4.3. Метод наложения

Метод наложения является одним из методов расчета сложных цепей с несколькими источниками. Сущность данного метода в следующем.

1. В каждой ветви рассматриваемой цепи направление тока вы­бирается произвольно.

2. Количество расчетных схем цепи равно количеству источни­ков в исходной схеме.

3. В каждой расчетной схеме действует только один источник, а остальные источники заменяются их внутренним сопротивле­нием.

4. В каждой расчетной схеме методом свертывания определяют частичные токи в каждой ветви. Частичным называется условный ток, протекающий в ветви под действием только одного источни­ка. Направление частичных токов в ветвях вполне определенно и зависит от полярности источника.

5. Искомые токи каждой ветви рассматриваемой схемы опре­деляются как алгебраическая сумма частичных токов для этой ветви. При этом частичный ток, совпадающий по направлению с искомым, считается положительным, а несовпадающий - от­рицательным. Если алгебраическая сумма частичных токов имеет положительный знак, то направление искомого тока в ветви сов­падает с произвольно выбранным, если же отрицательный, то на­правление тока противоположно выбранному. Метод наложения рассмотрим на примере 4.6.

Пример 4.6

Определить токи во всех вет­вях цепи, схема которой приве­дена на рис. 4.8а, если задано:

E₁ = 40 В; E₂ = 30 В; R₀₁ = R₀₂ = 0,4 Ом; R₁ = 30 Ом; R₂ = R₃= 10 Ом; R₄ = R₅ = 3,6 Ом.

Решение

Количество ветвей и соответ­ственно различных токов в цепи (рис. 4.8а) равно пяти. Произвольно выбирается на­правление этих токов.

Расчетных схем две, так как в цепи два источника с ЭДС Е₁ и Е₂. Вычисляются частичные токи, созданные в ветвях пер­вым источником I^’. Для этого изображается та же цепь, толь­ко вместо Е₂ - его внутреннее сопротивление R₀₂. Направле­ние частичных токов в ветвях указаны в схеме рис. 4.8б.

Вычисление сопротивлений и токов производится методом свертывания.

Ом; Ом;

Ом; Ом;

Ом.

Первые частичные токи в цепи (рис. 4.86), созданные источни­ком Е₁ имеют следующие значения:

A; B; A;

A; B; A;

A.

Вычисляются частичные токи, созданные вторым источником I". Для этого изображается исходная цепь, в которой источник с ЭДС Е₁ заменен его внутренним сопротивлением R₀₁. Направле­ния частичных токов в ветвях указаны на схеме рис. 4.8в.

Сопротивления и токи определяются методом свертывания.

Ом; Ом;

Ом; Ом;

Ом.

Вторые частичные токи в цепи (рис. 4.8в) имеют следующие значения:

A; B; A;

A; B; A;

A.

Искомые токи в рассматриваемой цепи (рис. 4.8а) определяются алгебраической суммой частичных токов (см. рис. 4.8):

A; A;

A; A;

A.

Ток I_AB имеет знак «минус», следовательно, его направление противоположно произвольно выбранному, он направлен из точ­ки А в точку В.

Рис. 4.8

4.4. Метод узлового напряжения

Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлами можно осуществить методом узлово­го напряжения. Напряжение между узлами и называется узловым. U_AB - узловое напряжение цепи (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Для различных ветвей (рис. 4.9) уз­ловое напряжение U_AB можно опреде­лить следующим образом.

1. Поскольку для первой ветви ис­точник работает в режиме генератора

Величина тока определяется как

, (4.3)

где - проводимость 1-й ветви.

2. Для второй ветви источник работает в режиме потребителя, следовательно

.

Тогда ток

. (4.4)

3. Для третьей ветви

.

Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенциал точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом.

Величину тока I₃ можно определить по закону Ома

. (4.5)

По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):

(4.6)

Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), (4.4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать

. (4.7)

Решив это уравнение относительно узлового напряжения U_AB, можно определить его значение

. (4.8)

Следовательно, величина узлового напряжения определяется от­ношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:

(4.9)

Для определения знака алгебраической суммы направление то­ков во всех ветвях выбирают одинаковым, т. е. от одного узла к другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режи­ме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работаю­щего в режиме потребителя, со знаком «минус».

Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению (4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5).

Узловое напряжение U_AB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.

Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно условно выбранному.

Пример 4.7

В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если: E₁ = 35 В; E₂ = 70 В; R₁ = 1,7 Ом; R₀₁ = 0,3 Ом; R₂ = 0,9 Ом; R₀₂ = 0,1 Ом; R₃ = 4 Ом.

Решение

Узловое напряжение U_AB

где См; См;

См.

тогда В.

Токи в ветвях будут соответственно равны

А; А;

А.

Как видно из полученных результатов, направление токов I₁ и I₂ противоположно выбранному. Следовательно, источник E₁ рабо­тает в режиме потребителя.

Рис. 4.10

Пример 4.8

Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: Е₁ = Е₂ = 122 В; R₀₁ = R₀₂ = 0,5 Ом, питают по­требитель (нагрузку) с сопротивлением R = 5,85 Ом. Как изменится ток второго генератора:

1) при увеличении его ЭДС (Е₂) на 1 %;

2) при увеличении узлового напряже­ния (U_AB) на 1 %.

Решение

Определяется узловое напряжение U_AB цепи (рис. 4.11)

В,

где См; См; См.

Тогда ток второго генератора

А.

1. При увеличении Е₂ на 1 %, его величина станет равной

В,

тогда В.

При этом А.

Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е₂ на 1 % приводит к увеличению тока этого генератора на 24 %.

2. При увеличении узлового напряжения на 1 % его величина станет равной

В.

При этом А. Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлово­го напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.

Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока I₂.