Методы расчета электрических цепей

1. Метод свертывания

Цепь со смешанным соединением включает в себя участки с по­следовательным и параллельным соединением потребителей, или сопротивлений (резисторов).

Расчет электрической цепи с одним источником и смешанным соединением резисторов методом свертывания проводится в сле­дующей последовательности.

1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.

2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным или параллельным соединением заменяются эквивалентными, и определяются их сопротивления.

3. Замена производится до получения простейшей схемы, для которой элементарно определяется общее (эквивалентное) со­противление всей цепи.

4. По заданному напряжению источника и вычисленному обще­му сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной части цепи (общий ток).

5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток каждого резистора.

Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на примере 1 (рис. 1).

Рис. 1

Пример 1

1. При заданных сопротивлениях всех потребителей цепи и на­пряжении U определить токи всех потребителей.

2. Определить, как изменяются эти токи, если к потребителю с сопротивлением R₈ параллельно подключить лампу накалива­ния (рис. 4.3).

Расчет осуществить в общем виде. Внутренним сопротивлени­ем источника пренебрегаем.

Решение

1. В рассматриваемой цепи (рис. 1) определяются группы потребителей, соединенных последовательно или параллельно. Определяются эквивалент­ные сопротивления участков, а схема при этом «свертывается».

Очевидно, резисторы R8 и R7 Соединены параллельно, так как напряжение на них одинаковое. Следовательно, их общее сопро­тивление (рис. 2, а) Сопротивление группы R78 соеди­нено последовательно с резистором R6, таким образом, общее сопро­тивление (рис. 4.2, б) Сопротивление R678 соединено параллельно с резистором R5 (в точках В, С), следовательно, общее сопротивление (рис. 2, в) Сопротивление R5-8 соединено последовательно с резистором R4, т.е. общее сопротивление (рис. 2, г) Это сопро­тивление подключено параллельно к резистору R3 (в точках А, В), сле­довательно, общее сопротивление (рис. 2, д) Сопротивление R3-8 соединено последовательно с резисторами R1 и R2, следовательно, общее (экви­валентное) сопротивление иссле­дуемой цепи R определяется вы­ражением (рис. 2, e) Последовательность метода свер­тывания рассматриваемой схемы можно проиллюстрировать схема­ми, изображенными на рис. 2. Общий ток I, который проходит по сопротивлениям R1, R2 и R3-8, определим, воспользовавшись законом Ома для замкнутой цепи (рис. 2, д, е): (1) Ток создает на сопротивлении R3-8 (в точках А, В) падение напряжения, величину которого определим по закону Ома (2)	а)
	б)
	в)
	г)
	д)	е)
	Рис. 2

Это же напряжение можно определить, воспользовавшись вто­рым законом Кирхгофа,

(3)

Напряжение U_AB необходимо для вычисления тока I₃ (рис. 2, г) и остальных токов:

(4)

К точкам А, В подключено общее сопротивление R_4-8, следова­тельно, ток, который проходит по резистору R₄, т. е. I₄, можно определить по закону Ома (рис. 2, в):

(5)

Этот же ток I₄ можно определить, воспользовавшись первым за­коном Кирхгофа,

(6)

Ток I₄ создает падение напряжения U_CB на общем сопротивле­нии R_5-8. Напряжение между точками С, В (U_CB) определяем по закону Ома (рис. 2, в):

(7)

Это же напряжение можно определить по второму закону Кирхгофа:

(8)

Напряжение R_5-8 необходимо определить для вычисления тока I₅ (рис. 2, б) и остальных токов по закону Ома:

(9)

К точкам С, В подключено общее сопротивление R₆₇₈, следова­тельно, ток, который проходит по резистору R₆, т. е. I₆, можно определить по закону Ома (рис. 2, а):

(10)

Тот же ток можно определить по первому закону Кирхгофа:

(11)

Ток I₆ создает падение напряжения U_CD на общем сопротивле­нии R₇₈

(12)

или (13)

Токи I₇ и I₈ определяются по закону Ома (рис. 1):

и (14)

Один из этих токов можно определить по первому закону Кирхгофа:

или (15)

Таким образом, определены токи всех включенных в цепь (рис. 1) потребителей.

