2. Метод преобразования схем

Метод преобразования электрических схем применяют для рас­чета сложных цепей путем преобразований треугольника сопро­тивлений в эквивалентную звезду или звезды сопротивлений в эк­вивалентный треугольник.

а)	б)

Рис. 6

Контур, состоящий из трех сопротивлений R_AB, R_BC и R_CA, имею­щий три узловые точки А, B и С, образует треугольник сопротив­лений (рис. 6, а).

Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений R_A, R_B и R_C, соединенных в одной узловой точке О, образует звезду сопро­тивлений (рис. 6, б).

Расчет некоторых сложных цепей значительно упрощается, если соединение звездой в них заменить соединением треуголь­ником или наоборот.

Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками А, В и С токи I_A, I_B и I_C звезды и треугольника оставались без изменений.

Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, назы­ваются эквивалентными.

Для такого преобразования рекомендуется изображать схему цепи без заменяемого треугольника (или звезды), но с обозначен­ными вершинами А, В, и С и к этим обозначенным вершинам подсоединить эквивалентную звезду (или треугольник).

При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивле­ния звезды определяются следующими выражениями:

, , (4.1)

Таким образом, каждое сопротивление эквивалентной звезды равно отношению произведения двух примыкающих к соответству­ющей узловой точке сопротивлений треугольника к сумме трех его сопротивлений.

При замене звезды эквивалентным треугольником каждое со­противление треугольника определяется следующими выражениями:

, , (4.2)

Каждое сопротивление эквивалентного треугольника равно сумме трех слагаемых: двух примыкающих к соответствующим точкам сопротивлений звезды и отношению произведения этих сопротивле­ний к третьему сопротивлению звезды.

Пример 4.4

Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 4.7, а) при следующих исходных данных: Е = 2,2 В; R₁ = 10 Ом; R₂ = 30 Ом; R₃ = 60 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 22 Ом; R₀ = 0.

Решение

Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам А, В и С, эквивалентной звездой, под­ключенной к тем же точкам (рис. 4.7, б).

Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Ом

Ом

Ом

Рис. 4.7

Зная все сопротивления (рис. 4.7, б), определим токи I₀, I₄ и I₅, которые в эквивалентной схеме имеют такие же значения, как и в исходной схеме. Расчет цепи производим методом свертывания.

Ом; Ом.

Поскольку сопротивления между собой соединены параллель­но, их общее сопротивление будет равно

Ом,

а общее сопротивление схемы (см. рис. 4.7, б)

Ом.

Тогда ток в неразветвленной части цепи, т.е. общий ток,

А.

Напряжение на параллельном участке, т. е. на сопротивлении R_A,4,C,5, будет равно

В или В.

Значения токов в резисторах R₄ и R₅ получаются следующие:

A; A

Для определения тока I₃ в исходной схеме (рис. 4.7а) составля­ется уравнение по второму закону Кирхгофа для контура ACD:

.

Откуда A.

Знак «минус» перед значением тока показывает, что ток I₃ на­правлен против произвольно выбранного направления тока, т. е. от узловой точки С к узловой точке А.

Тогда, воспользовавшись первым законом Кирхгофа для узло­вых точек А и С, можно определить искомые токи (рис. 4.7а):

А;

А.

Для проверки: , что справедливо для первого закона Кирхгофа.

Пример 4.5

Справедливы ли полученные в примере 4.4 результаты, можно проверить, если преобразовать звезду сопротивлений (рис. 4.7б) в треугольник (рис. 4.7а).

Решение

;

;

.

Таким образом, полученные в примере 4.4 результаты справед­ливы.