- •Интегральное исчисление Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл, правила интегрирования.
- •Пример 1. Найти первообразные для функции , проходящие через точки м(2;4) и м(0;-4). Сделать рисунок.
- •Свойства неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям, метод подстановки.
- •Простейшие преобразования
- •Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интеграл вида .
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx
- •Интегрирование иррациональных функций. Тригонометрические подстановки.
- •Интеграл вида где n- натуральное число
- •Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
- •О технике интегрирования
Простейшие преобразования
;
;
.
Таблица дифференциалов
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10. ;
; 11. ;
; 12. .
Пример 6. Найти интеграл .
Решение.
Внесем x под знак дифференциала xdx = , прибавим 1 и
умножим на (-1) под знаком дифференциала и перед интегралом, чтобы
выражение не изменилось. Тогда интеграл примет вид
.
Метод 3. Интегрирование по частям
Способ интегрирования по частям основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
или
. (3)
Получили формулу (3) интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Формула (3) используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение f (x)dx можно так представить в виде udv , что стоящий в правой части интеграл при надлежащем выборе выражение u и dv может оказаться проще исходного интеграла. Как правило, подынтегральное выражение f(x)dx представлено в виде произведения различных по типу функций, например: , , и т.д. При этом следует иметь ввиду, что к u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. В соответствии с этим можно предложить следующую вспомогательную таблицу:
f (x)dx |
u |
dv |
, , , |
, , ,
|
- где многочлен любой степени |
|
|
|
|
|
|
, , ,
|
|
, , ,
|
Пример 7. Найти интеграл , применив интегрирование по частям.
Решение.
Таблицей можно воспользоваться и в случае если подынтегральная функция содержит либо логарифмическую, либо обратно - тригонометрическую.
Пример 8. Найти интеграл , применив интегрирование по частям.
Решение.
! Формулу интегрирования по частям можно применять многократно, пока не упростятся подынтегральные функции, которые приведут к табличному интегралу.
Пример 9. Найти интеграл , применив интегрирование по частям.
Решение.
.
Как видно из примера 9 происходит неоднократное, последовательное применение формулы интегрирования по частям, что позволяет в итоге постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Иногда после многократного, особенно после двукратного применения формулы интегрирования по частям, приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т.е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.
Такие интегралы называют циклическими.
Пример 10. Найти интеграл .
Решение.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, искомый интеграл найден путем преобразования исходной левой части равенства и полученной правой.
Пример 11. Найти интеграл .
Решение.
Метод 4. Метод подстановки.
Если подынтегральная функция такова, что трудно выделить производ-
ную от какого либо промежуточного аргумента или его просто нет, то в этом
случае переменную интегрирования лучше заменить некоторой другой
функцией, полагая , дифференцируя, получаем , (предполагается, что и непрерывны). Тогда
,
где новая функция от аргумента .
Если последний интеграл в результате такой замены свелся к таблич-
ному и равен + C, то заданный интеграл определяют путем возвращения к переменной х, т.е. из уравнения надо найти обратную функцию , и заменить на φ(х).
С помощью подстановок такого рода удается избавится от корня, упро-
стить подынтегральную функцию и свести интеграл к табличному. Однако,
общего рецепта для выбора функции нет. В каждом конкретном случае
её подбирают индивидуально по виду подынтегрального выражения.
Пример12. Найти интеграл .
Решение.
.
Все дальнейшее изложение темы «Неопределенный интеграл» будет состоять в основном из рассмотрения различных подстановок.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Следовательно, интегралы типа (I) и (II) преобразованием знаменателя сводятся к основным табличным интегралам № 8-11.
Пример 13. Найти неопределенный интеграл
Решение.
, применяя табличный интеграл получаем
Для интегралов типа (III) и (IV), предварительно введем два вспомогательных интеграла, которые были получены одним из методов интегрированияметодом замены переменной:
(3),
(4),
где , в нашем случае, квадратный трехчлен .
Для нахождения данных интегралов необходимо в числителе, путем алгебраических выражений выделить производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и представить в виде суммы двух интегралов сводимых к табличным.
Пример14. Найти неопределенный интеграл
Решение.
Данный интеграл разбиваем на сумму двух, затем в первом числителе получаем производную знаменателя :
Первый интеграл находим по вспомогательной формуле (3), второй интеграл сводится к интегралу типа (I):
,
.