2. Рассмотрим динамический режим работы электрической цепи, т. е. режим изменения токов и напряжений в цепи. В при­мере 1 эти изменения вызваны подключением лампы накалива­ния R₉ параллельно резистору R₈ (рис. 3).

Рис. 3

Очевидно, параллельное подключение лампы накаливания к сопротивлению R₈ уменьшает сопротивление участка между точ­ками С, D (R₇₈₉), следовательно, уменьшается и общее сопротив­ление цепи R (рис. 2, б - е).

Уменьшение общего сопротивления приведет к увеличению об­щего тока цепи I, т. е. токов I₁ и I₂ (выражение (1)). Увеличение этих токов вызовет уменьшение напряжения U_AB (выражение (3)), а сле­довательно, уменьшение тока I₃ (выражение (4)). Так как ток I₁ уве­личился, а ток I₃ уменьшился, то ток I₄ увеличится (выражение (6)). Увеличение тока I₄ приведет к уменьшению напряжения U_CB (вы­ражение (8)), в результате чего уменьшится ток I₅ (выражение (9)). Уменьшение тока I₅ вызовет увеличение тока I₆ (выражение (11)), что приведет к уменьшению напряжения U_CD (выражение (13)). Следовательно, уменьшаются токи I₇ и I₈ (выражение (15)).

Как видно, параллельное подключение лампы R₉ к резисторам с сопротивлением R₇ и R₈ шунтирует их, т. е. уменьшает напряжение U_CD на этих сопротивлениях и токи I₇ и I₈ в них.

Таким образом, подключение дополнительного потребителя в цепь вызывает соответствующие изменения режима работы всех участков цепи.

Для расчета электрической цепи методом свертывания могут быть заданы либо ток, протекающий через определенный рези­стор, либо напряжение на одном из участков.

Методика расчета параметров таких цепей приведена в приме­рах 2 и 3.

Пример 2

Для цепи (рис. 4) заданы: I₁; R₀; R₁; R₂; R₃; R₄ и R₅.

1. Определить ЭДС источника Е.

2. Определить токи в остальных ветвях.

3. Определить мощность на каждом резисторе.

4. Составить уравнение баланса мощностей в этой цепи.

Решение

Ток I₁ проходит через источник и создает падение напряжения на его внутреннем сопротивлении U₀ = I₁R₀ и на резисторе с сопротивлением R₁ т. е. U₁ = I₁R₁. Тот же ток I₁ создает падение напряжения между точками А и В, т. е. U_AB = I₁R_AB. ЭДС источни­ка складывается из этих падений на­пряжения, т. е. Е = U₀ + U₁ + U_АВ. Для определения напряжения между точками А и В (U_AB) и токов I₂, I₃, I₄ и I₅ произведем «свер­тывание» схемы (рис. 4) и определим общее сопротивление R_AB.

Рис. 4

, , Искомые токи определим по закону Ома , , , где или Мощность на каждом резисторе определяется выражением . Например: , и т. д. Составляется уравнение баланса мощностей .

Пример 3

Для цепи (рис. 5) заданы: U₄ = U_AB =36 В; R₀ = 0,5 Ом; R₁ = 1 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 5 Ом; R₆ = 6 Ом; R₇ = 7 Ом. Определить токи всех резисторов и ЭДС источника Е.

Решение

По заданному напряжению на участке АВ (U_AB) определяются токи

A; A.

так как Ом.

Рис. 5

Напряжение U_АВ по закону Ома равно

Откуда А

так как Ом

Напряжение U_АС можно определить по второму закону Кирхгофа

В.

Тогда токи

А; А.

Ток I₁ создает падение напряжения U₁ на резисторе R₁ и на внут­реннем сопротивлении источника U₀.

В; В.

Тогда ЭДС источника

В.