Интегральное исчисление Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл, правила интегрирования.

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. Символ

введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функ-

ции f(x) на некотором множестве X, если на этом множестве

функция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F¢(x) = f(x)

или,

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция – первообразная на любом промежутке по отношению к функции , так как . Аналогично из тождества следует, что функция является первообразной по отношению к функции .

Таким образом, основываясь на знании таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу базовых первообразных:

Тип функции	Функция	Первообразная
Степенная	, кроме
Показательная
	, при
Логарифмическая
Тригонометрическая
Обратно - тригонометрическая

Легко проверить, используя правила дифференцирования, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве.

Если и – две первообразные для функции на

данном множестве, то они могут отличаться лишь на посто-

янную, т.е. , где C – постоянная.

Доказательство:

Положим .

, следовательно .

Действительно .

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 2 (о первообразных).

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на

заданном множестве, то все ее первообразные имеют вид

F(x) + С, где С– произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F(x) простым сдвигом его параллельно оси ОУ на величину С (см. рисунок 1). График первообразной от функции f (x) называется интегральной кривой этой функции, поэтому

неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех

интегральных кривых, получаемых при непрерывном параллельном движении одной из них по вертикали.

Рис.1.

В связи с тем, что одна и та же функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.