Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1_2_3_6_7_8po_linalu.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.09.2019
Размер:
589.27 Кб
Скачать

Определение

Квадратной матрицы А = [IJ] называется симметричным, если для всех, и все у:

IJ = ц

Два элемента, которые являются симметричными по отношению к первой диагонали равны: симметричная матрица, следовательно, равна его перенести.

Семейство симметричных матриц особенно богат в «хороших» свойств. В частности, собственные (реальная) матрица симметрична реальны, как и его собственные. Кроме того, эти векторы образуют базу ортонормированной (см. ниже) ..

Симметричные матрицы, статистики и моделирования

Статистики и моделирования данных призываем симметричных матриц во многих случаях:

* Ковариационная матрица симметрична по определению (и, кроме того является неотрицательно, см. ниже).

* Матрицу проекции (см. ниже) проецирует данные на пространстве линейное подпространство. Анализ главных компонентов ( PCA ) и линейной регрессии могут быть интерпретированы как с точки зрения проекции на подпространства, и, следовательно, с точки зрения проекции матрицы.

* Ridge регрессии можно интерпретировать как изменение регрессии на главных компонент, который работает на спектральное разложение (см. ниже) ковариационной матрицы данных.

* Создание свойств квадратичных форм в нормальных случайных величин также зависит от проекции матрицы.

Собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы

Симметричные матрицы пользоваться многими важными свойствами. В учебник ниже, мы будем создавать некоторые из этих свойств, которые будут необходимы в других местах этого сайта.

Собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы реальные

* Собственных значений симметричной матрицы, являются реальными. Напомним, что только потому, что коэффициенты матрицы реального, конечно, не означает, что собственные значения этой матрицы являются реальными.

* (Реальный) собственное значение может быть связан с комплексом собственного. Но это то всегда можно найти реальный собственный, связанные с этим собственное. Мы будем рассматривать только эти реальные векторы, и мы поэтому считаем, что собственные векторы симметричной матрицы, являются реальными.

Собственных векторов симметричной матрицы, ортогональны

Мы покажем, что две собственные, связанные с двумя различными значениям, ортогональны. Следствием является то, что, если все собственные значения матрицы различны, нормированные собственные векторы образуют ортонормированный отсчета.

Этот результат остается в силе, даже если есть несколько собственных, но затем немного сложнее, и мы вынуждены констатировать, без доказательства.

-----

Таким образом, вполне обычно:

Собственных векторов симметричной матрицы образуют ортонормированный базис.

Спектральное разложение симметричной матрицы

Обозначим через U, квадратная матрица порядка р, столбцами которой являются собственные векторы симметричной матрицы. Мы покажем, что:

= UDU "

где D = Diag ( 1, 2, ... , п)-диагональная матрица собственных значений.

Это фундаментальное выражение называется спектральное разложение симметричной матрицы.

В собственных форм базы ортонормированной, матрица U является ортогональной матрицей.

-----

Расширение этого выражения приводит к:

= я I U I U я "

где г} есть множество векторов.

Обратите внимание на формальное сходство с расширением сингулярного разложения матрицы.

Мы видим , что оно может быть истолковано с точки зрения проекторы на собственные векторы.

-----

Этот результат является центральным для многих вопросов, связанных с ковариационной матрицы, в частности:

* В анализ главных компонент,

* В гребневой регрессии.

---------------------------------------------

Две семьи под-семейства симметричных матриц имеют свойства и интерпретаций, которые являются полезными для статистики:

* Матрицы проекции,

* И положительный (полу-) определенных матриц.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]