Одна и та же по наименованию величина в одних условиях может быть постоянной, в других – переменной. Например, объем комнаты – величина постоянная, а объем резинового шарика во время наполнения его газом – переменная величина.
Переменная величина является отвлеченной или числовой переменной. Ее обозначают каким-либо символом (буквой), которому приписывают числовые значения.
Переменная считается заданной, если указано множество Х значений, которые она может принять.
Постоянную величину удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество Х состоит из одного элемента.
Определение функции.
Зависимая-независимая переменная…
Множество Х называется множеством задания функции, множество Y - множеством изменения функции.
Примеры. …
1) Функция
Дирихле,
2) y=sgn
x=
(signum)
X=(-;+),Y={-1,0,1}
3) у=[х] – целая часть от числа. у={x} – дробная часть числа.
-
Пусть дано отображение
,
и
.
Тогда суже́нием
функции F
на M
называется функция
,
определяемая равенством
.
Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
-
Пусть
.
Тогда о́бразом
множества M
называется подмножество Y,
определяемое равенством
.
Множество
называется
образом
отображения
и
обозначается
.
Пусть f:
X→Y.
Если х0
X,
то соответствующий ему элемент у0=f(x0)
Y
называется образом
х0
(при отображении f).
Совокупность
всех элементов х
X,
образом которых является данный элемент
у0
В,
называется прообразом
(полным
прообразом)
элемента у0
(и обозначается
f-1(y0))
-
Пусть задано отображение
,
и
y
= F(x).
Тогда x
называется проо́бразом
y,
а y
называется о́бразом
x.
Согласно определению отображения,
каждый элемент
должен
иметь ровно один образ, но элемент
может
не иметь прообразов либо иметь один
или несколько.
-
Например, пусть дана функция
,
где F(x)
= x2.
Тогда
-
y = − 1 не имеет прообразов;
y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
y = 1 имеет два прообраза: x1 = 1 и x2 = − 1.
-
Пусть задано отображение
,
и
.
Тогда множество
называется
по́лным
проо́бразом
элемента y.
Полный прообраз обозначается F
- 1(y).
-
Например, пусть
,
и F(x)
= sinx.
Тогда
-
.
-
Пусть
.
Тогда проо́бразом
множества N
называется подмножество X,
определяемое равенством
.
-
Например, пусть
,
и F(x)
= cosx.
Тогда
,
.
Свойства прообразов и образов
-
;
-
;
-
;
-
.
Заметим отсутствие равенства в этом
случае.
Обратная функция.
Определение. Пусть функция f:A→B.
1) Если для любых двух различных элементов х1 и х2 из А их образы у1=f(x1) и у2=f(x2) также различны,
х1≠х2
f(x1)≠f(x2)
(f(x1)=f(x2)
x1=x2).то
отображение f
называется инъекцией.
Отображение
называется
инъекцией
(или вложением,
или отображением
в Y),
если разные элементы множества
X
переводятся в разные элементы множества
Y.
Т.е. если х1х2f(x1)f(x2).
Формально это
значит, что если два образа совпадают,
то совпадают и прообразы (
).
Инъективность является необходимым
условием биективности
(достаточно вместе с сюръективностью).
(Инъекцию можно
также определить как отображение, для
которого существует левое обратное,
т.е.
инъективно,
если существует
такое,
что
.)
Примеры
-
—
инъективно.
-
—
инъективно.
-
—
не является
инъективным (F(
- 2) = F(2)
= 4).
2) Отображение
называется
сюръективным
(или сюръекцией,
или отображением
на Y),
если каждый элемент
множества Y
является образом
хотя бы одного элемента множества X,
т. е.
.
Т.е. если f(X)=Y
или
такое, что y=f(x),
то отображение f
действует на
Y
(отображение «на»).Такое
отображение также называется сюръекцией.
В общем случае, т.е. когда f(X)Y, говорят, что f есть отображение X «в» Y.
|
|
Эквивалентные определения
Следующие свойства
отображения
эквивалентны:
-
F сюръективно
-
каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз во множестве X при отображении F.
-
образ множества X при отображении F(X) совпадает с Y
-
F имеет правое обратное отображение, т.е. такое отображение
,
что F(G(y))
= y
для любого
.
Примеры
-
—
сюръективно.
-
—
сюръективно.
-
—
не является
сюръективным.
Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между А и В.
В этом случае множества А и В находятся во взаимно однозначном соответствии.
Функция
называется
биекцией
(и обозначается
),
если она:
-
Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
-
.
Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
-
.
Биекцию также называют взаимно однозначным отображением.
(Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.)
|
|
Примеры
-
(
—
функция, сохраняющая все элементы
множества X,
биективна на этом множестве.)
-
—
биективные функции
из
в себя. Вообще, любой моном
одной переменной
нечетной
степени
является биекцией.
-
f(x) = ex — биективная функция в
.
Но если её рассматривать как функцию
в
,
то она уже не будет биективной (у нуля
и отрицательных чисел
не будет прообразов).
-
f(x) = sinx не является биективной функцией, если считать её определённой на всём
.
-
Функция
является
биективной тогда и только тогда, когда
существует обратная
функция
такая,
что
и
.
-
Если функции f и g биективны, то и композиция функций
биективна,
в этом случае
.
Коротко: композиция
биекций является биекцией.
Обратное, вообще говоря, неверно: если
биективна,
то мы можем утверждать лишь, что f
инъективна, а g
сюръективна.
Можно определить новую функцию:
f-1:B→A, x=f-1(y) – обратная функция, относительно f.
Примеры.
1) f(x)=ex (график)
f:(-∞;+∞)→(0;+∞) f-1: (0;+∞)→(-∞;+∞)
ex=y 
x=ln y. f-1=ln
x
2) y=x2 (график)
f:(-∞;+∞)→[0;+∞)
Функция не является (не является инъекцией) взаимно однозначной.
Рассмотрим только одну ветвь f: [0;+∞)→[0;+∞)
x2=y
x=
f-1(x)=
Любая строго монотонная функция имеет обратную (т.к. является взаимно однозначной).