84. Ду I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными

Если ДУ I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ I с разделёнными переменными.

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:

Если ДУ I имеет вид: X₁Y₁dy+X₂Y₂dx=0, в котором X₁ и X₂ зависят только от х, а Y₁ и Y₂ зависят только от у, то оно является ДУ I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.

1. Найти общее решение ДУ I:

у′у=x Итак, , где C=const – общее решение уравнения. Найдём частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям (решим задачу Коши) при у′у=x, х0=2, у0=0 Получим . Итак, – частные решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям.	у′cosx-ysinx=0 Итак, , где C=const – общее решение уравнения.
у′=-2xу	у′=-у2

84. Однородное ду I порядка (оду I )

Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется однородным ОДУ I, если отношение ^M/_N можно представить как функцию отношения ^y/_x. Это отношение обозначим через t:

Тогда с помощью данной подстановки ОДУ I приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

84. Линейное ду I порядка (лду I)

Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение ^M/_N содержит у лишь в первой степени. ЛДУ I принято записывать в виде у+Р(x)у=Q(x) где Р(x) и Q(x) непрерывные функции от х.

Если Q(x)=0, то уравнение принимает вид у+Р(x)у=0 и оно называется ЛОДУ I или линейным уравнением без правой части. В этом случае оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Если Q(x)≠0, то уравнение называется ЛНДУ I или линейным уравнением с правой части. В этом случае его можно решить методом Бернулли или методом Лагранжа.

Метод Бернулли.

Решение уравнения у+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v≠0.

y=u·v

y=u·v+u·v

Подставляя выражения у и у в заданное уравнение получаем:

u·v+u·v+Р(x)·u·v=Q(x)

или

u·v+u·(v+Р(x)·v)=Q(x).

Подберём функцию v так, чтобы v+Р(x)·v=0, то есть решим u·v=Q(x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.

Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.

Запишем окончательный ответ в виде: y=u·v.

Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

Решение уравнения у+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у=f(x)+C, где С=const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=f(x)+C(х), где С(х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у и подставим у и у в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С(х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С(х) в общее решение заданного уравнения.

2. Найти общее решение ДУ I:

y′ctgx+y=2 Метод Бернулли. Пусть y=uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y′=u′v+uv′. Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение: (u′v+uv′)ctgx+uv=2; Сгруппируем слагаемые относительно u, которую вынесем за скобки: (*) u′vctgx+u(v′ctgx+v)=2; Пусть выражение в скобках уравнения (*) равно нулю, т.е. v′ctgx+v=0 Получили уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию v: Определим функцию u. Для этого в уравнение (*) подставим вместо скобки 0, а вместо функции v найденное выражение: u′vctgx+u·0=2  u′vctgx=2  u′cosxctgx=2 Предположив, что y=uv , получили, у=2+Ccosx, где С=const – общее решение уравнения.

y′=y/х+2х2 Метод Бернулли.