104

Алгебраические многочлены. Разложение многочленов на множители.

Определение. Алгебраическим многочленом n-й степени (nN) называется выражение вида: P_n(z)=c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n (1)

где z=x+iy, c₀,c₁,…,c_n-1,c_n – постоянные комплексные числа (c₀≠0).

Алгебраическим многочленом нулевой степени называется любая комплексная постоянная.

Пусть P_n(z) и _m(z) (deg P=n, deg =m) - алгебраические многочлены, причем mn, тогда имеет место равенство:

P_n(z)=_m(z)Q(z)+R(z) (2)

где Q(z) и R(z) – некоторые алгебраические многочлены, причем

deg Q(z)=deg P_n(z)-deg _m(z)=n-m, deg R(z)<deg _m(z).

Операция по нахождению алгебраических многочленов Q(z) и R(z) по заданным многочленам P_n(z) и _m(z) называется делением многочлена P_n(z) на _m(z). P_n(z) - делимое, _m(z) – делитель, Q(z) – частное, R(z) – остаток от деления P_n(z) на _m(z).

(Производится при помощи алгоритма Евклида)

(Любой алгебраический многочлен делится на отличный от нуля многочлен нулевой степени).

Определение. Комплексное число а называется корнем алгебраического многочлена P_n(z), если P_n(а)=0 (3)

Теорема 1. Алгебраический многочлен P_n(z) ненулевой степени делится без остатка на двучлен (z-a) без остатка лишь тогда, когда а является корнем P_n(z).

Доказательство. Для P_n(z) и ₁(z)=z-a запишем соотношение (2):

P_n(z)=(z-а)Q(z)+R(z) (4)

Т.к. deg R(z)<deg (z-а)=1, то R(z) – алгебраический многочлен нулевой степени, т.е. R(z)=const=C.

Тогда соотношение (4) примет вид: P_n(z)=(z-а)Q(z)+С (5)

Положив в (5) z=a, получим P_n(а)=(а-а)Q(а)+С, т.е. P_n(а)=С.

Т.о. P_n(z) делится без остатка на (z-а) лишь тогда, когда P_n(а)=0, т.е. когда а является корнем многочлена P_n(z). Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть имеется алгебраический многочлен

P_n(z)=c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n

Если P_n(z)0, то c₀=c₁=…=c_n-1=c_n=0.

Доказательство. По условию P_n(z)0, т.е. c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n0 (6)

Т.к. левая часть (6) равна нулю z, то положим в (6) z=0, получим c_n=0. Тождество (6) может быть переписано в виде: z(c₀z^n-1+c₁z^n-2+…+c_n-1)0 (7)

Тождество (7) имеет место лишь тогда, когда

c₀z^n-1+c₁z^n-2+…+c_n-10 (8)

Положив в (8) z=0, получим c_n-1=0.

Проводя аналогичные рассуждения, получим c_n-2=0, c_n-3=0,…, c₁=0, c₀=0. ч.т.д.

Теорема 3. Пусть имеются алгебраических многочлена степени n:

P_n(z)=c₀zⁿ+c₁z^n-1+…+c_n-1z+c_n и P^*_n(z)=c^*₀zⁿ+c^*₁z^n-1+…+c^*_n-1z+c^*_n.

Если P_n(z)P^*_n(z), то c₀=c^*₀, c₁=c^*₁…c_n-1=c^*_n-1,c_n=c^*_n.

Доказательство. По условию P_n(z)P^*_n(z)P_n(z)-P^*_n(z)0

(c₀-c^*₀)zⁿ+(c₁-c^*₁)z^n-1+…+(c_n-1-c^*_n-1)z+(c_n-c^*_n)0.

В силу теоремы 2, последние тождество имеет место лишь тогда, когда

c₀-c^*₀=0, c₁-c^*₁=0,…c_n-1-c^*_n-1=0, c_n-c^*_n=0, т.е. когда

(c₀-c^*₀)zⁿ+(c₁-c^*₁)z^n-1+…+(c_n-1-c^*_n-1)z+(c_n-c^*_n)0 ч.т.д.

Основная теорема алгебры. Всякий алгебраический многочлен P_n(z) ненулевой степени (n1) имеет хотя бы один корень.

Следствие. Алгебраический многочлен P_n(z) степени n1 имеет ровно n корней.

Доказательство (?). По условию, P_n(z) - алгебраический многочлен степени n1. По основной теореме алгебры он имеет хотя бы один корень. Обозначим этот корень через а₁. Тогда P_n(z) можно представить в виде:

P_n(z)=(z-a₁)P_n-1(z) (9)

Где P_n-1(z) - алгебраический многочлен степени (n-1).

Если n-10, т.е. если n>1, то P_n-1(z) - алгебраический многочлен ненулевой степени, и, следовательно, по основной теореме алгебры он имеет хотя бы один корень. Обозначим этот корень через а₂. Тогда P_n-1(z) можно представить в виде:

P_n-1(z)=(z-a₂)P_n-2(z) (10)

Где P_n-2(z) - алгебраический многочлен степени (n-2).

Продолжая этот процесс аналогичным образом, на n-м шаге будем иметь:

P₁(z)=(z-a_n)P₀(z)

Где P₀(z) - алгебраический многочлен нулевой степени, т.е. P₀(z)=с.

Тогда P₁(z)=(z-a_n)с (11)

Учитывая (9), (10), (11), можно написать, что

P_n(z)=с(z-a₁)(z-a₂)…(z-a_n) (12) - разложение многочлена P_n(z) на множители. Причем, с=с₀, a₁,a₂,…,a_n корни P_n(z).