые классами вычетов по модулю т.

Определение 2. 3. 2. Множество целых чисел, которые при делении на число т дают одинаковые остатки, называется классом вычетов по модулю т.

Обозначение: Z_m = { } - множество классов вычетов по модулю т.

Пример. Z₅ = { } - множество классов вычетов по модулю 5.

Определение 2. 3. 3. Суммой (произведением) классов вычетов и по модулю т называется класс вычетов ( ) по модулю т, то есть класс чисел, содержащий число а + b (а ∙ b).

Пример. Пусть Z₆ = { } - множество классов вычетов по модулю 6.

1. Вычислим сумму:

2. Вычислим произведение:

Поскольку каждый класс вычетов по модулю т содержит бесконечное множество чисел, то при сложении (умножении) классов вычетов и по модулю т, числа а и b можно заменять любыми числами а¹ и b¹, принадлежащими этим же классам вычетов по модулю т.

Теорема 2. 3. 1. Сумма (произведение) классов вычетов по модулю т определяется однозначно и не зависит от выбора отдельных представителей классов вычетов по модулю т, используемых при составлении суммы (произведения).

Доказательство. 1. Пусть а¹ , b¹ , то а a(mod т), b¹ b(mod т). Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать, поэтому а¹ + b¹ a + b (mod т). Поскольку = a b(mod т), получаем , следовательно, . Таким образом, сумма классов вычетов по модулю т не меняется от замены а и b числами а¹ и b¹.

Сумма классов вычетов и по модулю т содержит сумму любых чисел а¹ и b¹, таких что а¹ , b¹ .

И наоборот, любое с + можно представить в виде с = а¹+ b¹, где а¹ , b ¹ .

Действительно, с означает, что с а + b (modт), тогда с - а b(mod т), с-а , то есть с можно представить в виде с = а¹+ b¹, где а¹=а а,b ¹ = с - а b.

2. Аналогично теорема доказывается для произведения классов вычетов.

Теорема 2. 3. 2. < Z_m, +> - группа.

Доказательство. Учитывая результат теоремы 2.3.1, заметим, что операция сложения определена корректно и является бинарной алгебраической на множестве Z_m. Остается проверить выполнимость аксиом аддитивной группы.

1) ассоциативность операции сложения в Z_m выводится из ассоциативности сложения целых чисел:

( , , Z_m) .

2) (существование нулевого элемента)

Роль нулевого элемента выполняет класс Z_m. Действительно:

( Z_m) + = + = .

2. (существование для каждого элемента противоположного ему)

Для класса Z_m противоположным классом является класс Z_m, то есть класс, содержащий число (- а). Действительно, .

Таким образом, < Z_m, + > - группа. Теорема доказана.

Пример. < Z₆ = { }, +> - группа.

Замечание. Легко доказать, что < Z_n, +, ∙> - коммутативное кольцо. Оно называется кольцом классов вычетов по модулю т.

Обозначим Z_p* =Z_p \ {0} - множество ненулевых классов вычетов по простому модулю р.

Теорема 2. 3. 3. Пусть р - простое число. < Z_p*, •> - группа.

Доказательство. Рассмотрим Z_p * ={ }множество

ненулевых классов вычетов по простому модулю р с операцией умножения

( , Z_p *) ,

Учитывая результат теоремы 2.3.1. заметим, что данная операция определена корректно и является бинарной алгебраической на множестве Z_p* . Остается проверить выполнимость аксиом мультипликативной группы.

1) ассоциативность операции умножения в Z_p* выводится из ассоциативности умножения целых чисел:

( , , Z_p*) .

2) (существование единицы). Очевидно, что роль единицы выполняет класс Z_p*. Действительно, ( Z_p *) .

3) (существование для каждого элемента ему обратного). Пусть Z_p * . Очевидно, что 1 а р, поэтому (а, р) = 1. Отсюда по теореме о линейном разложении НОД найдутся x, y Z_p * такие, что ах + рх = 1. Тогда или , так как , т.е. Z_p * есть вычет обратный к .

Примеры: 1. Z₃* = { }. Умножение в Z₃* зададим таблицей Кэли:

·

Из таблицы ясно, что: ( )^-1 = , ( )^-1 = .

2. Z₅* = { } Умножение в Z₅* зададим таблицей Кэли:

Доказательство некоторых теорем теории чисел

теоретико-групповыми методами

Теорема 2. 3. 4. Если Z_p, то

Доказательство. По теореме 2. 3. 3 < Z_p* , ·> — группа, | Z_p*| = р-1. Согласно следствия из теоремы Лагранжа, имеем: ( Z_p*) |Z_p*| | |. Обозначим | |= т. Получим (р-1) m, т.е. = m · d, d N. Но ( )^m = , поэтому . Домножим обе части равенства на , получим . Последнее равенство верно и для класса = . Итак, ( Z_p) .

Следствие 2. 3. 5. (Теорема Ферма). Пусть р - простое число, а N, тогда а^р a(mod т).

Доказательство непосредственно следует из предыдущей теоремы, так как (mod т).

Теперь рассмотрим множество классов вычетов по модулю т, где число т не обязательно простое.

Лемма 2. 3. 6. Числа а и от взаимно просты тогда и только тогда, когда класс вычетов по mod т обратим в Z_m (т.е. (а, т) = 1 ( Z_m) · = .

Доказательство. 1. Если а и т взаимно просты, то ab + mc = 1 для некоторых целых чисел b, с (по теореме о линейном разложении НОД). Переходя к классам вычетов по модулю т, получаем

= · + · = · + · = · .

2. Если · = , то a · b l (mod m), откуда и следует взаимная простота чисел а и т.

