144

Несобственные интегралы.

Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.

Н о на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).

Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).

Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл имеет смысл при b>a.

Определение. Если существует конечный предел

(1),

То этот предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a;+∞) и обозначают .

Т.о. по определению имеем: =

Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае - расходящимся.

Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1. исследование вопроса о сходимости данного интеграла;

2. вычисление значения интеграла, если он сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:

= (2)

Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).

Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда

= + (3)

При этом интеграл сходящийся. Если хотя бы один из интегралов или расходится, то не собственный интеграл называется расходящимся.

Это определение не зависит от выбора числа а.

Пример 1. I= = = +

= =0- =

= = -0=

I= + =

Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: (a>0).

Пусть р1, тогда

= =

При b это выражение имеет пределом , если р<1 или конечное число , если р>1.

Если р=1, то = =

При b это выражение имеет пределом .

Т.о. интеграл (a>0) при р>1 сходится и имеет значение , а при р1 – расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

П ри f(x)≥0 интеграл выражает площадь области, ограниченной кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Несобственный интеграл выражает площадь бесконечной области, заключенной между кривой у=f(x), осью Ох и прямой х=а. Аналогично определяет геометрический смысл интегралов и .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= (локон Аньези) и осью Ох.

Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Т.к. =0, то ось Ох является горизонтальной асимптотой. Следовательно, требуется найти конечную площадь бесконечной области, т.е. требуется вычислить несобственный интеграл .

Т.к. функция у= четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, следовательно,

S= =2 =2 =2 (arctg t-arctg 0)=2 =π.

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение.