1)

 Определение линейного пространства

Пусть M —множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

• паре элементов множества  отвечает элемент  , называемый суммой x и y;

• паре  ,  — любое действительное число, отвечает элемент  , называемый произведением числа   и элемента x.

Будем называть множество M линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов  и произвольных чисел   справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

3. существует единственный нулевой элемент  такой, что  ;

4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент -x такой, что  ,

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1—8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы — векторами.

 Некоторые свойства линейных пространств

Утверждение 1. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент — единственный.

Утверждение 2. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент равен произведению произвольного элемента на действительное число 0.

Оба утверждения доказаны на лекции.

Следующие 3 утверждения предложены в качестве упражнений к лекциям.

Утверждение 3. В произвольном линейном пространстве каждому элементу отвечает единственный противоположный элемент.

Утверждение 4. В произвольном линейном пространстве противоположный элемент произвольного элемента x равен произведению x на действительное число -1.

Утверждение 5. В произвольном линейном пространстве для любых двух произвольных элементов x и y существует и единственна разность:  x-y = x+(-1) ·y.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Нетрудно показать, что рассмотренное в п. 2.1. пространство арифметических векторов Rⁿ является линейным пространством.

Пример 2. Рассмотрим множество M арифметических векторов из Rⁿ, компоненты которых — целые числа.

Это множество не является линейным пространством.

Действительно, рассмотрим вектор x = (1, 1, …, 1) и действительное число a=0.5. Компоненты вектора x — целые числа, он принадлежит множеству M, но компоненты произведения  ax = (0.5, 0.5, …, 0.5) не являются целыми числами, и, следовательно, ax не принадлежит множеству M.

Пример 3. Рассмотрим множество M ⁿ многочленов с действительными коэффициентами относительно одного переменного, n-й степени, n>1, с определенными для многочленов операциями сложения и умножения на число.

M ⁿ = {P_n| P_n (t) = a_ntⁿ + a_n-1t ⁿ-1 + … + a₁t + a₀, a_n не равно 0}

Это множество не является линейным пространством.

Действительно., рассмотрим P_n = t ⁿ + t и Q_n = - t ⁿ. Оба эти многочлена принадлежат множеству. Однако их сумма,  P_n + Q_n = (t ⁿ + t) + (- t ⁿ) = -t,

Не принадлежит M ⁿ, поскольку -t — многочлен первой степени, а множество M ⁿ содержит многочлены n-й степени,  n >1.

Пример 4. Рассмотрим множество M ⁿ многочленов с действительными коэффициентами относительно одного переменного, степени не выше n, n>1, с определенными для многочленов операциями сложения и умножения на число:

M ⁿ = {P_n| P_n (t) = a_ntⁿ + a_n-1t ⁿ-1 + … + a₁t + a₀},

В отличие от предыдущего примера не требуется, чтобы старший коэффициент был отличен от нуля.

P_n + Q_n = P_n (t) + Q_n (t) =

= (a_ntⁿ + a_n-1t ⁿ-1 + … + a₁t + a₀) + (b_ntⁿ + b_n-1t ⁿ-1 + … + b₁t + b₀)=

= (a_n+ b_n)tⁿ + (a_n-1+ b_n-1)t ^n-1 + … + (a₁+ b₁)t +(a₀+ b₀),

?P_n = ?P_n (t) = ? (a_ntⁿ + a_n-1t ⁿ-1 + … + a₁t + a₀) = ?a_ntⁿ + ?a_n-1t ⁿ-1 + … + ?a₁t + ?a₀.

Это множество является линейным пространством.

Действительно.

Во-первых, при сложении многочленов и умножении многочлена на число получается многочлен, степень которого не выше n. Т.е. каждой паре многочленов из Mⁿ соответствует их сумма — многочлен из Mⁿ . Точно так же, произведением произвольного многочлена на действительное число является многочлен той же степени, т.е. каждому многочлену из Mⁿи каждому действительному числу ? соответствует их призведение — многочлен из Mⁿ .

Во-вторых. Операции сложения многочленов и умножения многочлена на число — это операции с коэффициентами многочлена, которые являются действительными числами. А для сложения и умножения действительных чисел имеют место равенства 1-8. Нулевым элементом в Mⁿ является многочлен нулевой степени с нулевыми коэффициентами

 =(t) = 0·tⁿ + 0·t ⁿ-1 + … + 0·t + 0 = 0

И для каждого многочлена

P_n = P_n (t) = a_ntⁿ + a_n-1t ⁿ-1 + … + a₁t + a₀

Определен противоположный многочлен:

-P_n = -P_n (t) = -a_ntⁿ - a_n-1t ⁿ-1 - … - a₁t - a₀

2) Определение линейной зависимости системы векторов линейного пространства

Говорят, что вектор   линейного пространства L линейно выражается через векторы  , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов  , т.е. представить в виде  .

Определение. Система   векторов произвольного линейного пространства линейно независима если из равенства   следует равенство нулю всех коэффициентов  .

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Пример 1. Векторы a = (1, 1, 1), b = (1, 2, 1) и с = (2, 3, 2) из R³ линейно зависимы, поскольку  a + b - с = 0.

Пример 2 Векторы i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) и k = (0, 0, 1) из R³ линейно независимы, поскольку  c₁i + c₂ j + c₃k = 0 означает, что

(c₁, c₂, c₃) = (0, 0, 0),

а это возможно только если

c₁ = c₂ = c₃ = 0.

 Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Система   векторов произвольного линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда  хотя бы один вектор системы векторов      линейно выражается через остальные векторы системы.

РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Число k называется  размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dimL = k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается L_k.

ПРИМЕР

Векторы i и j — линейно независимая система векторов линейного пространства геометрических радиусов-векторов плоскости R₂ .

Рассмотрим произвольную систему из трёх векторов x, y, z .

На рисунке показано, что вектор z линейно выражается через векторы x и y: z = α₁·x + α₂·y.

Итак, в пространстве R₂ существует система из двух линейно независимых векторов ( i , j), а любые три вектора образуют линейно зависимую систему. То есть размерность пространства R₂ равна 2, dim R₂ = 2.

НИЖЕ ЕЩЕ ПРО РАМЕРНОСТЬ, НО ТАМ ВМЕСТЕ С БАЗИСОМ, БАЗИС ПРИСУТСТВУЕТ В ВОПРОСЕ №3

Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство X_n , где n = dimX_n — размерность пространства X_n .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называетсябесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e₁, e₂, … , e_n  X называется базисом в X , если

• система векторов e₁, e₂, … , e_n линейно независима;

• любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

  x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.

  (1)

• Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e₁, e₂, … , e_n .

• Коэффициенты ξ₁, ξ₂, … , ξ_n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.

• Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42).

• Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e₁, e₂, … , e_n называются координатами вектора x в этом базисе.

• Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξ_i = e_i, x и для вектора x = {ξ₁, ξ₂, … , ξ_n} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

  	      	ξ1 ξ2 … ξn	      

• который называется координатным столбцом вектора x .

• В n–мерном линейном пространстве X_n существует базис. Он содержит n векторов.

• Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43).

• Замечания.

• 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

• 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. С.Г. Крейна (М.: Наука, 1972).

• 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.

• Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44).

• Теорема. Пусть X_n — линейное пространство и e₁, e₂, … , e_n — некоторый базис в X_n . Тогда:

  1. При сложении векторов их координаты складываются.

  2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

3. e_i, x + y = e_i, x + e_i, y ;

4. e_i, αx = αe_i, x .

Это означает, что скобки  · , ·  обладают свойством линейности по второму аргументу.