Примеры: 1. Среди классов вычетов по модулю 12 обратимы в Z₁₂ классы вычетов, соответствующие натуральным числам меньшим 12 и взаимно простым с 12: { }, здесь

2. Вычислим в Z₅. НОД (3, 5) = 1, так что класс существует.

Чтобы его найти, представим 1 в виде:

1= 3b + 5c, где a, b Z . (1)

Переходя к классам вычетов по модулю 5, получим:

= · + · = · + · = · , = .

Представление (1) можно найти с помощью алгоритма Евклида для чисел 5 и 3. Итак, 5= 3 · 1 + 2, 3= 2 · 1 + 1, 2= 2 · 1. НОД (5, 3)= 1= 3 - 2 · 1; 2= 5-3· 1, поэтому 1 = 3 - 2 · 1= 3 - (5 - 3) = 3 · 2 + 5 · (-1); = = .

Теорема 2. 3. 7. Пусть Z_m* - множество классов вычетов по модулю т, соответствующих натуральным числам меньшим п и взаимно простым с т. Тогда < Z_m*, ·> - группа.

Доказательство. Опираясь на свойство взаимно простых чисел (если (а, т)= 1 и (b, т) = 1, то (а · b, т) = 1 и равносильность (a · b,m) = 1 класс обратим, (см. лемму 2. 3. 6.) легко доказать, что умножение является бинарной алгебраической операцией в Z_m*. Ассоциативность проверяется аналогично п. 1) доказательства теоремы 2. 3. 3. Класс Z_m играет роль единицы в Z_m*. Обратимость элементов в Z_m* следует из леммы 3. 5. 6.

Определение 2. 3. 4. Количество натуральных чисел, меньших т и взаимно простых с т называется функцией Эйлера (и обозначается (т)).

Замечание. Очевидно, что | Z_m* | = (т).

Теорема 2. 3. 8. (Теорема Эйлера) Пусть (а, т) = 1, (а, т N). Тогда

a (mod m).

Доказательство. Пусть Z_m*. Имеем: | Z_m* | | |, но | Z_m* | = (т), поэтому (т) : | | или (т)= | |· k (при некотором натуральном k). Тогда

( ) = ( ) = ( )^k = . Равенство ( ) = эквивалентно условию а 1(mod m). Теорема Эйлера доказана.

Теорема Эйлера доставляет еще один способ вычисления обратного класса : если а и т взаимно просты, то = .

Пример. Вычислим класс в Z₁₁. НОД (5, 11) = 1, так что класс существует. (11)= 10, поэтому = . Далее 5² =25 3 (mod 11)., возведем обе части сравнения в 4-ую степень:

5⁸ 3⁴ = 81 4 (mod 11), 5⁹ 5 · 4 = 20 9 (mod 11). Итак, = .

Теорема 2. 3. 9. Кольцо классов вычетов < Z_m , +, · > является полем тогда и только тогда когда т - простое число.

Доказательство. Z_т - коммутативное кольцо. Оно является полем, если содержит более одного элемента (т.е. т > 1), и для каждого ненулевого элемента в Z_m существует обратный.

Если т - простое число, то все числа 1, 2 , ... , т - 1 взаимно просты с т, поэтому для каждого из ненулевых классов , ,..., существует обратный класс. Итак, в случае простого т кольцо Z_m - поле.

Пусть т - составное число, т = ab, 1 < а < т. Тогда (а не делится на т) и НОД (а, т) = а 1, т. е. не существует обратного класса , и поэтому Z_m не является полем. Теорема доказана.

Теорема 2. 3. 10. (Теорема Вильсона). Натуральное число т 1 является простым тогда и только тогда, когда справедливо следующее сравнение:

(m - 1)! + 1 0 (mod m).

Доказательство. Очевидно, что для составного числа т данное сравнение неверно. При т = 2 сравнение верно.

Пусть дано нечетное простое число т. В группе Z_m*={ , ,..., } только последний элемент имеет порядок 2. Поэтому все неединичные элементы, кроме , разбиваются на пары взаимно обратных элементов. Следовательно, перемножая все элементы этой абелевой группы, мы получим ! = . Переходя от классов вычетов по модулю т к целым числам, получим требуемое сравнение.

Лемма 2. 3. 11. Z_m × Z_n Z_mn (m, п) = 1.

Доказательство. 1. Пусть g — образующий элемент в группе Z_m, a h - образующий элемент в группе Z_n и пусть r - порядок элемента (g, h) в группе Z_m × Z_n. Так как (g, h)^mn = (g^mn, h^mn) = (e₁, e₂), то r mn. А так как (g^r, h^r)= (g, h)^r = (e₁, e₂), то r делится на m и на n . Если т и п взаимно просты, то получаем, что r = тп и (g, h) - образующий в группе Z_m × Z_n. Следовательно, Z_m × Z_n = Z_mn.

2. Если m и n не взаимно просты, то для их наименьшего общего кратного k имеем k < mn. Пусть k = mk₁ и k = nk₂. Если g и h – произвольные элементы групп Z_m и Z_n, то g^m = e₁, hⁿ = e₂. Поэтому

(g, h)^k = (g^mk1, h^nk2) = (e¹, e²).

Так как k < mn, то получаем, что в этом случае в группе Z_m × Z_n нет элементов порядка mn и, следовательно, группы Z_m × Z_n и Z_m не изоморфны.

Теорема 2. 3. 12. (Теорема о мультипликативности функции Эйлера) (m · n) = (m) · (n) для любых взаимно простых натуральных чисел m и n.

Доказательство.

(m n) = |Z*_mn| = |(Z_m × Z_n)*| = |Z*_m × Z*_n| = |Z*_m| · |Z*_n| = (m) · (n)

Здесь мы воспользовались тем, что |Z*_mn| = (m · n), |Z*_m| = (m), |Z*_n| = (n) и применим лемму 2. 3. 11.