Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1_2_3_6_7_8po_linalu.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.09.2019
Размер:
589.27 Кб
Скачать

1)

 Определение линейного пространства

Пусть M —множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

  • паре элементов множества  отвечает элемент  , называемый суммой x и y;

  • паре  — любое действительное число, отвечает элемент  , называемый произведением числа   и элемента x.

Будем называть множество M линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов  и произвольных чисел   справедливо:

  1. , сложение коммутативно;

  2. ,сложение ассоциативно;

  3. существует единственный нулевой элемент  такой, что  ;

  4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент -x такой, что  ,

  5. , умножение на число ассоциативно;

  6. ;

  7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

  8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1—8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространствома его элементы — векторами.

 Некоторые свойства линейных пространств

Утверждение 1. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент — единственный.

Утверждение 2. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент равен произведению произвольного элемента на действительное число 0.

Оба утверждения доказаны на лекции.

Следующие 3 утверждения предложены в качестве упражнений к лекциям.

Утверждение 3. В произвольном линейном пространстве каждому элементу отвечает единственный противоположный элемент.

Утверждение 4. В произвольном линейном пространстве противоположный элемент произвольного элемента x равен произведению x на действительное число -1.

Утверждение 5. В произвольном линейном пространстве для любых двух произвольных элементов x и y существует и единственна разностьx-y = x+(-1) ·y.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Нетрудно показать, что рассмотренное в п. 2.1. пространство арифметических векторов Rn является линейным пространством.

Пример 2. Рассмотрим множество M арифметических векторов из Rn, компоненты которых — целые числа.

Это множество не является линейным пространством.

Действительно, рассмотрим вектор x = (1, 1, …, 1) и действительное число a=0.5. Компоненты вектора x — целые числа, он принадлежит множеству M, но компоненты произведения  ax = (0.5, 0.5, …, 0.5) не являются целыми числами, и, следовательно, ax не принадлежит множеству M.

Пример 3. Рассмотрим множество M n многочленов с действительными коэффициентами относительно одного переменного, n-й степени, n>1, с определенными для многочленов операциями сложения и умножения на число.

M n = {PnPn (t) = antn + an-1t n-1 + … + a1t + a0an не равно 0}

Это множество не является линейным пространством.

Действительно., рассмотрим Pn = t n + t и Qn = - t n. Оба эти многочлена принадлежат множеству. Однако их сумма,  Pn + Qn = (t n + t) + (- t n) = -t,

Не принадлежит M n, поскольку -t — многочлен первой степени, а множество M n содержит многочлены n-й степени,  n >1.

Пример 4. Рассмотрим множество M n многочленов с действительными коэффициентами относительно одного переменного, степени не выше nn>1, с определенными для многочленов операциями сложения и умножения на число:

M n = {PnPn (t) = antn + an-1t n-1 + … + a1t + a0},

В отличие от предыдущего примера не требуется, чтобы старший коэффициент был отличен от нуля.

Pn + Qn = Pn (t) + Qn (t) =

= (antn + an-1t n-1 + … + a1t + a0) + (bntn + bn-1t n-1 + … + b1t + b0)=

= (anbn)tn + (an-1bn-1)t n-1 + … + (a1b1)t +(a0b0),

?Pn = ?Pn (t) = ? (antn + an-1t n-1 + … + a1t + a0) = ?antn + ?an-1t n-1 + … + ?a1t + ?a0.

Это множество является линейным пространством.

Действительно.

Во-первых, при сложении многочленов и умножении многочлена на число получается многочлен, степень которого не выше n. Т.е. каждой паре многочленов из Mn соответствует их сумма — многочлен из Mn . Точно так же, произведением произвольного многочлена на действительное число является многочлен той же степени, т.е. каждому многочлену из Mnи каждому действительному числу ? соответствует их призведение — многочлен из Mn .

Во-вторых. Операции сложения многочленов и умножения многочлена на число — это операции с коэффициентами многочлена, которые являются действительными числами. А для сложения и умножения действительных чисел имеют место равенства 1-8. Нулевым элементом в Mn является многочлен нулевой степени с нулевыми коэффициентами

 =(t) = tn + 0·t n-1 + … + 0·t + 0 = 0

И для каждого многочлена

Pn = Pn (t) = antn + an-1t n-1 + … + a1t + a0

Определен противоположный многочлен:

-Pn = -Pn (t) = -antn - an-1t n-1 - … - a1t - a0

2) Определение линейной зависимости системы векторов линейного пространства

Говорят, что вектор   линейного пространства L линейно выражается через векторы  , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов  , т.е. представить в виде  .

Определение. Система   векторов произвольного линейного пространства линейно независима если из равенства   следует равенство нулю всех коэффициентов  .

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Пример 1. Векторы a = (1, 1, 1), b = (1, 2, 1) и с = (2, 3, 2) из Rлинейно зависимы, поскольку  a + b - с = 0.

Пример 2 Векторы = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) и = (0, 0, 1) из Rлинейно независимы, поскольку  c1i + c2 j + c3k = 0 означает, что

(c1c2c3) = (0, 0, 0),

а это возможно только если

ccc3 = 0.

 Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Система   векторов произвольного линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда  хотя бы один вектор системы векторов      линейно выражается через остальные векторы системы.

РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Число k называется  размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dim= k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается Lk.

ПРИМЕР

Векторы i и j — линейно независимая система векторов линейного пространства геометрических радиусов-векторов плоскости R2 .

Рассмотрим произвольную систему из трёх векторов x, y.

На рисунке показано, что вектор z линейно выражается через векторы x и yz = α1·x + α2·y.

Итак, в пространстве R2 существует система из двух линейно независимых векторов ( i , j), а любые три вектора образуют линейно зависимую систему. То есть размерность пространства R2 равна 2, dim R2 = 2.

НИЖЕ ЕЩЕ ПРО РАМЕРНОСТЬ, НО ТАМ ВМЕСТЕ С БАЗИСОМ, БАЗИС ПРИСУТСТВУЕТ В ВОПРОСЕ №3

Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dimXn — размерность пространства Xn .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

  1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

  2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называетсябесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e1e2, … , en  X называется базисом в X , если

  • система векторов e1e2, … , en линейно независима;

  • любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

    x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.

    (1)

  • Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1e2, … , en .

  • Коэффициенты ξ1, ξ2, … , ξn в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.

  • Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42).

  • Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e1e2, … , en называются координатами вектора x в этом базисе.

  • Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξi = eix и для вектора x = {ξ1, ξ2, … , ξn} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

          

    ξ1

    ξ2

    ξn

          

  • который называется координатным столбцом вектора x .

  • В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.

  • Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43).

  • Замечания.

  • 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

  • 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. С.Г. Крейна (М.: Наука, 1972).

  • 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.

  • Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44).

  • Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1e2, … , en — некоторый базис в Xn . Тогда:

    1. При сложении векторов их координаты складываются.

    2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

  1. eix + y = eix + eiy ;

  2. ei, αx = αeix .

Это означает, что скобки  · , ·  обладают свойством линейности по второму аргументу.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]